计量经济学 普通最小二乘法假设检验
最小二乘法计量经济学
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数据（亿元）
GNP
90年后
储蓄
4038.2
1991
9107
4517.8
1992
11545.4
4860.3
1993
14762.4
5301.8
1994
21518.8
5957.4
1995
29662.3
7206.7
1996
38520.8
8989.1
1997
46279.8
3、临界指标的虚拟变量的引入
在经济发生转折时期，可通过建立临界指标的虚拟变量模型来反映。 例如，进口消费品数量Y主要取决于国民收入X的多少，中国在改革开放前后，Y对X的回归关系明显 不同。 这时，可以t*=1979年为转折期，以1979年的国民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量：
1
Dt
0
t t* t t*
其矩阵形式为：
Y(XD, )α βμ
如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则式中的：
1 1
X11 X12
X k1 Xk2
1 0
0 1
0 0
0 0
0
(X,D) 1 1 11
X13 X14 X15 X16
X k3 Xk4 X k5 Xk6
0 0 0 1
0 0 1 0
Y ˆ t (ˆ0 ˆ2 X i* ) (ˆ1 ˆ2 )X t
三、虚拟变量的设置原则
虚拟变量的个数须按以下原则确定： 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变量的类别数少1，即如果有m个定性变量，只在模型中 引入m-1个虚拟变量。 例。已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量Xk的影响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，要考察 该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：
简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假定
简述计量经济模型普通最小二乘法的基本假
定
计量经济模型中，普通最小二乘法（ordinary least squares，简称OLS）的基本假定有以下几点：
1. 线性关系假定：模型中的变量之间存在线性关系，即因变量可以由一组自变量线性组合而成。
2. 条件独立性假定：观测到的数据之间是相互独立的，并且不存在任何相关关系。
换句话说，每个观测值的产生是彼此独立的。
3. 零条件均值假定：对于所有的自变量，其条件均值为零。
这意味着自变量在给定观测值时不受其他因素影响，对于样本中的每个观测值，自变量的均值为零。
4. 球形误差项假定：误差项具有同方差，并且在不同自变量取值情况下具有相同的方差。
这意味着误差项的方差在整个样本中是恒定的，并且与自变量无关。
5. 不存在多重共线性假定：自变量之间不存在完全线性相关或接近线性相关的情况。
这意味着自变量之间不会发生严重的共线性问题。
根据以上基本假定，普通最小二乘法可以通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和来得到模型参数的估计值。
普通最小二乘法回归估计
普通最小二乘法回归估计在统计学中，回归分析是一种用于研究自变量与因变量之间关系的方法。
其中，最小二乘法是一种常用的回归分析方法，它是通过最小化残差平方和来寻找自变量与因变量之间的最佳拟合线。
本文将介绍普通最小二乘法回归估计的原理、应用场景以及实施步骤。
普通最小二乘法回归估计的原理是基于最小化残差平方和的思想。
在回归分析中，我们希望通过自变量来预测因变量的取值。
通过建立一个线性模型，我们可以通过自变量的取值来估计因变量的取值。
而最小二乘法就是通过找到使得残差平方和最小的参数估计值来实现这一目标。
残差是指观测值与估计值之间的差异，残差平方和表示了观测值与估计值之间的总体误差。
普通最小二乘法回归估计可以应用于许多实际问题的解决。
例如，我们可以使用最小二乘法来分析房价与房屋面积之间的关系，从而预测房价。
我们可以将房屋面积作为自变量，房价作为因变量，建立一个线性回归模型。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合线，从而根据房屋面积预测房价。
此外，最小二乘法还可以用于经济学中的需求分析、金融学中的资产定价等领域。
实施普通最小二乘法回归估计的步骤如下：1. 收集数据：首先，我们需要收集自变量和因变量的数据。
确保数据的准确性和完整性是非常重要的，因为数据质量将直接影响到回归分析的结果。
2. 建立回归模型：根据收集到的数据，我们可以建立一个线性回归模型。
模型的形式可以是单变量线性回归、多变量线性回归等，具体的选择取决于研究问题和数据的特点。
3. 估计参数：通过最小化残差平方和，我们可以得到参数的估计值。
这一步骤通常使用数值优化算法来实现，例如梯度下降法、牛顿法等。
4. 模型评估：在得到参数的估计值之后，我们需要对模型进行评估。
常用的评估指标包括残差分析、方差分析、拟合优度等。
这些指标可以帮助我们判断模型的拟合程度和预测能力。
5. 模型应用：最后，我们可以使用建立好的回归模型来进行预测和推断。
通过输入自变量的取值，我们可以得到对应的因变量的估计值。
计量经济学知识点汇总
计量经济学知识点汇总1. 变量类型
- 连续变量和离散变量
- 定量变量和定性变量
- 内生变量和外生变量
2. 数据类型
- 横截面数据
- 时间序列数据
- 面板数据
3. 回归分析
- 简单线性回归
- 多元线性回归
- 非线性回归模型
4. 估计方法
- 普通最小二乘法(OLS)
- 加权最小二乘法(WLS)
- 极大似然估计法(MLE)
5. 假设检验
- t检验
- F检验
- 拉格朗日乘数检验
6. 模型诊断
- 异方差性
- 自相关
- 多重共线性
7. 面板数据模型
- 固定效应模型
- 随机效应模型
- hausman检验
8. 时间序列分析
- 平稳性和单位根检验
- 自回归模型(AR)
- 移动平均模型(MA)
- 自回归移动平均模型(ARMA)
9. 计量经济学软件
- Stata
- EViews
- R
10. 应用领域
- 宏观经济分析
- 微观经济分析
- 金融经济分析
- 政策评估
以上是计量经济学的一些主要知识点,涵盖了变量类型、数据类型、回归分析、估计方法、假设检验、模型诊断、面板数据模型、时间序列分析等内容,以及常用的计量经济学软件和应用领域。
计量经济学最小二乘假设
计量经济学最小二乘假设计量经济学是以数理统计学和经济学为基础的一门交叉学科。
它使用统计和经济学的原理和方法来研究经济问题。
在计量经济学中，最小二乘法是最常用的工具之一。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来找到最佳回归系数的方法。
这个方法基于一个重要的假设，即最小二乘假设。
最小二乘假设指的是因变量y和自变量x之间的关系是确定性的，即y 的值唯一地确定了给定x的值。
这个假设在计量经济学中是非常重要的，因为它为最小二乘法提供了理论基础。
最小二乘假设可以表述为：对于任意一个给定的x的值，y的条件期望是一个确定的数值。
这个条件期望可以用线性方程来表示。
换句话说，最小二乘假设认为因变量y和自变量x之间的关系是线性的，且残差是随机的。
通过使用最小二乘法来估计回归系数，可以得到一个拟合优度很高的线性模型。
最小二乘假设的适用条件是，因变量和自变量之间的关系是线性的，并且误差项是随机的。
如果这个假设不成立，那么最小二乘法就不能得到准确的估计结果。
例如，如果因变量和自变量之间存在非线性关系，那么最小二乘法可能会得到一个不准确的模型。
此外，误差项必须是满足一定的特征，才能使用最小二乘法进行估计。
误差项的方差必须是恒定的，即误差的方差不会随着自变量的变化而变化。
误差项还必须是独立的和正态分布的。
如果误差项不满足这些条件，那么最小二乘法也不能得到准确的结果。
在计量经济学中，最小二乘假设是非常重要的。
它为计量经济学中的最小二乘法提供了理论基础，并确保了回归系数的准确性。
最小二乘假设的适用条件也提醒我们，当使用最小二乘法进行回归分析时，需要注意数据的特征以及误差项的性质。
只有在满足最小二乘假设的条件下，才能保证最小二乘法的准确性和可靠性。
普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法（OLS ）普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为^0β和^1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线） i i x y ^1^0^ββ+= i=1,2,…,n(2.2.2)应该能够最好地拟合样本数据。
其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ102110212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== (2.2.3)为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于21^1^012^))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即0011001100ˆ,ˆ1ˆ,ˆ0=∂∂=∂∂====ββββββββββQQ(2.2.4)容易推得特征方程： ()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101110==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i ni ii i i i n i i e x x yx e y y x yββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^1^0^1^0i i i i i i x x x y xn y ββββ （2.2.5） 所以有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 1012121121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
普通最小二乘法的原理
普通最小二乘法的原理
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）是用来估计参数最受欢迎
的线性回归方法。
它用来估计线性模型中的参数，也就是方程的未知数。
其假设是，观测值之间没有任何关系，这里就不考虑协变量间的相关性，而且所有观测值都是模型下的服从正态分布。
普通最小二乘法的计算公式如下：设现有数据集X和Y，X是样本变量矩阵，Y
为结果变量矩阵。
设B是需要推断的各参数的系数，则可以用最小二乘法表示为：
min（(Y-XB)T (Y-XB)）
将以上公式求导，得到最优解B(hat)：
B(hat) =(XT*X)-1 * XT*Y
普通最小二乘法旨在找到能够最好地拟合观测值的参数系数，其假设是数据
集中每一对观测值互相独立，由于回归模型是线性的，所以每个变量与回归模型的关系也是线性的。
普通最小二乘法最重要的优点是可以更准确地估算参数。
在大数据量的情况下，它可以更好地拟合观测值，而且它既可以解决多变量回归模型，也可以解决只有一个变量的单变量回归。
然而，普通最小二乘法也有缺点，最明显的是它无法检测出某个变量与观测值
之间的关系，它只能计算出每个变量与观测值之间的差异。
如果存在异常值，它可能造成过拟合，影响模型的准确性。
总的来说，普通最小二乘法是统计学中最有用的估计参数的方法，具有较高的
准确度和较快的收敛速度，因此被广泛地使用和推广。
计量经济学(重要名词解释)
——名词解释将因变量与一组解释变量和未观测到的扰动联系起来的方程，方程中未知的总体参数决定了各解释变量在其他条件不变下的效应。
与经济分析不同，在进行计量经济分析之前，要明确变量之间的函数形式。
经验分析（Empirical Analysis）：在规范的计量分析中，用数据检验理论、估计关系式或评价政策有效性的研究。
确定遗漏变量、测量误差、联立性或其他某种模型误设所导致的可能偏误的过程线性概率模型（LPM）（Linear Probability Model, LPM）：响应概率对参数为线性的二值响应模型。
没有一个模型可以通过对参数施加限制条件而被表示成另一个模型的特例的两个（或更多）模型。
有限分布滞后（FDL）模型（Finite Distributed Lag (FDL) Model）：允许一个或多个解释变量对因变量有滞后效应的动态模型。
布罗施-戈弗雷检验（Breusch-Godfrey Test）：渐近正确的AR（p）序列相关检验，以AR（1）最为流行；该检验考虑到滞后因变量和其他不是严格外生的回归元。
布罗施-帕甘检验（Breusch-Pagan Test）/（BP Test）：将OLS 残差的平方对模型中的解释变量做回归的异方差性检验。
若一个模型正确，则另一个非嵌套模型得到的拟合值在该模型是不显著的。
因此，这是相对于非嵌套对立假设而对一个模型的检验。
在模型中包含对立模型的拟合值，并使用对拟合值的t 检验来实现。
回归误差设定检验（RESET）（Regression Specification Error Test, RESET）：在多元回归模型中，检验函数形式的一般性方法。
它是对原OLS 估计拟合值的平方、三次方以及可能更高次幂的联合显著性的F 检验。
怀特检验（White Test）：异方差的一种检验方法，涉及到做OLS 残差的平方对OLS 拟合值和拟合值的平方的回归。
这种检验方法的最一般的形式是，将OLS 残差的平方对解释变量、解释变量的平方和解释变量之间所有非多余的交互项进行回归。
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(ˆ j j) / se(ˆ j) tNk1
在实践中，我们经常对 1是否为零的假设感
兴趣，显然在假设体系： H0 : 1 0
H1 : 1 0
下，此时的t统计量是 ˆ1/ se(ˆ1)
如果原假设被拒绝，那么我们就说在某某显 著水平上x是统计上显著的；如果不能被拒绝， 则就说x在某某显著水平上是统计上不显著的。
F U / m ~ F (m, n) V /n
5. x1, x2,
,
xn
iid
~
N(,
2 ), S 2
1 n 1
xi2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
6.正态分布的线性组合仍然服从正态分布
经典线性模型假定
对于模型 yi 0 1xi i ，利用OLS有：
在高斯ˆ1-马 尔1 科夫(假(xxii定x下x))，2i OLS估计量的抽样
服从以上所有假设条件(1-7)的线性回归模型称为 CNLRM(经典正态线性回归模型 ).
ˆ1
1
(xi x)i (xi x)2
1
1 N
1
(xi
x)2
•
(xi
N
x)i
考虑x非随机这种简单情况，显然，当样本容 量很大时，只要误差项是独立同分布的（并不 需要要假定误差项服从正态分布），那么根据
中心极限定理，ˆ1 应该近似服从正态分布。当
利用标准正态分布作假设检验
某一经济经济理论预言β1＝w 。如果你手中掌 握一组样本，一个问题是，你所掌握的样本支 持这个预言吗？ 现在来考察标准正态分布。在该分布上，存在
对称的两点：z0.025与z0.025 ，其中：
Pr(Z z0.025) Pr(Z z0.025) 0.025
如果把概率为5%的事件称为小概率事件，那么，
然，为了保证误差项的独立性，抽样的随机性 十分关键。
假定 yi 0 1xi i是真实模型，当然我
们并不知道各参数的真实值是多少。
在经典线性模型假定下，ˆ1 N
z= (ˆ11)/ sd(ˆ1) N(0,1) 其中
(1,
2ˆ1)
或者
sd
(ˆ1)2＝2ˆ1
(
xi
2
x)2
练习
练习：确定 ˆ 的分布。 0
U z12 z22 zn2 ~ 2 (n)
3. t distibution :Z ~ N (0,1),U ~ 2 (n), Z,U independent
t Z ~ t(n) U /n
必要的数理统计知识(2)
4. F distibution :U ~ 2 (m),V ~ 2 (n), U ,V independent
1]
2
e1服从正态分布。即
e1 E(e1) e1 y f yˆ f N (0,1)
Sd (e1) Sd (e1) Sd (e1)
因此，
Pr ob(za/2
对yf的区间预测是：
y f yˆ f Sd (e1)
za/2) 1 a
[za/2Sd (e1) yˆ f , za/2Sd (e1) yˆ f ]
( y f yˆ f ) / Sd (e1) ＝( y f yˆ f ) （t N k 1)
N
( ˆi2 / 2 ) （/ N k 1)
Se(e1)
i 1
因此，在置信水平a下，对的区间预测是：
[ta/2Se(e1) yˆ f ,ta/2Se(e1) yˆ f ]
练习
请给出E(yf)的区间预测。
假设检验的正式步骤
H0 : 1 （1）建立原假设与备择假设： H1 : 1
原假设与备择假设互斥；假设体系应该是完备的，即原假设与 备择假设两者之一必为真，但两者不能同时为真。
（2）确定小概率标准a。
经常我们把1%、5%或者10%作为小概率标准。对a更加正式的 称呼是“显著水平”。
（3）考察统计量值 (ˆ1)/ sd(ˆ1) 是否落在拒绝
那么在显著水平a下，拒绝域应该是 [za , )
问题1：为何要设置这样的假设体系？
答案：这依赖于先验的理论与判断。例 如，假定 1是某正常商品的消费收入弹 性，那么 1 不可能为负。我们可以通过 建立如下的假设体系：H0 : 1 0
H1 : 1 0
并基于样本来判断 1 0是否为真。
问题2：为什么 [, za/ 2 )并不是拒绝域？
下，以10%为显著水平，我们是否拒绝原假设？
t检验
(ˆ11)/ sd(ˆ1) N(0,1) 中，sd(ˆ1)
2ˆ1
2
(xi x)2
2常常是未知的，就不能利用正态分布进
行假设检验。
ˆ2 RSS
ˆi2
N k 1 N k 1
定义 se(ˆ1) ˆ2 / (xi x)2 标准误
注意！标准误与标准差之间的差别
1. 标准误(Standard error)是标准差 (Standard deviation)的估计量（值）。 2.标准差是常数，当样本可变时，标准 误为随机变量。
t检验
(ˆ1 1) / sd(ˆ1) (ˆ1 1) /
2
(xi x)2
N
(0,1)
ˆi2 / 2 （2 N 2)
(ˆ1 1)
间估计量，而1-a是置信水平。
区间预测
假定真实模型是：y 0 1x ，模型满足经典
线性模型假定。以作为对yf的预测。此时预测误 差是： e1 y f yˆ f (0 ˆ0) (1 ˆ1)xf f
显然，E(e1)=0，
1 Var(e1) [ N
(x (xi
xf )2 x)2
应该注意：即使的绝对值很小很小（即所谓的变量x无经济 显著性或者实际显著性（economic significance/practical significance），但在统计上， 它可能显著地与0不同。
思考题：
样本容量为30，建立回归模型：
yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i
tˆ1 等于-2.3，请判断在显著水平1%、
5%与10%下是否拒绝原假设。
置信区间
在 yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i 模型下， 有： ˆ1 1/ se(ˆ1) t(N-k -1) 则有：Pr[ˆ1 ta/2se(ˆ1) 1 ˆ1 ta/2se(ˆ1)]1a
ˆ1 ta/2se(ˆ1), ˆ1 ta/2se(ˆ1) 被称为 1 的区
N
( ˆi2 / 2 ) （/ N k 1)
Se(e2 )
i 1
因此，在置信水平a下，对的区间预测是：
[ta/2Se(e2 ) yˆ f ,ta/2Se(e2 ) yˆ f ]
F检验
现在我们把简单线性回归模型扩展为多元线 性模型，例如模型是：
yi 0 1x1i 2x2i 3x3i i
如果我们对原假设 H0:1 w1;2 w2
域： (, za/ 2 ] [za/ 2, ) 之内.
如果落在上述区间之内，那么在a显著水平上，我们拒 绝原假设，接受备择假设；反之，我们不拒绝原假设， 拒绝备择假设。
利用标准正态分布作假设检验
双侧检验
如果拒绝域是 (, za/2 ] [za/2, )
单侧检验
如果假设体系是： H0 : 1 H1 : 1
问题3：为什么拒绝域是 [za , ) ?
思考题：
在假设体系： H0 : 1 H1 : 1
下，计量软件包计算出为正的统计量值z，而 且P值为0.120【注：计量软件包默认的P值是 双尾的概率，当z为正时，它计算的是
Pr(Z z Z z) 】。
在假设体系 H0 : 1
H1 : 1
N
See2 ˆ
[
1 N
(
x (
xi
xf
)2
x)2
],ˆ
ˆi2
i 1
N k 1
N
ˆi2 / 2 （2 N k 1)
i 1
E( y f ) yˆ f N(0,1) Sd (e1)
(E( y f ) yˆ f ) / Sd (e2 ) ＝(E( y f ) yˆ f ) （t N k 1)
3 普通最小二乘法假设检验
模型检验内容
经济意义的检验
统计检验
计量经济学检验 预测检验
本节主要讲述统计检验的内容
方程显著性检验及变量显著性检验
必要的数理统计知识(1)
1. normal distribution : z ~ N (, 2 ),密度函数为
1
( x )2
e 2 2
2
iid
2. 2 distribution : z1, z2 , , zn ~ N (0,1)
分布完全取决于误差项的分布。
经典线性模型假定
假设7：ε服从正态分布
i
~
N
(0,
2
)
仅仅参数估计（点估计），假设1-6足矣。要进行假设检 验，就必须对ε的概率分布作出假定。假设误差项服从 正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素构成的， 当这些因素是独立同分布时，依照中心极限定理，那么 这些因素之和应该近似服从正态分布。除少数情形（如 Cauchy分布）外，随着样本容量的增加，该假设都会得 到满足。
2
(xi x)2
ˆi2 / 2
N 2
(ˆ1 1)
2
ˆi2 / 2
(xi x)2 N 2
（t N 2)
(ˆ1 1) / se(ˆ1) （t N 2)
假设检验的正式步骤
（1）建立原假设与备择假设： H0 : 1
H1 : 1
（2）确定小概率标准a 。
（3）考察统计量值 (ˆ1 ) / se(ˆ1) 是否落在
拒绝域：(,ta/2(n 2)] [ta/2(n 2),) 之内.