普通最小二乘法(OLS)
Eviews数据统计与分析教程5章 基本回归模型的OLS估计-普通最小二乘法
EViews统计分析基础教程
五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度R2的计算公式为 R2 = ESS / TSS = 1－RSS / TSS 当回归平方（ESS）和与总体平方和（TSS）较为接 近时，模型的拟合程度较好；反之，则模型的拟合 程度较差。因此，模型的拟合程度可通过这两个指 标来表示。
2.实际值、拟合值和残差
三条曲线分别是实际值（Actual），拟合值（Fitted） 和残差（Residual）。实际值和拟合值越接近，方程拟 合效果越好。
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三、多元线性回归模型
通常情况下，将含有多个解释变量的线性回归模型（多 元线性回归模型）写成如下形式， yi = 0 + 1 x1i +2 x2i+3 x3i+…k xki + ui （i=1， 2，…，n） 其中，y为被解释变量，也被称为因变量；x为解释变量 或自变量；u是随机误差项（random error term），也 被称为误差项或扰动项； n为样本个数。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验 （1）图示检验法 检验步骤：
建立方程对象进行模型的OLS（最小二乘）估计， 此时产生的残差保存在主窗口界面的序列对象 resid中。 建立一个新的序列对象，并将残差序列中的数据 复制到新建立的对象中。 然 后 选 择 主 窗 口 中 的 “ Quick‖ | ―Graph‖ | ―Scatter‖选项，生成散点图，进而可判断随机项 是否存在异方差性。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度检验用来验证回归模型对样本观测值（实 际值）的拟合程度，可通过R2统计量来检验。
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
计量经济学中ols估计的定义
计量经济学中ols估计的定义OLS估计是计量经济学中一种常用的参数估计方法，全称为普通最小二乘估计。
它是通过最小化观测数据的实际值与模型估计值之间的残差平方和来估计模型参数。
在OLS估计中，我们试图找到一组参数，使得模型的预测值与实际观测值的差异最小化。
OLS估计在计量经济学中被广泛应用，特别是在回归分析中。
通过OLS估计，我们可以得到回归系数的估计值，从而量化自变量对因变量的影响。
在实际应用中，我们通常会对回归模型进行OLS估计，然后根据估计结果进行统计推断和政策分析。
在进行OLS估计时，我们需要满足一些假设，包括线性关系、正态性、同方差性、无自相关性等。
如果这些假设不成立，可能会导致OLS估计结果的失真。
因此，在进行OLS估计前，我们需要对数据进行充分的检验和准备，以确保OLS估计的有效性和准确性。
OLS估计的优点之一是它的计算简单直观，易于理解和实现。
此外，OLS估计还具有最小方差性质，即在一定条件下，OLS估计是所有线性无偏估计中方差最小的。
因此，OLS估计在实际应用中被广泛使用。
然而，OLS估计也存在一些局限性。
例如，在存在遗漏变量或误设函数形式的情况下，OLS估计结果可能会产生偏误。
此外，在样本量较小或数据不满足假设的情况下，OLS估计的有效性也会受到影响。
总的来说，OLS估计是计量经济学中一种重要的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数，具有简单直观、计算效率高的优点。
然而，在应用OLS估计时，我们需要注意数据的准备和假设的检验，以确保OLS估计结果的准确性和有效性。
OLS估计在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们理解变量之间的关系，进行统计推断和政策分析。
最小二乘法(OLS)的原理解析
定义
最小二乘法（OLS），英文全称ordinary least squares，又称最小平方法，是回归分析 （regression analysis）最根本的一个形式,对模型条件要求最少，也就是使散点图上的所有观测值 到回归直线距离的平方和最小。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，最小二 乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
公式
在一元线性回归模型中，回归方程一般表示为
yi
=
β^0
+
β^ x 1 i
，所用到的是statmodels模块中
OLS（最小二乘法），通过实际值 yi 与拟合值 y^i 差的平方和Q最小，也就是残差平方和最小，来
确定拟合方程中的系数 β1 和截距 β0 ，公式如下：
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
xi
)2
i=1
i=1
n
n
n
n
(∑
xi2
)(
∑
yi
)
−
(∑
xi)(∑
xiyi
)
β^ = i=1
0
i=1 n
i=1
i=1
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。
它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。
普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。
在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。
普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。
普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。
普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。
ols 普通最小二乘法
ols 普通最小二乘法
普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。
OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（Unbiased）性，简称为BLU特性。
这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。
下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
OLS估计和IV估计原理
OLS估计和IV估计原理OLS估计和IV估计是两种常用的经济学中的参数估计方法。
OLS估计（Ordinary Least Squares）是一种基于最小二乘法的普通最小二乘法估计方法，用于估计线性回归模型的参数。
IV估计（InstrumentalVariable Estimation）是一种用于解决内生性问题的估计方法，它通过引入工具变量来消除内生性引起的偏误。
OLS估计的原理是通过最小化残差平方和来估计模型参数。
OLS估计的基本假设是线性回归模型具有一定的线性关系，残差服从正态分布且具有恒定的方差。
OLS估计以观测数据直接进行参数估计，计算出最小二乘估计量，即使得残差平方和最小的参数值。
OLS估计的一般步骤包括：首先，根据问题的设定和经济理论，建立线性回归模型；然后，计算样本数据的均值与方差，构造目标函数（残差平方和）；接着，对目标函数进行优化，对参数进行估计；最后，进行统计推断分析，包括参数的显著性检验、拟合优度检验等。
OLS估计的优点是计算简便、解释性强，但其在存在内生性的情况下会引起参数估计偏误。
IV估计的原理是基于工具变量的一种参数估计方法。
当自变量存在内生性时，OLS估计会引起内生性偏误，此时可以引入工具变量来消除内生性偏误。
工具变量是与内生自变量相关但不与因变量相关的变量，通过工具变量的使用，可以将内生性问题的影响隔离开来。
IV估计是通过两个阶段的回归来实现的。
首先，利用工具变量对内生自变量进行回归，得到其预测值（第一阶段回归）。
然后，将预测值代入原始模型中，以代替内生自变量，对原始模型进行回归，从而估计出模型的参数（第二阶段回归）。
IV估计的关键在于选择有效的工具变量，一般来说，工具变量应满足两个条件：与内生自变量相关、不与误差项相关。
此外，IV估计还需要满足一些其他的假设条件，如无系统误差、同方差性等。
相对于OLS估计，IV估计的优点是可以解决内生性问题，对于内生问题较为有效。
计量经济学第四章习题
计量经济学第四章习题第四章练习题1. 什么是异⽅差性？试举例说明经济现象中的异⽅差性。
检验异⽅差性的⽅法思路是什么？ 2. 判断题。
并简单说明理由。
(1) 存在异⽅差时，普通最⼩⼆乘法（OLS ）估计量是有偏的和⽆效的； (2) 存在异⽅差时，常⽤的t 检验和F 检验失效；(3) 存在异⽅差时，常⽤的OLS 估计⼀定是⾼估了估计量的标准差； (4)如果从OLS 回归中估计的残差呈现出系统性，则意味着数据中存在着异⽅差； (5) 存在序列相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是⽆效的； (6) 消除序列相关的⼀阶差分变换假定⾃相关系数ρ必须等于1； (7) 回归模型中误差项t u 存在异⽅差时，OLS 估计不再是有效的； (8) 存在多重共线性时，模型参数⽆法估计；(9)存在多重共线性时，⼀定会使参数估计值的⽅差增⼤，从⽽造成估计效率的损失；(10) ⼀旦模型中的解释变量是随机变量，则违背了基本假设，使得模型的OLS 估计量有偏且不⼀致。
3. 回归模型中误差项t u 存在序列相关时，OLS 估计不再是⽆偏的；已知消费模型：01122t t t t y x x u ααα=+++。
其中，t y ：消费⽀出；t x 1：个⼈可⽀配收⼊；t x 2：消费者的流动资产。
设0)(=t u E ，为常数）其中2212()(σσt t ar x u V =。
要求： (1)进⾏适当变换消除异⽅差，并证明之。
(2)写出消除异⽅差后，模型的参数估计量的表达式。
4. 简述异⽅差对下列各项有何影响：(1) OLS 估计量及其⽅差； (2) 置信区间；(3)显著性t 检验和F 检验的使⽤。
5. 已知模型：22201122,()t t t t t t t Y X X u Var u Z βββσσ=+++==。
式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最⼩⼆乘法就是求下式中的各β，以使的下式最⼩2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑(1) 求RSS 对β1、β2和β2的偏微分并写出正规⽅程。
普通最小二乘法
选择合适的回归模型，如线性回归、多项式回归等。
设定模型假设
确保满足回归分析的基本假设，如误差项独立同分布、误差项无系统偏差等。
建立模型
利用最小二乘法计算回归参数的最优估计值。
分析估计量的性质，如无偏性、有效性等，确保估计结果可靠。
参数估计
检验估计量性质
计算最小二乘估计量
03
模型选择与优化
普通最小二乘法的历史与发展
02
普通最小二乘法的原理
01
02
03
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测因变量的值。
在线性回归模型中，自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归模型的一般形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是参数，ε是误差项。
详细描述
主成分回归是一种基于主成分分析的回归方法，通过提取解释变量中的主要成分，降低数据的维度，提高模型的解释性和稳定性。
总结词
主成分回归首先对解释变量进行主成分分析，提取出解释变量中的主要成分，然后将这些主成分作为新的解释变量进行回归分析。由于主成分能够反映原始变量中的大部分信息，因此这种方法能够减少数据的维度，降低多重共线性的影响，提高模型的稳定性和解释性。
无偏性
普通最小二乘法估计的参数具有无偏性，即估计的期望值等于真实值。
最佳线性无偏估计
普通最小二乘法能得到最佳线性无偏估计，即估计的方差最小。
优点
异方差性
普通最小二乘法对数据的异方差性敏感，可能导致估计结果失真。
ols估计一阶条件的解释
ols估计一阶条件的解释OLS（最小二乘法）估计的一阶条件，也被称为普通最小二乘法的充分必要条件，是指在OLS估计中，估计的参数值需要使得误差项的平方和最小化。
这个条件是OLS估计的基础，它确保了估计的参数值能够最大限度地减少误差，从而提高估计的准确性和有效性。
具体来说，假设我们有一个线性回归模型，其中因变量为Y，自变量为X1, X2, ..., Xk。
模型的方程可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε。
这里的β0, β1, β2, ..., βk是我们需要估计的参数，ε是误差项。
根据OLS估计的一阶条件，我们要求解使得误差项ε的平方和最小的β0, β1, β2, ..., βk。
这意味着我们需要找到一个参数组合，使得模型预测值与实际观测值之间的差异最小。
OLS估计还假设误差项ε服从正态分布，且具有零均值和常数方差。
这些假设是OLS估计的重要前提，它们确保了估计的参数值具有无偏性和一致性。
OLS估计的一阶条件是确保估计的参数值能够最大限度地减少误差，提高估计的准确性和有效性的关键条件。
在实际应用中，OLS估计的一阶条件可以通过求解正规方程或使用矩阵运算来实现。
正规方程是一种基于最小二乘法原理的求解方法，它通过构建误差项的平方和函数，并求其导数为零来得到最优解。
而矩阵运算方法则是一种高效的数据处理方式，它将线性回归模型转化为矩阵形式，然后通过求解矩阵方程得到参数估计值。
OLS估计的一阶条件在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域，它可以用于估算股票价格与风险因素之间的关系，从而为投资决策提供依据。
在经济学领域，它可以用于研究变量之间的因果关系，为政策制定提供参考。
在社会科学领域，它可以用于分析社会现象背后的因素，为理论构建提供支持。
此外，在自然科学领域，它可以用于探究自然规律，为科学研究提供基础。
然而，OLS估计的一阶条件并非完美无缺。
在某些情况下，它可能受到异方差、多重共线性等因素的影响，导致估计结果的准确性下降。
计量经济学作业
计量经济学作业（5-7）一、作业五1. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的。
（）2. 当存在自相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是无效的。
（）3. 如果在多元回归模型中，根据通常的t 检验，全部回归系数分别都是统计上不显著的，那么该模型不会有一个高的R 2值。
（）4. 在时间序列模型中，遗漏重要解释变量既有可能导致异方差问题，又有可能导致自相关问题。
（）5. 变量是非线性的回归模型在计量经济学上不被称作线性回归模型。
（）6. 随机误差项μi 与残差e i 是一回事。
（）7. 给定显著性水平α及自由度，若计算得到的t 值超过临界的t 值，则接受原假设。
8. 蛛网现象可能会带来计量经济模型的自相关问题。
（）9. 无论模型中包括多少个解释变量，总离差平方和（TSS ）的自由度总为（n-1）。
（） 10. 在多元线性回归模型中，方差膨胀因子（VIF ）一定是不小于1。
（） 11. 在存在异方差情况下，常用的OLS 法总是高估了估计量的标准差。
（） 12. 若假定自相关系数等于1，那么一阶差分变换能够消除自相关。
（） 13. 存在多重共线时，模型参数无法估计。
（）14. 如果在多元回归模型中，根据通常的t 检验，全部回归系数分别都是统计上不显著的，那么该模型不会有一个高的R 2值。
（）15. 当我们得到参数区间估计的上下限的具体数值后，就可以说参数的真实值落入这个区间的概率为1-α. （）16. p 值和显著性水平α是一回事。
（）17. 只有当μi 服从正态分布时，OLS 估计量才服从正态分布。
（）18. 多元回归模型的总体显著性意味着模型中任何一个变量都是统计显著的。
（） 19. 戈德菲尔德-夸特检验（GQ 检验）可以检验复杂性的异方差。
（） 20. 残差平方和除以自由度（n-k ）始终是随机误差项μi 方差（2σ）的无偏估计量。
（） 21. 用一阶差分法消除自相关时，我们假定自相关系数等于-1。
普通最小二乘法的拟合曲线准则
普通最小二乘法的拟合曲线准则1. 什么是普通最小二乘法？普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种经典的统计学和数学工具，用于拟合数据点与数学模型的关系。
通过最小化观测数据点与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线，从而推断出数据点之间的潜在关系。
2. 拟合曲线的准则在进行数据拟合时，选择合适的拟合曲线准则对最终结果具有至关重要的影响。
常见的拟合曲线准则包括最小化残差平方和、最小化残差绝对值和最小化残差的百分比等。
其中，最小二乘法的核心就是最小化残差平方和，使得拟合曲线与观测数据点之间的误差达到最小。
3. 评估拟合曲线的深度和广度为了全面评估拟合曲线的深度和广度，我们可以从以下几个方面进行考虑：- 数据拟合的准确性：通过分析拟合曲线与实际观测数据点之间的误差大小和分布情况，可以评估拟合曲线对数据的拟合程度。
一般来说，残差应该在一定范围内呈现随机分布，同时残差的平方和应该足够小，这样才能认为拟合曲线较好地拟合了数据点。
- 拟合曲线的泛化能力：除了拟合实际观测数据点外，我们还需要考虑拟合曲线在未知数据的泛化能力。
拟合曲线是否能够很好地适应新的数据点，是否具有较好的预测能力，这些都是评价拟合曲线广度的重要指标。
- 模型的复杂度：复杂的拟合曲线可能会过度拟合观测数据点，导致在未知数据上的预测能力降低；而过于简单的拟合曲线可能无法很好地拟合实际观测数据点。
我们需要对拟合曲线的复杂度进行合理的权衡，以达到最佳的拟合效果。
4. 个人观点和理解在我看来，普通最小二乘法是一种较为可靠和普遍适用的拟合方法，其核心准则即最小化残差平方和可以帮助我们得到相对较好的拟合效果。
然而，需要注意的是，在进行数据拟合时，我们应该不断地评估拟合曲线的准确性和泛化能力，并合理地考虑拟合曲线的复杂度，以得到更加可靠和实用的结果。
通过对普通最小二乘法的拟合曲线准则进行充分的评估，我们可以更深入地理解数据拟合的原理和方法，从而在实际应用中取得更加准确和可靠的结果。
gls 和ols 的协方差
gls 和ols 的协方差
GLS（广义最小二乘法）和OLS（普通最小二乘法）是统计学中常用的回归分析方法。
协方差是用来衡量两个随机变量之间的关系强度和方向的统计量。
在回归分析中，协方差可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关联程度。
首先，让我们来看GLS和OLS的定义。
OLS是一种回归分析方法，它通过最小化观测数据的残差平方和来估计模型参数。
这意味着它假设误差方差在所有自变量的取值上都是相同的，即误差项是同方差的。
而GLS则是一种更一般化的回归方法，它允许误差项的方差在不同的自变量取值下不同，因此可以更好地处理异方差性（即误差项方差不相等）的情况。
接下来，我们来看GLS和OLS的协方差。
在回归分析中，我们通常关心的是残差的协方差。
残差是因变量的观测值与回归模型预测值之间的差异，它们的协方差可以帮助我们评估模型的拟合程度和误差的相关性。
在OLS中，残差的协方差通常被假定为常数，因为OLS假设误差项是同方差的。
而在GLS中，由于允许误差项的方差在不同自变量取值下不同，因此残差的协方差也可以根据具体的模型设定而变化。
总的来说，GLS和OLS的协方差都是在回归分析中用来衡量误差项之间关联程度的重要统计量。
通过对协方差的分析，我们可以更好地理解回归模型的拟合情况和误差的特性。
在实际应用中，选择合适的回归方法和对协方差的合理处理都对建立准确的回归模型和进行有效的统计推断至关重要。
普通最小二乘法
n
n
Q(ˆ0 , ˆ1 ) ( yi yˆ)2 ei2 最小
i 1
i 1
② 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程
( ei2 ) ˆ1
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) 0
( ei2 ) ˆ2
2
(Yi ˆ1 ˆ2 Xi ) Xi 0
即
或整理得
Yi nˆ1 ˆ2 Xi
XiYi ˆ1
Xi ˆ2
X
2 i
ei 0 ei Xi 0
用克莱姆法则求解得以观测值表现的OLS估计量：
ˆ2 n n
X iYi
X
2 i
(
X i Yi Xi )2
ˆ1
X
2 i
Yi
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi yi
x i2
y i2
X
2 i
Yi 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 平均
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 21500 2150
594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 15674 1567
Xi
X iYi
n
X
2 i
(
Xi )2
4
用离差表现的OLS估计量
为表达得更简洁，或者用离差形式的OLS估计量：
容易证明
__
__
ˆ2 n n
X iYi
X
普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法（OLS ）普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为^0β和^1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线） i i x y ^1^0^ββ+= i=1,2,…,n (2.2.2)应该能够最好地拟合样本数据。
其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ102110212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== (2.2.3)为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于21^1^012^))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即0011001100ˆ,ˆ1ˆ,ˆ0=∂∂=∂∂====ββββββββββQQ(2.2.4)容易推得特征方程： ()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101110==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i ni ii i i i n i i e x x yx e y y x yββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^1^0^1^0i i i i i i x x x y xn y ββββ （2.2.5） 所以有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 1012121121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
在引入虚拟变量后,普通最小二乘法
在引入虚拟变量后,普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，简称OLS）是一种经典的线性回归方法，在建立回归模型时被广泛使用。
然而，由于现实世界中的数据往往是复杂多样的，包括了多个因素和交互作用，仅仅使用OLS可能无法准确地表达数据之间的关系。
为了解决这个问题，可以引入虚拟变量（Dummy Variable）来进行模型拟合。
引入虚拟变量的目的是为了将定性变量（Qualitative Variable）转化为定量变量（Quantitative Variable）。
在回归模型中，通常定性变量是无法直接参与计算的，因此需要将其转化为虚拟变量。
虚拟变量可以将定性变量变成0和1的取值，使其能够成为线性回归模型中的自变量。
举个例子来说明虚拟变量的引入。
假设我们要研究一家电商平台的销售情况，研究对象包括了用户的性别、购买的商品类型以及是否参加了促销活动。
其中，用户的性别是一个定性变量，包括男性和女性；购买的商品类型也是一个定性变量，包括电子产品、衣物、食品等；是否参加了促销活动是一个二值型变量，取值为是或否。
为了将性别、商品类型和是否参加促销活动引入到回归模型中，我们需要为每一种变量引入虚拟变量。
例如，为性别引入虚拟变量，我们可以引入一个名为"性别"的虚拟变量，其取值为1代表男性，0代表女性。
同样地，我们可以为商品类型引入多个虚拟变量，如"电子产品"、"衣物"和"食品"等。
对于是否参加了促销活动这个二值型变量，我们只需要引入一个虚拟变量，例如"促销活动"，其取值为1代表参加，0代表不参加。
引入虚拟变量后，可以将其作为一个个线性回归模型中的自变量来进行模型拟合。
虚拟变量的系数代表了该定性变量的不同水平对因变量的影响。
例如，回归系数为正的虚拟变量意味着该定性变量对因变量有正向影响，回归系数为负则意味着有负向影响。
普通最小二乘法
第2章 普通最小二乘法2.1 一元回归模型的OLS 估计 2.2 多元回归模型的OLS 估计 2.3 回归方程的质量评价 2.4 估计模型总体拟合度的判定 2.5 2R被滥用的例证2.6 总结和习题回归分析的面包与黄油（这里类比回归分析的基本技术,译者注）是以一种被称为最小二乘法(OLS)的技术估计计量经济模型中的系数。
本章前两节对OLS 的工作原理及其使用理由进行概述。
实际应用中,OLS运算通常依赖计算机来完成，所以，OLS 的目标是什么以及如何实现这一目标是这部分内容的重点。
对一个已经估计的方程，你如何分辨它是好还是不好呢？存在很多有用的准则，包括估计的方程对实际数据的拟合程度。
但是，把注意力仅集中于拟合程度上也并非没有风险，所以本章还同时介绍了这一准则被滥用的例证。
2.1 一元回归模型的OLS 估计回归分析的目的在于对一个纯粹的理论方程： i i i X Y εββ++=10 (2-1)使用一组数据以建立如下的估计方程：ii X Y 10ˆˆˆββ+= (2-2) 其中符号“ˆ”表示对总体真值的一个样本估计值（对Y 而言，“总体真值”为E[Y|X]）。
估计技术的目的就是要得到对应的纯理论方程的系数的数值解。
为获得这些估计值而最为广泛使用的方法就是普通最小二乘法（OLS ）。
OLS 已经变成一种标准,即使分析中使用的是其他估计方法的结果，但OLS 估计值仍被作为参考的数值。
所谓普通最小二乘法，就是通过最小化残差的平方和而计算诸估计值(ˆs β)的一种回归估计技术。
即1：1求和符号Σ表示依其下标和上标所限定的i 的取值范围将其右侧项加总（或求和）。
例如，在式（2-3）中，意味着对从1到N 的整数将加总：2ie ∑=+++=Ni N i e e e e 1222212LOLS 最小化 (∑Ne 2=i i1N i ,,2,1L =) (2-3)因为这些残差()是真实值Y 和回归得到的估计值Y （即式（2-2）中的Y）之差，所以式（2-3）也可等价地表述为：OLS 最小化ie ˆ∑−2)ˆ(iiY Y。
普通最小二乘法和logit模型
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）和Logit模型是统计学中常用的两种回归分析方法。
它们分别适用于不同的数据类型和分析目的，在实际研究中应用广泛。
一、普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是回归分析中最基本的方法之一，它的主要思想是通过最小化观测数据与回归模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数估计值。
简而言之，OLS试图找到一条最能拟合数据的线，使得观测值与模型预测值的误差平方和最小。
在使用OLS进行回归分析时，需要满足一些假设前提。
数据应该呈现线性关系。
误差项应该是独立同分布的。
自变量之间不应该存在多重共线性。
只有在这些假设成立的情况下，OLS才能够给出有效的参数估计和显著性检验结果。
二、Logit模型Logit模型是一种广义线性模型，它常用于处理二分类问题，例如判断一个人是否患有某种疾病、是否购物某种产品等。
Logit模型的特点是能够将输出值限定在0和1之间，因此非常适合处理概率问题。
在Logit模型中，因变量通常用二项分布，自变量经过线性组合后通过逻辑函数（Logistic Function）转化为概率。
Logistic Function的形式为：\[p(x)=\frac{1}{1+e^{-z}}\]其中，\(p(x)\)表示概率，\(z\)为线性组合函数。
通过Logit模型可以得到各个自变量对于因变量的影响程度，这对于解释变量间的相互作用关系非常有用。
在实际应用中，Logit模型通常通过最大似然估计来确定模型参数。
使用Logit模型时，需要注意数据的合理性和模型的拟合度，以免出现过拟合或欠拟合的情况。
三、两种方法的比较1. 数据类型适用性：OLS适用于连续型数据的回归分析，而Logit模型适用于二分类问题的概率预测。
2. 假设前提：OLS对数据的要求相对较为严格，需要确保数据线性相关、误差项独立同分布等假设成立；而Logit模型对数据类型的要求相对较小，更适用于实际应用场景。
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普通最小二乘法（OLS ）
普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下
（见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到，
为^0β和^
1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见
图中的直线） i i x y ^
1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最
好地拟合样本数据。
其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ1021
10212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于
2
1
^1^012
^
))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^
1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即
0011001100ˆ,ˆ1
ˆ,ˆ0
=∂∂=∂∂====ββββββββββQ
Q
容易推得特征方程：
()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(1011
10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n
i i
i i i i n i i e x x y
x e y y x y
ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^
1^0^1^0i i i i i i x x x y x
n y ββββ （）
所以有：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121
21121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。
由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。
但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。
记
∑=-i x n
x 1 ∑=-i y n
y 1 y y y
x x x
i i i i -=-=
（）的参数估计量可以写成
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===∑∑==x y x y x n t i n t i i 101211ˆˆˆβββ 至此，完成了模型估计的第一项任务。
下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。
记i i i i y y u e ˆˆ-==为第i 个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。
则随机误差项方差的估计量为 2ˆ2
2-=∑n e i
u σ 在关于2ˆu σ
的无偏性的证明中，将给出（）的推导过程，有兴趣的读者可以参考有关资料。
在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。
由（）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量^0β和^1β的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（）看成^0β和^1β的一个表达式，那么，则是i y 的函数，而i y 是随机变量，所以^0β和^1β也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。
在本章后续内容中，有时把^0β和^1β作为随机变量，有时又把^0β和^
1β作为确定的数值，道理就在于此。