黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三上学期第四次测试(期末)数学(文)试题
黑龙江省哈三中2018届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{}xy y A 2==，，则=⋂B AA ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 为等差数列，且π21371=++a a a ，则=7tan aA ．BC ．D ．-3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()3,1的圆的方程是A ．()1222=-+y xB ．()1222=++y x⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=011x x x B 1,1（-）），（10），（∞+111,∞⋃+∞（-，-）（）C ．()1322=-+y xD ．()1322=++y x4．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，则目标函数y x z 23+-=的最小值为A ．B ．C ．D ．5．林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进 行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图， 下列描述正确的是A ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 甲 乙 高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐. 9 1 0 4 0B ．甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 9 5 3 1 0 2 6 7 高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐. 1 2 3 7 3 0C ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 4 4 6 6 7 高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.D ．乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均 高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.6．已知ABC ∆中，10=AB ,6=AC ,8=BC ,M 为AB 边上的中点，则A ．0B ．25C ．507．记函数212)(x x x f --=的定义域为D ,在区间[]5,5-上随机取一个实数x ，则D x ∈的 概率是A ．107 B ．53 C ．101 D ．518．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七 七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国 剩余定理”. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，8624=⋅+⋅CM则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于A ．8B ．11C ．13D ．159．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为Aπ BCDπ11．已知函数),0,0()sin()(R a a x x f x∈<<>+=πϕωπϕω，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取 A ．2πB ．πC ．π2D ．π412．已知 ，若m x f =)(有四个不同的实根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则()4321x x x m x m +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的取值范围为 A ．()10,0 B ．[]10,0 C ．()4,0D ．[]4,0正（主）视图侧（左）视图俯视图⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-=3,22352131,)1(log )(22x x x x x x f2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知2tan -=θ，则_______2tan =θ．14．已知)(x f 是定义在R 上的周期为4的偶函数，当[]0,2-∈x 时，=)(x f x2-，则=)5(f _______．15．已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为)05(2，F ，线段 2PF 的垂直平分线为x y 2=，则椭圆C 的方程为__________．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3264--=n a S n n ，设⎪⎭⎫⎝⎛+=21log 3n n a b ，则 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前10项和为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足0)cos(3sin =++C B b B a ，19=a .（Ⅰ）求A ;（Ⅱ）若,2=b 求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）为了解某冷饮店上半年的经营状况，随机记录了该店上半年月营业额y （单位：万 元）与月份x 的数据，如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a x b y ；（Ⅱ）若在这些样本点中任取一点，求它在回归直线上的概率.附：回归方程∧∧∧+=a x b y 中，∑∑==∧---=ni i n i iix x y y x x b 121_)(）（）（∑∑==-⋅-=ni i ni ii xn x yx n y x 1221__，x b y a ∧∧-=.19．（本小题满分12分）矩形ABCD 中，22==AD AB ，P 为线段DC 中点，将ADP ∆沿AP 折起，使得平面⊥ADP 平面ABCP .（Ⅰ）求证：BP AD ⊥； （Ⅱ）求点P 到平面ADB 的距离.20．（本小题满分12分）抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于B A 、两点.（Ⅰ）若点）（0,1T ，且直线BT AT ,的斜率分别为21,k k ，求证：021=+k k ；ABCPDPDA BC（Ⅱ）设B A 、两点在抛物线的准线上的射影分别为Q P 、，线段PQ 的中点为R ，求证：FQ AR //.21．（本小题满分12分）已知e 为自然对数的底.（Ⅰ）求函数)1(e )(1x x J x+-=, )211(e )(22x x x J x++-=的单调区间; （Ⅱ）若ax x x x≥++-)61211(e 32恒成立, 求实数a 的值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆锥曲线⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 6cos 22:y x C （α为参数）和定点)60(，A ，12F F 、是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ） 以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程； （Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于N M 、两点，求的值.23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）设函数)0(122)(>++-=a x a x x f ，2)(+=x x g （Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≤的解集； （Ⅱ）若)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.11NF MF -2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史）参考答案二、填空题13. 34 14. 21- 15. 14922=+y x 16. 1110 三、解答题17.（Ⅰ）,0cos sin 3sin sin =-A B B A ΘA A cos 3sin =∴,0sin ≠A Θ33tan π=∴=∴A A（Ⅱ）cc A ⋅⋅-+=∴=221942132πΘ5=∴c 235sin 21==∴A bc S . 18.（Ⅰ）16,5.3==y x 9,2^^==a b92^+=∴x y .（Ⅱ）设“在样本点中任取一点，在回归直线上”为事件A, 21)(=A P . 19.（Ⅰ）因为2,2,2===AB BP AP ，有222AB BP AP =+，所以AP BP ⊥由已知平面⊥ADP 平面ABCP ,平面⋂ADP 平面AP ABCP =,所以⊥BP 平面ADP ⊂AD 平面ADP ,所以AD BP ⊥ （Ⅱ）（法一）由第一问AD BP ⊥，已知AD DP ⊥，P BP DP =⋂,所以⊥AD 平面DBP所以平面⊥ADB 平面DBP ,因为平面⋂ADB 平面BD DBP =，在平面DBP 内做BD PH ⊥于H ，则⊥PH 平面ADB ，在BPD Rt ∆中，解得36=PH ，所以P 到平面ADB 的距离为36. （法二）由已知平面⊥ADP 平面ABCP ,平面⋂ADP 平面AP ABCP =，过D 做⊥DO AP 于O ,所以⊥DO 平面ABP ,三棱锥ABP 的高为22，23,1==∆∆ADB ABP S S ,由于ABP D ADB P V V --=,解得36=h ，所以P 到平面ADB 的距离为36.20.（Ⅰ）设直线AB :1-=x my，）（）（2211,,,y x B y x A , ⎩⎨⎧=-=x y x my 412可得0442=--my y ,⎩⎨⎧-==+442121y y m y y , 0)2)(2()4(2)4(2)2)(2()(22)11)(11()()1()1()1)(1()()1)(1()1()1(11212121212121122121211221211221221121=+++-=++++=+++++++++=+++++=+++++=+++=+my my m m my my y y y my my my y y my y my y x x y y x y x y x x x y x y x y x y k k（Ⅱ）,0,1,2,1,,1,,21211）（）（）（）（F yy R y Q y x A +-- )1(212121211211121x y y x yy x yy y k AR +-=+-=---+=,211022yy k QF-=---=)1(2)4()4()1(2)()1(2)2()1(2)1(2)1(211212111221112212121=+-+=+++=+++-=+++-=++-=-x m m x ymy y y x my y y y x x y y y y x y y k k QFAR即QFARkk =，所以直线AR 与直线Q F 平行21. （Ⅰ））），减区间为（，）增区间为（（0,01∞-∞+x J ; ），）增区间为（（∞+∞-x J 2 （Ⅱ）1=a ;22.（Ⅰ）消参得16822=+y x ,,6,822==∴b a ,22=∴c )0,2()0,2(21F F ，-∴, ,162:2=+∴yx l AF ,化为极坐标方程：,6sin cos 3=+θρθρ, 即.263sin=+）（πθρ （Ⅱ）1AF l 的参数方程：)(30sin 30cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧︒=︒+-=代入16822=+y x ， 整理得：018634132=--t t ，,1361221=+∴t t 13612212111=+=-=-t t t t NF MF . 23.（Ⅰ）解:(1)当1=a 时,不等式)()(x g x f ≤即,21212+≤++-x x x等价于⎪⎩⎪⎨⎧+≤--≤2421x x x ①或,⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<-222121x x ②,或⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥2421x x x ③. 解①求得 x 无解,解②求得210<≤x ,解③求得,3221≤≤x 综上,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤320x x . （Ⅱ）由题意可得2122+≥++-x x a x 恒成立,转化为02122≥--++-x x a x 恒成立.令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<--+--≤-+-=--++-=2,13221,121,352122)(a x a x a x a x x a x x x a x x h ，）（0>a ， 易得)(x h 的最小值为12-a ，令012≥-a，求得2≥a .。
黑龙江省哈尔滨三中2017-2018学年高三下学期第四次模拟数学(文)试卷 Word版含解析
黑龙江省哈尔滨三中2017-2018学年高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．无数2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．执行如图程序框图其输出结果是( )A．29 B．31 C．33 D．354．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为( )A．B．C．4 D．6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )A．南岗校区B．群力校区C．南岗、群力两个校区相等D．无法确定8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( ) A．B．C．D．9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为( )A．48πB．12πC．4πD．32π10．若，则cosα+sinα的值为( )A．B．C．D．11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )A．2 B．C．4 D．12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( )A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=__________．14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为__________．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=__________．16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5（Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T 作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=上．（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：（2）求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f （x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．黑龙江省哈尔滨三中2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．无数考点：虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的幂运算，化简求解即可．解答：解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．点评：本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为( )A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由对称性可得f（2）=0，f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，讨论x+1≥1，x+1＜1，运用单调性，解不等式，最后求并集即可得到解集．解答：解：由f（x）的图象关于x=1对称，f（0）=0，可得f（2）=f（0）=0，当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集为（﹣1，1）．故选：B．点评：本题考查函数的单调性和对称性的运用：解不等式，主要考查单调性的定义的运用和不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．3．执行如图程序框图其输出结果是( )A．29 B．31 C．33 D．35考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，a=3，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=7，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=15，不满足输出条件，再次执行循环体后，a=31，满足输出条件，故输出结果为31，故选：B．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．已知平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用面面垂直线面垂直判定和性质和充要条件的定义即可判断．解答：解：由于α⊥β，α∩β=m，n⊂β，若n⊥m，根据线面垂直的判断定理，则n⊥α，若n⊥α，根据线面垂直的性质定理，则n⊥m，故平面α⊥β，α∩β=m，n⊂β，则“n⊥m”是“n⊥α”成立充要条件．故选：A．点评：本题以线面垂直面面垂直为载体，考查了充分条件和必要的条件的判断，属于基础题．5．某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为( )A．B．C．4 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故几何体的体积V==，故选：A．点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．6．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．解答：解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2 +a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是( )A．南岗校区B．群力校区C．南岗、群力两个校区相等 D．无法确定考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据分布，即可得到两地浓度的方差的大小关系．解答：解：根据茎叶图中的数据可知，南岗校区的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，而群力校区的数据分布比较分散，不如南岗校区数据集中，∴南岗校区的方差较小．故选：A点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．8．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=( ) A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．解答：解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．9．三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为( )A．48πB．12πC．4πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．解答：解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△BAB≌△PAC≈△PBC∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=12π故选：B．点评：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．10．若，则cosα+sinα的值为( )A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，故选C点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．11．双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为( )A．2 B．C．4 D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4求得一交点坐标，代入双曲线方程求得λ，则双曲线C的实轴长可求．解答：解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，设等轴双曲线C的方程为y2﹣x2=λ，（1）抛物线y2=4x，则2p=4，p=2，∴，∴抛物线的准线方程为x=﹣1．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣1的两个交点A（﹣1，y），B（﹣1，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣1，y=2代入（1），得22﹣（﹣1）2=λ，∴λ=3，∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=3，即，∴C的实轴长为．故选：D．点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为( )A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f （x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B点评：本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7=．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3•a5，∴8q3=8q2•8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14．已知变量x，y，满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=4且y=2时z 取得最大值10．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（0，1），B（3，1），C（4，2），D（0，6）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察l在y轴上的截距变化，可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，2）=2×4+2=10故答案为：10点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=30°．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解答：解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．16．向量=（1，1），=（，），f（x）=•，函数f（x）的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1），可得y2=4+，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：f（x）=•==y，（﹣3≤x≤1）∴y2=4+≤4+2=6，当x=﹣1时取等号，∴≤y，∴函数f（x）的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，求g（x）的对称轴方程和对称中心坐标．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，根据x的范围和正弦函数的极值性即可得解；（Ⅱ）由三角函数图形变换规律可求g（x），由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴，由2x=k，（k∈Z）可得对称中心．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x=sin2x+1+cos2x，∴，∵，∴，∴f（x）的最大值为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵，将函数f（x）图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）图象，∴g（x）=2cos2x+2，∴由2x=kπ，（k∈Z）可得对称轴为直线，（k∈Z）由2x=k，（k∈Z）可得对称中心为，（k∈Z）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数图形变换规律，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．一个袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，球的编号分别为1，2，3，4，5 （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于5的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为x，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为y，求y＞|x﹣4|的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出从5个球中随机抽取两个球的所有方法种数，再求出两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．（Ⅱ）先求出有放回的从袋子中取出两个球的所有方法种数，再求出y＞|x﹣4|的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：（Ⅰ）从5个球中随机抽取两个球共有=10种不同的情况，而且这些情况都是等可能发生的，其中满足取出的小球编号之和大于5的情况有：（1，5）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共6种，故取出的小球编号之和大于5的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）有放回的从袋子中取出两个球共有5×5=25种不同的情况，而且这些情况都是等可能发生的，其中符合题意的情况有：x=1，y＞3，y=4，5，x=2，y＞2，y=3，4，5，x=3，5，y＞1，y=2，3，4，5x=4，y＞0，y=1，2，3，4，5，x=5，y＞1，y=2，3，4，5，共18种情况，故y＞|x﹣4|的概率﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．解答：（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CO与平面ABC所成角为α，则sinα==．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点分别为、，点P在椭圆C上，满足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由tan∠F1PF2=4．可得cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|=7|PF2|，可得m=7n．利用椭圆的定义及其余弦定理可得，解得即可得出．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆方程可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由于△＞0，可得4k2+1＞m2，设D，E中点为M（x0，y0），利用根与系数的关系可得：，利用k AM k=﹣1，得，代入△＞0解出即可．解答：解：（I）∵tan∠F1PF2=4．∴cos∠F1PF2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．联立，解得a=2，m=，n=．∴b2=a2﹣c2=1，故所求C的方程为．（II）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2，①又，设D，E中点为M（x0，y0），，∵k AM k=﹣1，得②，将②代入①得，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或∴存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、余弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T 作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q 处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（2）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证解答：解：（1）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；（2）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则①令．则因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在（1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0则．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO，由切割线定理可得DN2=DT•DM，即可得证；（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．解答：（Ⅰ）证明：连接ON，∠OND=90°，，△OBN为等边三角形，则CN⊥OB，可证△DCN与△DNO相似，得DN2=DB•DO；又DN2=DT•DM，则DT•DM=DO•DC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，且∠TDO=∠CDM，所以△DTO与△DBM相似，则∠DOT=∠DMC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为，所以∠BMC=15°点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ=上．（1）求点P的轨迹方程和曲线的直角坐标方程：（2）求|PQ|的最大值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用消参法，可得P的轨迹方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线的直角坐标方；（2）求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的最大值．解答：解：（1）令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，π]，则点P的轨迹是上半圆：（x﹣1）2+y2=1（y≥0）．曲线C：ρ=，即ρcosθ﹣ρsinθ=10，∴曲线C的直角坐标方程：x﹣y=10…（2）圆心到直线的距离为=，∴|PQ|的最大值为+1．…点评：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b满足：a+b=2．（Ⅰ）求的最小值m；（Ⅱ）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得=（）（a+b）=（2++），由基本不等式可得；（2）由不等式的性质可得f（x）≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2，由基本不等式和不等式的性质可得．解答：解：（1）∵正实数a，b满足a+b=2．∴=（）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当=即a=b=1时取等号，∴的最小值m=2；（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t+|=2当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．点评：本题考查基本不等式，属基础题．。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
第 1 页（共 15 页）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
8．（5 分）如果双曲线的两个焦点分别为 F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为 y＝
x，那么经过双曲线焦点且垂直于 x 轴的弦的长度为（ ）
A．4
B．2
C．2
D．1
9．（5 分）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形，则
A．
B．
）＝
，则函数 g（x）＝f[f（x）]﹣ 的零点个
数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．（5 分）已知椭圆
＝1 与双曲线
＝1 有共同的焦点，且双曲线的离心
第 2 页（共 15 页）
该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．2
D．
10．（5 分）已知椭圆 +x2＝l（a＞1）的离心率 e＝ ，P 为椭圆上的一个动点，则 P
与定点 B（﹣1，0）连线距离的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
11．（5 分）已知点 M，N、P，Q 在同一个球面上，且 MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体 MNPQ 体积的最大值为 10，则该球的表面积是（ ）
2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．（5 分）设 P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（ ）
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）-含答案解析
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考三模试卷数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则 A ={y|y =2x}B ={x|x +1x ‒1>0}A ∩B =()A. B. C. D. (0,1)(1,+∞)(‒1,1)(‒∞,‒1)∪(1,+∞)【答案】B【解析】解：，，A ={y|y =2x}=(0,+∞)B ={x|x +1x ‒1>0}=(‒∞,‒1)∪(1,+∞)，．∴A ∩B =(0,+∞)∩[(‒∞,‒1)∪(1,+∞)]=(1+∞)故选：B ．求出集合A ，再求解不等式化简集合B ，然后由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.已知数列为等差数列，且，则 {a n }a 1+a 7+a 13=2πtana 7=()A. B. C. D.‒33±3‒33【答案】A【解析】解：数列为等差数列，，∵{a n }a 1+a 7+a 13=2π，即．∴3a 7=2πa 7=2π3则．tana 7=tan 2π3=‒tan π3=‒3故选：A ．由，利用等差数列的性质可得：，再利用三角函数求值即可得出．a 1+a 7+a 13=2π3a 7=2π本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点的圆的方程为 (1,3)()A. B. C. D. x 2+(y ‒3)2=1x 2+(y +3)2=1(x ‒3)2+y 2=1(x +3)2+y 2=1【答案】A【解析】解：设圆心坐标为，(0,a)圆的半径为1，且过点，∵(1,3) ∴(0‒1)2+(a ‒3)2=1解得a =3所求圆的方程为 ∴x 2+(y ‒3)2=1故选：A ．设出圆心坐标，利用半径为1，且过点，即可求得结论．(1,3)本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．4.设x ，y 满足约束条件，则目标函数的最小值为 {3x ‒y ‒6≤0x ‒y +2≥0x ≥0,y ≥0z =‒3x +2y ()A. 4B. C. D. ‒2‒6‒8【答案】C【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；{3x ‒y ‒6≤0x ‒y +2≥0x ≥0,y ≥0由得，z =‒3x +2y y =32x +12z平移直线，由图象可知当直线经过点A 时，y =32x +12zy =32x +12z直线的截距最小，此时z 最小；由，解得，此时，{3x ‒y ‒6=0y =0A(2,0)z min =‒3×2+0=‒6的最小值为．∴z =‒3x +2y ‒6故选：C ．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是 (cm)()A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲=19+20+21+23+25+29+31+32+33+3710=27故：乙种树苗的平均高度大于甲种树乙=10+10+14+26+27+30+44+46+46+4710=30S 2甲<S 2乙苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D ．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容数据的离散.程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．6.已知中，，，，M 为AB 边上的中点，则 △ABC AB =10AC =6BC =8⃗CM ⋅⃗CA +⃗CM ⋅⃗CB =()A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】解：中，，，，△ABC AB =10AC =6BC =8由，即为以AB 为斜边的直角三角形，AB 2=AC 2+BC 2△ABC M 为AB 边上的中点，可得，CM =12AB =5，⃗CM=12(⃗CA+⃗CB)则．⃗CM⋅⃗CA+⃗CM ⋅⃗CB=⃗CM⋅(⃗CA+⃗CB)=2⃗CM2=2×52=50故选：C ．判断为直角三角形，可得，，再由向量数量积的性质：向量的平方即为△ABC CM =12AB =5⃗CM=12(⃗CA+⃗CB)模的平方，计算可得所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，以及中点向量表示形式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.记函数的定义域为D ，在区间上随机取一个实数x ，则的概率是 f(x)=12‒x ‒x 2[‒5,5]x ∈D ()A.B.C.D.7103511015【答案】A【解析】解：函数的定义域为f(x)=12‒x ‒x 2，D ={x|12‒x ‒x 2≥0}={x|x 2+x ‒12≤0}={x|‒4≤x ≤3}则在区间上随机取一个实数x ，的概率是[‒5,5]x ∈D ．P =3‒(‒4)5‒(‒5)=710故选：A ．求出函数的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．f(x)本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8.我国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知《》其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”若正整数N 除以正整数m 后的.余数为n ，则记为，例如现将该问题以程N ≡n(modm)10≡2(mod4).序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于 ()A. 13B. 11C. 15D. 8【答案】A【解析】解：第一个循环结构需要输出n除以3余数是1的数，从9开始，如：10，13，16…第二个循环结构需要输出n除以5余数是3的数，从10开始，如：13，18…∴输出n值为13，故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．()9.钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A⇒【解析】解：“好货”“不便宜”，反之不成立．∴：“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．故选：A．⇒.“好货”“不便宜”，反之不成立即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．()10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.B.C.D.9+36π6+36π3+36π12+36π【答案】A【解析】解：由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，1234由图中数据可得几何体的体积为，12⋅13⋅π⋅12⋅3+34π⋅12⋅2=9+36π故选：A ．由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得该几何体的体积．1234本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．11.已知函数，在的大f(x)=sin(ωx +φ)aπ|x|(ω>0,0<φ<π,a ∈R)[‒3,3]致图象如图所示，则可取 ωa ()A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】B【解析】解：函数，在的大致图象如图所示，f(x)=sin(ωx +φ)aπ|x|(ω>0,0<φ<π,a ∈R)[‒3,3]结合图象得，，f(0)=sinφa=2∴sinφ=2a ，f(1)=sin(ω+φ)aπ=0，f(‒1)=sin (‒ω+φ)aπ=0，f(3)=sin(3ω+φ)aπ3=0，f(‒3)=sin (‒3ω+φ)aπ3=0由此可取，，ω=φ=12πa =12可取．∴ωaπ故选：B ．结合图象得，f(0)=sinφa=2，，，，，sinφ=2a f(1)=sin(ω+φ)aπ=0f(‒1)=sin (‒ω+φ)aπ=0f(3)=sin(3ω+φ)aπ3=0f(‒3)=sin (‒3ω+φ)aπ3=0由此可取，，由此能求出的可能取值．ω=φ=12πa =12ωa 本题考查两数比值的可能取值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．12.已知，若有四个不同的实根，，，且，f(x)={|log 2(x ‒1)|,1<x ≤312x 2‒5x +232,x >3f(x)=m x 1x 2x 3x 4x 1<x 2<x 3<x 4则的取值范围为 (mx 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)()A. B. C. D. (0,10)[0,10](0,4)[0,4]【答案】A【解析】解：的图象如右：f(x)={|log 2(x ‒1)|,1<x ≤312x 2‒5x +232,x >3有四个不同的实根，，，且，f(x)=m x 1x 2x 3x 4x 1<x 2<x 3<x 4可得，x 3+x 4=10且，|log 2(x 1‒1)|=|log 2(x 2‒1)|即为，log 2(x 1‒1)+log 2(x 2‒1)=0即有，(x 1‒1)(x 2‒1)=1即为，x 1x 2=x 1+x 2可得(m x 1+mx 2)(x 3+x 4)=10m ⋅x 1+x 2x 1x 2，=10m 由，可得，0<m <10<10m <10故选：A ．画出的图象，由对称性可得，对数的运算性质可得，代入要求的式子，结合f(x)x 3+x 4=10x 1x 2=x 1+x 2图象可得所求范围．本题考查分段函数的图象和应用：求自变量的范围，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．tana =‒2tan2a =【答案】43【解析】解：，，∵tana =‒2∴tan2a =2tana 1‒tan 2a=‒41‒4=43故答案为：．43由条件利用二倍角的正切公式求得的值．tan2a 本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．14.已知是定义在R 上的周期为4的偶函数，当时，，则______．f(x)x ∈[‒2,0]f(x)=‒2xf(5)=【答案】‒12【解析】解：是定义在R 上的周期为4的偶函数，∵f(x)当时，，x ∈[‒2,0]f(x)=‒2x．∴f(5)=f(1)=f(‒1)=‒2‒1=‒12故答案为：．‒12利用函数的周期性和奇偶性得，由此能求出结果．f(5)=f(1)=f(‒1)本题考查函数值的求法，考查函数的周期性和奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为，线段的垂直平分线为F 2(5,0)PF 2，则椭圆C 的方程为______．y =2x 【答案】x 29+y 24=1【解析】解：点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为，可得．F 2(5,0)c =5与直线的垂直经过的直线方程：，，PF 2F 2y =‒12(x ‒5)x +2y ‒5=0到垂直平分线为的距离为：，原点到直线的距离为：1，F 2y =2x 255=2x +2y ‒5=0可得，所以，a =2+1=3b =2则椭圆C的方程为．x 29+y 24=1故答案为：．x 29+y 24=1求出直线的垂直经过的直线方程，利用点到直线的距离公式以及椭圆的定义，转化求解椭圆方程即PF 2F 2可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．16.数列的前n 项和为，满足，设，则数列的前10项和{a n }S n 4S n =6a n ‒2n ‒3b n =log 3(a n +12){1b n ⋅b n +1}为______．【答案】1011【解析】解：由，4S n =6a n ‒2n ‒3①得时，，解得，n =14a 1=6a 1‒2‒3a 1=52时，，n ≥24S n ‒1=6a n ‒1‒2(n ‒1)‒3②两式相减，得：，4a n =6a n ‒6a n ‒1‒2即，a n =3a n ‒1+1，∴a n +12=3(a n ‒1+12)(n ≥2)即是以3为首项，以3为公比的等比数列，{a n +12}．∴a n +12=3n 则，b n =log 3(a n +12)=log 33n =n，∴1b n ⋅b n +1=1n(n +1)=1n ‒1n +1则数列的前10项和为．{1bn ⋅b n +1}(1‒12)+(12‒13)+…+(110‒111)=1‒111=1011故答案为：．1011由已知数列递推式求得首项，进一步得到时，，与原递推式联立，再由n ≥24S n ‒1=6a n ‒1‒2(n ‒1)‒3构造法求得数列的通项公式，代入求得，最后利用裂项相消法求数列的前{a n }b n =log 3(a n +12)b n {1b n ⋅b n +1}10项和．本题考查数列递推式，考查了利用构造法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，．△ABC asinB +3bcos(B +C)=0a =19求A ；(1)若，求的面积．(2)b =2△ABC 【答案】解：，可得，(1)asinB +3bcos(B +C)=0sinAsinB ‒3sinBcosA =0，∴sinA =3cosA ，∴tanA =3分∴A =π3…(5)因为，，，所以，(2)A =π3a=19b =212=4+c 2‒194c 分∴c =5∴S =12bcsinA =12×2×5×32=532…(10)【解析】利用正弦定理以及三角形的内角和，结合特殊角的三角函数求解即可．(1)利用余弦定理求出c ，然后求解三角形的面积即可．(2)本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店月的月营业额单位：万元与月份x 的数据，如表：1～5y()x 12345y1113161520求y 关于x 的回归直线方程；(1)^y =a +bx若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率．(2)附：回归直线方程中，，．^y=a +bxb=∑ni =1(x i ‒x )(y i ‒y )∑ni =1(x i ‒x )2=∑ni =1x i y i ‒nxy∑ni =1x 2i ‒nx 2^a=y ‒^bx【答案】解：根据表中数据，计算，，(1)x =3y =15，，∑5i =q (x i ‒x )(y i ‒y )=20∑5i =q (x i ‒x )2=10所以，^b=2于是，a =15‒2×3=9所以y 关于x 的回归直线方程为：；y =2x +9用m ，n 分别表示所取的两个样本点所在的月份，(2)则该试验的基本事件可以表示为有序实数对，(m,n)于是该试验的基本事件空间为：，，，，，Ω={(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)，，，，，(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)}共包含10个基本事件；设“恰有一点在回归直线上”为事件A ，则，，，，，中，A ={(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)}共包含6个基本事件；所以．P(A)=610=35【解析】根据表中数据计算平均数和回归系数，写出回归方程；(1)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．(2)本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题．19.矩形ABCD 中，，P 为线段DC 中点，将沿AP 折起，使得平面平面AB =2AD =2△ADP ADP ⊥ABCP ．Ⅰ求证：；()AD ⊥BP Ⅱ求点P 到平面ADB 的距离．()【答案】证明：Ⅰ，则有()∵AB =2AD =2，，AP =2BP =2满足，，AP 2+BP 2=AB 2∴BP ⊥AP平面平面ABCP ，平面平面．∵ADP ⊥ADP ∩ABCP =AP 平面ADP ，∴BP ⊥平面ADP ，．∵AD ⊂∴BP ⊥AD 解：Ⅱ以P 为原点，PA 、PB 为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系，()P ‒xyz 0，，0，，，0，，A(2,0)D(22,22)B(0,2,0)P(0,0)则0，，，0，，⃗DA =(22,‒22)⃗DB=(‒22,2,‒22)⃗DP =(‒22,‒22)设平面ABD 的法向量y ，，⃗n=(x,z)则，取，得1，，{⃗n ⋅⃗DA =22x ‒22z =0⃗n ⋅⃗DB =‒22x +2y ‒22z =0z =1⃗n =(1,1)点P 到平面ADB 的距离．∴d =|⃗DP ⋅⃗n ||⃗n |=23=63【解析】Ⅰ推导出，从而平面ADP ，由此能证明．()BP ⊥AP BP ⊥BP ⊥AD Ⅱ以P 为原点，PA 、PB 为x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P 到平()P ‒xyz 面ADB 的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.抛物线的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点．y 2=4x Ⅰ若点，且直线AT ，BT 的斜率分别为，，求证：为定值；()T(‒1,0)k 1k 2k 1+k 2Ⅱ设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：．()AR//FQ 【答案】证明：Ⅰ设，，()A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)抛物线的焦点为，∵y 2=4x F(1,0)不妨设直线AB 的方程为，x =ky +1联立方程组可得，{x =ky +1y 2=4x 消y 可得，y 2‒4ky ‒4=0，，∴y 1+y 2=4k y 1y 2=‒4，∵T(‒1,0)，∴k 1=y 1x 1+1=y 1ky 1+2k 2=y 2x 2+1=y 2ky 2+2∴k 1+k 2=y 1ky 1+2+y 2ky 2+2=2ky 1y 2+2(y 1+y 2)k 2y 1y 2+2k(y 1+y 2)+4=‒8k +8k ‒4k 2+8k 2+4=0，Ⅱ、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，()∵A ，，，∴P(‒1,y 1)Q(‒1,y 2)R(‒1,y 1+y 22)，∴k AR =y 1‒y 22(14y 21+1)=y 1+4y 112y 21+2=2y 1，k FQ =y 2‒1‒1=‒y 22=2y 1，∴k AR =k FQ ∴AR//FQ【解析】Ⅰ设，，不妨设直线AB 的方程为，根据韦达定理可得，()A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)x =ky +1y 1+y 2=4k ，根据斜率公式，化简计算即可证明；y 1y 2=‒4Ⅱ根据斜率公式即可证明．()本题考查抛物线的方程与性质，直线的斜率，韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知e 为自然对数的底．Ⅰ求函数，的单调区间；()J 1(x)=e x ‒(1+x)J 2(x)=e x ‒(1+x +12x 2)Ⅱ若恒成立，求实数a 的值．()e x ‒(1+12x 2+16x 3)≥ax 【答案】解：Ⅰ函数的导数为，()J 1(x)=e x ‒(1+x)J 1'(x)=e x ‒1当时，；当时，；x >0J 1'(x)>0x <0J 1'(x)<0可得的增区间为；减区间为；J 1'(x)(0,+∞)(‒∞,0)的导数为，J 2(x)=e x ‒(1+x +12x 2)J 2'(x)=e x ‒1‒x 由在处取得极小值，且为最小值0，J 1(x)=e x ‒(1+x)x =0可得，即，e x ≥1+x J 2'(x)≥0则的增区间为；J 2(x)(‒∞,+∞)Ⅱ若恒成立，()e x ‒(1+12x 2+16x 3)≥ax 即有恒成立，e x ‒(1+12x 2+16x 3)‒ax ≥0设，f(x)=e x ‒(1+12x 2+16x 3)‒ax可得，f'(x)=e x ‒x ‒12x 2‒a 即有，f″(x)=e x ‒1‒x 由Ⅰ可得，时取得最小值0，()f″(x)=e x ‒1‒x ≥0x =0即有在R 上递增，f'(x)当时，，x ≥0f'(x)≥f'(0)=1‒a 可得，即；1‒a ≥0a ≤1当时，可得，x ≤0f'(x)≤f'(0)=1‒a 可得，即，1‒a ≤0a ≥1综上可得．a =1【解析】Ⅰ分别求得两个函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；()Ⅱ若恒成立，即有恒成立，设()e x ‒(1+12x 2+16x 3)≥ax e x ‒(1+12x 2+16x 3)‒ax ≥0，求得二阶导数，结合Ⅰ的结论可得a 的值．f(x)=e x ‒(1+12x 2+16x 3)‒ax ()本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于中档题．22.已知圆锥曲线C ：为参数和定点，，是此圆锥曲线的左、右焦点．{x =22cosαy =6sinα(α)A(0,6)F 1F 2Ⅰ以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；()AF 2Ⅱ经过点且与直线垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求的值．()F 1AF 2|MF 1|‒|NF 1|【答案】解：Ⅰ圆锥曲线C ：为参数消去参数可得C ：，轨迹为椭圆，(){x =22cosαy =6sinα(α)x 28+y 26=1其焦点，，F 1(‒2,0)F 2(2,0)定点，，∵A(0,6)∴k AF 2=‒62=‒3直线：，∴AF 2y =‒3x +6把，代入得到直线的极坐标方程为：x =ρcosαy =ρsinαAF 2，即分ρsinθ=‒3ρcosθ+6ρsin(θ+π3)=62.…(5)Ⅱ由Ⅰ，，的斜率为，倾斜角为，()()k AF 2=‒3∵l ⊥AF 2∴l 3330∘的参数方程为，为参数，∴l {x =‒1+32t y =12t(t )代入椭圆C的方程：中，得：，x 28+y 26=14t 2‒33t ‒20=0、N 在的异侧，∵M F 1分∴|MF 1|‒|NF 1|=|t 1+t 2|=334 (10)【解析】Ⅰ先求出圆锥曲线的普通方程，直线的直角坐标方程，再求直线的极坐标方程；()AF 2AF 2Ⅱ求出l 的参数方程，利用参数的几何意义，可求的值．()||MF 1|‒|NF 1||本题综合考查了椭圆的参数方程、标准方程及其性质、极坐标与直角坐标的互化公式，x =ρcosα、直线的参数方程及参数的几何意义和弦长公式等基础知识与基本方法，属于难题．y =ρsinα23.设函数，．f(x)=|2x ‒a|+|2x +1|(a >0)g(x)=x +2当时，求不等式的解集；(1)a =1f(x)≤g(x)若恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≥g(x)【答案】解：当时，不等式即，(1)a =1f(x)≤g(x)|2x ‒1|+|2x +1|≤x +2等价于，或 ，或 ．{x ≤‒12‒4x ≤x +2①{‒12<x <122≤x +2②{x ≥124x ≤x +2③解求得x 无解，解求得，解求得，①②0≤x <12③12≤x ≤23综上，不等式的解集为{x|0≤x ≤23}.由题意可得恒成立，转化为恒成立．(2)|2x ‒a|+|2x +1|≥x +2|2x ‒a|+|2x +1|‒x ‒2≥0令，ℎ(x)=|2x ‒a|+|2x +1|‒x ‒2={‒5x +a ‒3,x ≤‒12‒x +a ‒1,‒12<x <a 23x ‒a ‒1,x ≥a 2(a >0)易得的最小值为，令，求得．ℎ(x)a 2‒1a 2‒1≥0a ≥2【解析】当时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(1)a =1由题意可得，恒成立令，化简它的解析式，(2)|2x ‒a|+|2x +1|‒x ‒2≥0.ℎ(x)=|2x ‒a|+|2x +1|‒x ‒2求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a 的范围．本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三上学期第四次测试(期末)语文试题
哈三中2017-2018学年度上学期高三年级第四次测试语文试卷本试卷共150分，考试时间150分钟。
考生作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
喀什结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用05毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．请保持卡面清洁，不折叠，无破损。
一、现代文阅读（35分）（一）论述类文（本题共3小题，9分）读下面的文字，完成1~3题。
黄河文明的变革精神以往，变革精神这个黄河文明的显著特色，一直未被人们重视，即人们总是给这种文明冠以保宁性的特征，这种认识误区，应该得到扭转。
过分强调大河流城文化、平原文化或农业文明的保守属性，主要是源自于黑格尔的影响，黑格尔按照地理特征把世界区分为三种类型：高地居民的性格是好客和掠夺，原上居民的特性是守旧、呆板和孤僻，海岸居民的性格是男敢、沉着和机智。
这便是将平原淡城的农业文化或农业文明打上保守性特征的论证。
《周易》“革卦”曰：“革：巳目乃导，元字，利贞，悔亡。
”意思是说，革卦象征变革，在“巳日”撩行变革开取信于民众，前景就至为亨通。
革卦的《象传》曰：“天地革而四时成；汤式革命，顺乎天而应乎人，”不仅求变，而且倡导顺乎天而应乎人的革命性变革。
社会的变革如此，对于人的基本素质的培育也是如此，要求个体的修养、成长也要日求新，《大学》就反复教海人们要去创造，去求新，《大学》云：“汤之盘铭曰：“苟日新，日日新，又日新…”这样一种强调求新求变的思想，既是历史本身的观念反映，也反过来催生历史的变事和发展。
三代的历史浯革就具有明显的文明变迁意义，夏商周三代只有千余年的历史这对于早期文明来说并不葬长，但却经历了多次重大的变迁。
黄河文明的变革精神，深深影响了政治文明的透程及其特点，春秋战国时期的历史变革，就是这种文明内生性的历史巨变。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三第四次测试(期末)理综物理试题
二、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分14．如图所示，条形磁铁放在桌面上，一根通电直导线由S极的上端平移到N极的上端的过程中，导线始终保持与磁铁垂直，导线的通电方向垂直纸面向里，在这个过程中磁铁始终保持静止，则磁铁受到的摩擦力A．为零B．方向由向左变为向右C．方向保持不变D．方向由向右变为向左15．如图所示，一束质量、速度和电荷量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向未发生任何偏转。
如果让这些不偏转的离子进入另一个匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入另一磁场的离子，可得出结论A．它们的动能一定各不相同B．它们的电荷量一定各不相同C．它们的质量一定各不相同D．它们的电荷量与质量之比一定各不相同16．如图所示，光滑绝缘斜面的底端固定着一个带正电的小物块P，将另一个带电小物块Q在斜面的某位置由静止释放将沿斜面向上运动，设斜面足够长，则在Q向上运动过程中A．物块Q的动能一直增大B．物块P、Q的重力势能和电势能之和一直减小C．物块Q的机械能一直增大D．物块P、Q之间的电势能一直增大17．如图所示，一平行板电容器C极板水平放置，它和三个可变电阻，一个零刻度在中央的电流计和电源连成电路，现有一个质量为m的带电油滴悬浮在两极板间不动，下列判断正确的是A．增大R3，油滴上升B．增大电容器板间距离的过程中，电流计指针不动C．增大R1，R1中电流的变化值大于R3中电流的变化值D．增大R1，R1中电压的变化值小于R3中电压的变化值18．如图所示，带箭头的线段表示某一电池中的电场线的分布情况，一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示，，若不考虑其他力，则下列判断中正确的（）A．若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电B．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电C．若粒子是从B运动到A，则其速度减小D．若粒子是从A运动到B，则其电势能增加19．如图所示，水平放置的两条光滑轨道上有可自由移动的金属棒PQ、MN，当 MN在外力的作用下运动时，PQ在磁场力的作用下向右运动，则MN所做的运动可能是A．向右加速运动B．向左加速运动C．向右减速运动D．向左减速运动20．如图所示，在磁感应强度B=2T的匀强磁场中，有一个半径r=0.5m的金属圆环，圆环所在的平面与磁感线垂直。
黑龙江省哈尔滨市宾县第三中学2018年高三数学文上学期期末试题含解析
黑龙江省哈尔滨市宾县第三中学2018年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线(sin A－sin B)＋sin B＝sin C上．则角C的值为（）A．B．C．D．参考答案：B2. 已知点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，则3x+4y的最小值为（）A．5 B．1 C．0 D．﹣5参考答案：D【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．【分析】利用三角变换化简所求表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求出最小值．【解答】解：点P（x，y）为圆x2+y2=1上的动点，令x=cosα，y=sinα，3x+4y=3cosα+4sinα=5（cosα+sinα）=5sin（α+θ），其中tanθ=．5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值为：﹣5．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的综合应用，考查计算能力．3. 已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( )A．21 B．42 C．63 D．84参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5. 设函数，，给定下列命题：①若方程有两个不同的实数根，则；②若方程恰好只有一个实数根，则；③若，总有恒成立，则；④若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（）A.1B. 2C. 3D. 4参考答案：C对于①，的定义域，，令有即，可知在单调递减，在单调递增，，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故①正确对于②，易知不是该方程的根，当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。
【100所名校】2018届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学(文科)试题(解析版)
画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由 ，解得 ，此时 ， 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．
5．D
【解析】
从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．
本题考查利用函数的周期性和奇偶性等基础知识求函数值的求法，考查函数与方程思想，是基础题．
15．
【解析】
【分析】
求出直线PF2的垂直经过F2的直线方程，利用点到直线的距离公式以及椭圆的定义，转化求解椭圆方程即可．
【详解】
点P为中心在坐标原点的椭圆C上的一点，且椭圆的右焦点为 ，可得 ．
与直线 的垂直经过 的直线方程： ， ，
【详解】
：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
最后： ，输出 的值，故选A。
【点睛】
：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。
9．A
【解析】
【分析】
“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．即可判断出结论．
【详解】
“好货” “不便宜”，反之不成立． “好货”是“不便宜”的充分不必要条件．
因为 ，故 ， ．
因 ，故 ，所以 ， ．
因 ，故 ，所以 ．
综上 ， ，故选B ．
点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．
哈尔滨市第三中学2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题
2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第I 卷（选择题，共60 分）、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.）1 •已知集合 A = ®y=2x B=』x 汙＞0?,贝U A c B =A • (O,1)B • (1,,=o )C •(_ 1 J2.已知数列 a f 为等差数列，且 a i ■ a 7 ■ a i3 =2二，贝U tana ?二3•圆心在y 轴上，半径为1,且过点1,3的圆的方程是2222A . x 2+(y _2) =1B . x 2+(y +2) =1 2222C. x +(y —3) =1D . x +(y + 3) =1]3x 「y -6 _04.设x , y 满足约束条件 x-y ・2_0，则目标函数z =-3x 2y 的最小值为x _0,y _0A .4B . -2C . -6D . _85. 林管部门在每年3月12日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图,D .乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均A . -.3F 列描述正确的是A .甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均 甲乙 91 0 4 0 95 3 126 71 2 3 73 044 6 6 7高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐已知 ABC 中，AB =10,AC =6,BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM CA CM CBA . 0B . 25C . 50D . 1007.记函数f(x)=12_x_£的定义域为D ,在区间5,5］上随机取一个实数 x ，则x D 的 概率是李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的A .充分条件D .既不充分也不必要条件10 .某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为6 .3------- n6 3 ；3 C . n612.3n/T屈1—2亠正(主)视图11 .已知函数f (x) L3,3 的大致图象如图所示，则兀6. 8. A .上10我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七 七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为"中国 剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为 1 10则记为N 三n modm ，例如10三2 mod4 .现将该问题 以程序框图给出，执行该程序框图, 则输出的n 等于11 C . 1315B .必要条件C .充分必要条1 ::: x _3，若f (x) = m 有四个不同的实根X 1, X 2, X 3, X 4，且x . 3第口卷（非选择题,共90分）二、填空题（共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13.已知 tan 9 = -2，则 tan"=14•已知f （x ）是定义在R 上的周期为4的偶函数，当 x 1-2,01时，f （x ） = -2X ，则f (5)二15.已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为 卩2（、一 5,0），线段PF 2的垂直平分线为y = 2x ，则椭圆C 的方程为 ______________（ 1 >16.数列即的前n 项和为S n ，满足心皿”3，设b n =log3（an +J ,则数列」一1一 ：>的前10项和为 _________ .bn -bn +'三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）ABC 中,角A, B,C 所对的边分别为a,b, c ,且满足a sin B 」3bcos （B £）=0 , a（I ）求 A ;(n)若b =2,求- ABC 的面积•X 1 ::: X 2 ::: X 3 ::： X 4 ，贝U 密3 +x 4）的取值范围为X 1 X 2A . 0,10B . 0,101C . 0,4D . 0,41工Iog 2(x -1),12.已知 f (x) = 1 223 x -5x , 2 2• 19 .(n)求点P 到平面ADB 的距离.18. (本小题满分12分)为了解某冷饮店上半年的经营状况，随机记录了该店上半年月营业额 y (单位：万x1 2 3 4 5 y1113161520A A A(I)求y 关于x 的回归方程y 二bx - a ；(n)若在这些样本点中任取一点，求它在回归直线上的概率附：回归方程y = b x a 中，n_Z (X i —x) (% —y) b =— n' (X i -X )2i 419. (本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB 二2AD = 2 , P 为线段DC 中点，将 ADP 沿AP 折起，使得平面ADP - 平面ABCP .(I)求证：AD _ BP ;n__'7 务 y -nx y—= ----------------------------- ?n2 — 2、x i-nxi 4A —/V a = y _b x .BDCBAR 〃 FQ .21. (本小题满分12分)已知e 为自然对数的底.1(I)求函数 J 1 (x) =e x 一(1+x), J 2(x) = e x —(1 + x + ^x 2)的单调区间11(n)若e x -(1x 2x 3) _ ax 恒成立，求实数a 的值• 2620. (本小题满分12 分)抛物线y 2 =4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于 A 、B 两点.(I)若点T (—1,0),且直线AT, BT 的斜率分别为 匕飞2，求证: k 1 k 2 = 0 ；(n)设 A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证:请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)x=2/2cosa —已知圆锥曲线C:」厂(□为参数)和定点A(0,6) , F T F Z是此圆锥曲线的左、y =、6 sin :-右焦点•(I) 以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；(n)经过点片且与直线AF2垂直的直线I交此圆锥曲线于M、N两点，求I MF I -N F I||的值.23 .选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)设函数f(x) =|2x—a+2x+1(a>0) , g(x)=x+2(I)当a =1时，求不等式f(x)乞g(x)的解集；(n)若f (x) _ g (x)恒成立，求实数a的取值范围2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷(文史)参考答案、选择题二、填空题三、解答题17. (I) sin Asin B — 一3s in BcosA = 0,.sin A = 3 cos A , sin A 严0tanA「3it (n) ； A =—3S JbcsinA 」3 218. (I) x =3.5, y =16Ay =2x 9.(n)设“在样本点中任取一点，在回归直线上”为事件19. (I)因为 AP = .2, BP = . 2,AB = 2，有 AP 2 BP^ AB 2，所以 BP — AP 由已知平面ADP _平面ABCP ,平面ADP 平面ABCP = AP ，所以BP _平面ADPAD 平面ADP ，所以BP _ AD(n)(法一)由第一问 BP _ AD ，已知 DP _ AD , DP BP = P ，所以 AD _ 平面 DBP 所以平面 ADB _平面DBP ,因为平面 ADB ・平面DBP = BD ，在平面 DBP 内做PH _ BD 于13. 4 14.31~215.2 2x_. y_，1 16. 9 4 10 114 c 2 -19A, P(A)H，贝U PH —平面ADB，在Rt BPD 中，解得PH =山，所以P到平面ADB的距离为工63 3（法二）由已知平面 ADP _平面ABCP ，平面ADP -平面ABCP 二AP ，过D 做DO _ AP 于O ,20. (I)设直线 AB ：my = x-1，A (x ,,y J ,B (^y)，'m y = x_1 可得 y 2 _4my_4 = 0,；y i+y 2=4m-y —x k n = —4/(my ?1) y 2(my 1) (y 「财—2my$22(y ’y)(my ’+1 +1)(my 2 +1 +1) (my + 2)(my 2 +2)A (x,yJ,Q (- 1$2),只(-1,^^ ),F (1,0,屮- y 2 .=屮- ★『2(1xj2(1 xj 2 2(1 xj y 2(my ! 2) _『y ?) myy2(1+ xj 2(1+ xj(4m) m(-4) 2(1 xj即k - kQF ，所以直线AR 与直线FQ 平行21. （I ） J/x ）增区间为（0,中°°），减区间为（-00,0）;J2（X ）增区间为（k i k2 工%x 1 1 y 2x 2 1yd 1) y 2(x 1) & 1)(X21)%人 沁 (% y ?)(£ 1)(X 21)y1 —12* 一出2 *一 y 2 ,ky ?- 0 y2一1一人1 x2(1 xjQF-1 -1 2kA R所以DO _平面ABP ,三棱锥ABP 的高为=V D 」BP ，解得h -，所以P 到平面ADB 的距离为32m(-4) 2(4m)(my 2)(my22).3二亍由于整理得：^t 2 -3. 6t -18 =0,4(I)解:⑴当a =1时,不等式f(x)兰g(x)即，2x —1 + 2x+1兰x + 2112解①求得x 无解，解②求得O^x ：：：丄,解③求得，丄乞x 辽兰2 2 3综上，不等式的解集为22. (n) a =1；2(I)消参得二8 6 2—=1^ a 2=8,b 2=6,. c 2=2,. F 1(-20), F ?( 一 2,0),xy"•2.6 =1,，化为极坐标方程：.3 pcos B • psin 0 = ■. 6,,即 psin( 0 ■ n )=—3 2(n) 1AF 1的参数方程: AF ix = 一幻'2 +tcos30； y=tsi n30*i22(t为参数)代入节午1,(n)由题意可得2x-a 2x1 3x+2恒成立,转化为2x —a + 2x + 1 —x —2色0恒成立.MF ^-NF 」少 fl]12.61323. 等价于丿 1x 兰__2 ①或,丿 —4x 兰x 十211 < x < —2 2②，或丿 2乞x 2 1 x >-2③. 4x 空 x 21-5x a -3,x _2 h(x) =|2x _a +|2x +1 _x_2 = *+彳1 a一x a T, x2 2 , (a a 0),3x - a —1,x _ 旦2易得h(x)的最小值为——1，令a —1 一0 ,求得a - 2.2 2。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次模拟考试数学(文)
哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（文史类）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知复数，则集合中元素的个数是A ．4B ．3C ．2D ．无数 2. 函数的图像关于直线对称，且在 单调递减，，则的解集为 A ． B ． C ． D ．3．执行如图程序框图其输出结果是 A ．B ．C ．D ．4. 已知平面,,m n αβαββ⊥⋂=⊂，则“”是“”成立的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是，该几何体的体积为 A ． B ．C ．D ．6. 直线被圆22:20O x y x a +-+=所截得弦的长度为，则实数的值是A ．B ．C ．D ． 7．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒正视图 俯视图物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是A．南岗校区B．群力校区C．南岗、群力两个校区相等D．无法确定8. 已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）A. B. C. D.9. 三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.10．若cos2π2sin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭，则的值为A. B. C. D.11．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，双曲线与抛物线的准线交于，两点，，则双曲线的实轴长为A. B． C． D．12. 定义在R上的奇函数，当时，[)[)13l o g(1),0,2()14,2,x xf xx x⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于的函数()()(01F x f x a a=-<<的所有零点之和为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 在等比数列中，，，则．14. 已知变量、满足条件62x yx yxy+≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数，的最大值为．15．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则．16.向量，(1CD=-，，函数的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos f x x x x =+．（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数图像，求的对称轴方程和对称中心坐标．18.（本小题满分12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的个小球，球的编号分别为，，，， （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于的概率；（Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为，求的概率19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，面为矩形，，，为的中点，与交于点，面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与面成角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数21()(0)2f x ax bx a =+≠，． （Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围； （Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，是否存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行？如果存在，求出点的横坐标，如果不 存在，说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点，，点在曲线：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）求的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数，满足：. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（Ⅰ）中求得的，是否存在实数，使得成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．哈尔滨三中2015年第四次模拟考试 数学试卷（文史类）答案及评分标准13. 14. 15. 16.三、解答题： 17. ()2sin(2)16f x x π=++，， 的最大值为--------------6分 （2）,对称轴为直线,对称中心为， --------12分 18. (1)符合题意的情况有：---------------6分 (2) 符合题意的情况有：2,2,3,4,5x y y =>=3,5,1,2,3,4,5x y y =>=4,0,1,2,3,4,5x y y =>=---------------12分 19．（1）由与相似，知，又平面，，平面，；---------------6分 （2）, 13AOB V S OC ∆=⋅⋅=分20. (1) 221341,c a b+==∴所求的方程为.------4分 （2）假设存在直线满足题设，设， 将代入并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=， ----------------------------6分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->， 得-----------①又,设中点为，22243(,)1414km m k mM k k--++ ，得②--------------------10分将②代入①得化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得或 所以存在直线，使得，此时的取值范围为(,()55-∞-⋃+∞．-------12分 21. 解：（1）时，设函数21()()()ln 1(0)2h x g x f x x ax x x =-=--+> 则211()1ax x h x ax x x+-'=--=-因为函数存在单调递减区间，所以有解，即，有的解。
黑龙江哈尔滨第三中学2024届高三上学期第四次验收考试数学试题(含答案与解析)_4987
哈三中2023~2024学年度下学期第四次模拟考试高三数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 44. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3B. 2C.12D.235. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ）A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,06. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18B. 36C. 54D. 727. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值D. 定值（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线为D. 复数z满足2i 1z -=-12340z z z z +++=10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35f α=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______.14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx 为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.的（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性 总计 喜欢走迷宫 141630不喜欢走迷宫 16420总计302050 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响； 附()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α 0.100.05 0.025 0.01 0.005 0.001x α 2.70638415.0246.6357.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X 元，求随机变量X 的分布列和数学期望； （3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？18 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若..34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程； （2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.参考答案一、选择题（共58分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B2. 已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 取值范围是（ ）A. 1122m -≤< B. 1122m -≤≤ C. 12m ≤-或12m >D. 12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<. 故选：A3. ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin tan a B b A =，ABCbc =（ ）A.B.C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】由2sin tan a B b A =，利用边化角，求解A ,bc ，判断选项. 【详解】由2sin tan a B b A =，则2sin sin sin tan (sin 0)A B B A B =>,故1cos 2A =, 又0A π<<，所以3A π=,由ABC1sin 2ABC bc S A == ,即4bc =. 故选：D的4. 若数列{}n a 满足11222,3,n n n a a a a a --===（3n ≥且*N n ∈），则2024a 的值为（ ） A. 3 B. 2C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】利用递推数列的性质，找到数列的周期，求出即可. 【详解】因为(11222,3,3n n n a a a a n a --===≥且)*N n ∈， 所以3567243456781234563112,,,,2,3,2233a a a a a a a a a a a a a a a a a a ============ ， 所以数列{}n a 具有周期性，且6T =，所以20243376223a a a ⨯+===. 故选：A.5. 已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b =，a b -= ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（ ） A. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,0【答案】C 【解析】【分析】由题意可知：3b = ，根据模长关系结合数量积的运算律可得32a b ⋅= ，进而可求投影向量.【详解】由题意可知：3b =，因a b -= ，则2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r ，即10429a b =-⋅+r r，可得32a b ⋅= ，所以向量a 在向量b 方向上的投影向量为211,062a b b b b ⎛⎫⋅⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r .故选：C.6. 2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择为其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B 【解析】【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照1,2,2分组计算方法数；②还有人选，按照1,1,3部分平均分组计算方法数，最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：233318C A =，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：11332322C C A 18A =， 所以不同的选法总数为: 181836+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()e e 32x xf x x --=-B. ()e e 23x xf x x--=-C. ()e e 32x xf x x -+=-D. ()21xf x x =- 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 在2,3∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,∞+上的单调性排除D ，从而判断选项.【详解】对于B ，当23x >时，()e e 23x xf x x--=-，e e 0x x -->，230x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误;对于C ，()e e 32x x f x x -+=-，定义域为2222,,,3333∞∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()e e 32x xf x f x x -+-==-，关于y 轴对称，故C 错误;对于D,当1x >时，()22211x f x x x ==+--，由反比例函数的性质可知()f x 在()1,∞+单调递减，故D 错误;利用排除法可以得到，()e e 32x xf x x --=-在满足题意，A 正确.故选：A8. 过椭圆22:194x y C +=上的任意一点M （不与顶点重合）作椭圆的切线交x 轴于点N ，O 为坐标原点，过N 作直线OM 的垂线交直线OM 于点P ，则OM OP ⋅（ ） A. 既没最大值也没最小值 B. 有最小值没有最大值 C. 有最大值没有最小值 D. 为定值【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得切线斜率以及MN 方程，从而求得点N 坐标，再结合点到直线的距离公式以及两点之间的距离公式求得,OM OP ，再求乘积即可.【详解】设()00,M x y ，对22194x y +=求导可得：292y x +y '0=，解得y '49x y =-，故MN 方程为：()000049x y y x x y -=--， 即2200009944y y y x x x -=-+，2200004949x x y y x y +=+，又22004936x y +=，故MN 方程为：004936x x y y +=；令0y =，解得09x x =，故09,0N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；又OM 方程为00y y x x =，故0NP ===则OP ====，又OM =，故9OM OP ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数求导求得过点M 的切线方程，事实上，也可在选填中根据二级结论直接写出MN 方程.（二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 复数1z ，2z 满足12z z =，则12z z =B. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a c >，b d >，则i i a b c d +>+C. 复数z 满足i 2i z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D. 复数z 满足2i 1z -=-12340z z z z +++= 【答案】AD 【解析】【分析】根据共轭复数以及模长公式即可求解A ，根据虚数的性质即可求解B ，根据复数模长即可根据圆的方程求解C ，根据i 的周期性即可求解D.【详解】对于A ，由于12z z =，则12z z =，故12z z =，故A 正确； 对于B ，若i,i a b c d ++为虚数，由于虚数不可以比较大小，故B 错误，对于C ，设i,,R z x y x y =+∈，则i 2i z z -=+⇒=，化简可得2251639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应中的轨迹为圆，故C 错误，对于D ，由2i 1z -=-2i 2z -=，则i z =，故12341234i 1i 10i i i i z z z z =-+++=++-+=+，故D 正确， 故选：AD ．10. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 1.若,P Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形SPQ 面积的最大值为2 B. 三棱锥O SPQ -体积的最大值23C. 四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为19π3D. 直线SP 与平面SOQ 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，判断PSC ∠为钝角，确保PSQ ∠取得到π2，然后由面积公式求解可判断A ；对于B ，根据1sin 2OPQS OP OQ POQ =⋅⋅∠ 可判断B ；对于C ，利用正弦定理求OPQ △的外接圆半径1sin r θ=，然后可得外接球半径，根据θ范围可判断C ；对于D ，作PD OQ ⊥，然后证明PD ⊥平面SOQ ，可得sin PD POQ SP θ==∠，可判断D.【详解】对于A ，延迟PO 交底面圆于点C ，因为1SP SO ==，所以4PC ==，在SPC 中，由余弦定理得3cos 5PSC ∠==-，所以PSC ∠为钝角，所以15sin 22SPQ S PSQ =∠≤ ，当且仅当2πPSQ ∠=时等号成立， 所以三角形SPQ 面积的最大值为52，A 错误； 对于B ，因为1sin 2sin 2OPQ S OP OQ POQ POQ =⋅⋅∠=∠ ， 所以三棱锥O SPQ -体积为12sin 33OPQ S SO POQ ⋅=∠ ，当πsin 2POQ ∠=时取得最大值23，B 正确；对于C ，记四面体SOPQ 外接球半径为R ，OPQ △的外接圆半径为r ，OPQ θ∠=，因为OP OQ =，OPQ △为等腰三角形，所以π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为球心到,S O 的距离相等，所以球心在SO 的中垂面上，故球心到平面OPQ 的距离为12，由正弦定理得12sin sin OQ r θθ==，所以222112sin R θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 因为20sin 1θ<<，所以211sin θ>，254R >， 所以四面体SOPQ 外接球表面积24π5πS R =>，无最小值，C 错误； 对于D ，作PD OQ ⊥，垂足为D ，因为SO ⊥平面OPQ ，SO ⊂平面SOQ ，所以平面SOQ ⊥平面OPQ ， 又平面SOQ ⋂平面OPQ OQ =，PD ⊂平面OPQ ，所以PD ⊥平面SOQ ，记直线SP 与平面SOQ 所成角为α，则sin PD PD SP α==，又sin 2sin PD OP POQ POQ =∠=∠，所以sin POQ α=∠，当π2POQ ∠=时，sin α，D 正确.故选：BD11. 已知函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x '为的()f x 导函数，且满足()01f =，则下列结论中正确的是（ ） A. π4ϕ=B. 函数()()()g x f x f x '=+的图象不可能关于y 轴对称C. 若()f x 最小正周期为2π，且()35fα=，则16sin225α=-D. 若函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是(]3,5【答案】ACD 【解析】【分析】代入()01f =即可求解A ，根据1ω=，结合辅助角公式即可求解B ，根据二倍角公式即可求解C ，根据()f x 可得最值点满足πππ,Z 42x k k ω+=+∈，即可列不等式求解D.【详解】对于A ，()01sin f ϕϕ==⇒=，由于π02ϕ<<，所以π4ϕ=，A 正确，对于B ，()()()()()cos g x f x f x x x ωϕωϕ'++=+，当1ω=时，()πππ2sin 2cos 442x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 错误，对于C ，()f x 最小正周期为2π，所以1ω=，故()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π3πsin 454fααα⎛⎫⎛⎫+⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=， 故2ππ16cos 212sin 2425αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16sin225α=-，C 正确，对于D ，因为()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ,Z 42x k k ω+=+∈，则ππ,Z 4k x k ωω=+∈， 故7π3ππ5π,,4444x ωωωω=-- ,,, 由于()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点， 根据对称可知这两个极值点分别为3ππ,44ωω-， 故7ππ3π444ππ5π444ωωωω⎧-≤-<-⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，解得35ω<≤，故D 正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键在于，利用整体代入法求得()f x 的最值点，从而得到关于ω的不等式，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA = ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA AB OA AB OA AB⋅===所以sin ,OA AB === 所以点O 到直线AB的距离为sin ,OA OA AB ==.13. 在5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______. 【答案】81 【解析】【分析】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式()215C 1C ,,,N 2k k r r k rr k r T r k r k x --+=-≥∈,令20r k -=，即可得出．【详解】5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中通项公式：15C ,0,1,2,351(2,),4rr r T x r x +=-=．1(2)r x x-的通项公式：()()12C 11C ,,,N (2)()2r k k k k r k k r k r kr r k r k x x x ------≥=∈． 故5121x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的通项为()215C 1C ,,,N 2k k r r k r r k r T r k r k x --+=-≥∈令20r k -=，则0k =，0r =；1k =，2r =；2k =，4r =．因此常数项2112422525412C (1)C 2C (1)C 81+⨯⨯-⨯+⨯-⨯=．故答案为：81．14. 牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，在点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设与1l 轴x 交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；在点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设与2l 轴x 交点的横坐标为2x，称2x 为r 的2次近似值.一般地，在点()()(),N n n x f x n ∈作曲线()y f x =的切线1n l+，记1n l+与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r的1n +次近似值.设()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，则r 的1次近似值为______；若nx为r 的n 次近似值，设33323n nn n x x a x +=+，N n *∈，数列{}n a 的前n 项积为n T .若任意N n *∈，n T λ>恒成立，则整数λ的最大值为______.【答案】 ①. 3 ②. 1【解析】【分析】利用给定定义，整理出3122331n n n x x x ++=+，求值解决第一空即可，利用33323n nn n x x a x +=+求出1n n n x x a +=，进而得到n T ，再确定λ的最大值即可.【详解】易知()231f x x ='+，设切点为()3,3n n n x x x +-，由切线几何意义得斜率为231n x +，故切线方程为2331)()3n n n n y x x x x x =(+-++-，由给定定义知1(,0)n x +在该直线上，代入直线得331223233131n n n n n n n x x x x x x x ++-+=-+=++， 当00x =时，易知13x =，故r 的1次近似值为3，由33323n nn n x x a x +=+得，331323n n n n n n x x x x a x ++==+， 121223113n n n n n x x x T a a a x x x x ++=⋅=⨯⨯⨯= ， 而函数()()330f x x x x =+-≥的零点为r ，且()2310f x x '=+>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()10f <，()20f >， 故()()21f f ⋅<0，由零点存在性定理得(1,2)r ∈， 由题意得1333(,3)2n x r +→∈，故32λ<，而λ是整数，故m 1ax λ=， 故答案为：3；1【点睛】关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出1n nn x x a +=，求出n T ，得到所要求的参数最值即可．三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H . （1）从下面两个结论中选一个证明：①BD GH ∥；②直线HE ，GF ，AC 相交于一点； 注：若两个问题均作答，则按第一个计分. （2）求点A 到平面EGH 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）选①，易知//EF BD ，从而得//BD 平面EFGH ，再由线面平行的性质定理，即可得//BD GH ；选②，易知GF 与AC 不平行，设GF AC K = ，根据点、线、面的位置关系，可证K HE ∈，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】证明：选①，因为E ，F 分别为BC ，CD 中点，所以//EF BD ， 又EF ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以//BD 平面EFGH ， 因为BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH GH =，所以//BD GH ． 选②，因为2AG GD =，F 是CD 的中点，所以GF 与AC 不平行， 设GF AC K = ，则K AC ∈，K GF ∈， 因为AC ⊂平面ABC ，GF ⊂平面EFG ，的所以K ∈平面ABC ，K ∈平面EFG ，又平面ABC ⋂平面EFG HE =，所以K HE ∈， 所以直线HE ，GF ，AC 相交于一点．【小问2详解】连接EA ，ED ，因为ABC 与BCD △均为正三角形，且E 是BC 的中点， 所以EA BC ⊥，ED BC ⊥， 又平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，EA BC ⊥，EA ⊂平面ABC ，所以EA ⊥平面BCD ，因为ED ⊂平面BCD ，所以EA ED ⊥，故以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0E ,(2B ,0,0)，()()(0,,2,0,0,0,0,D C A -,(1F -0)，所以(0,AD =-,23AG AD ⎛== ⎝ ，故(0G，所以(0,0,EA = ,(1EF =-0),(0EG =，设平面EFG 的法向量为(n x = ,y ,)z，则00n EF x n EG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令1y =，则x =，2z =-，所以n =,1,2)-，所以点A 到平面EFG的距离为||||EA n n ⋅==， 故点A 与平面EFG．16. 已知正项等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()1222nn n n a S +=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求2n T . 【答案】（1）2n n a =（2）2122344n n n +-++ 【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解首项和公比，进而可求解通项， （2）根据等比数列求和公式以及裂项求和，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】设{}n a 的公比为q ，0q > 由()1222nn n n a S +=-且0n a >可得：当1n =时，()211122242a a a =-=⇒=，当2n =时，()()2322222222460q q q q +=-=⇒+-=，解得2q =或3q =-（舍去），故2q =， 故2n n a = 【小问2详解】的()2,1,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数， 由于()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则数列{}n b 的前2n 项和21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -=+++++++3211111111(22...2)(...)22446222n n n -=++++-+--+++ ()2121411122142222344nn n n n +--⎛⎫=+-=+ ⎪-++⎝⎭ 17. 2023年以来，哈尔滨掀起了一波旅游热潮.太阳岛某游乐园的一个迷宫如图，票价为每人10元，游客从A 处进入，沿图中实线游玩且规定只能向北或向东走（且除M ，N 外其他每个路口选择向北和向东的概率均为12），直到从n （1n =，2，3，4，5）号出口走出，且从n 号出口走出后，会得到一份奖金2n 元.（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：男性 女性总计 喜欢走迷宫14 16 30不喜欢走迷宫164 20 总计 30 20 50 根据小概率值0.025α=的独立性检验，能否认为喜欢走迷宫与性别有关？如果有关，请解释它们之间如何相互影响；附()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.α0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001xα2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2）设某位游客获得奖金X元，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）若每天走迷宫的游客大约为100人，则迷宫项目每天收入约为多少？【答案】（1）能，理由见解析；（2）分布列见解析，()6E X=；（3）400元.【解析】【分析】（1）根据列联表数据算出2χ，对照临界值表即可得出结论；（2）通过分析到达n号门需要向东和向北各走几次即可求出相应概率，从而可得分布列，再由期望公式可得期望；（3）利用（2）中期望可得每名走迷宫的游客带来的收入期望，然后可解.【小问1详解】零假设为0H：假设是否喜欢走迷宫与性别相互独立，根据表中数据计算得()22501441616505.556 5.024302030209χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，根据小概率值0.025α=的独立性检验，假设不成立，即喜欢走迷宫与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.025.男性中喜欢走迷宫的频率为1473015=，女性喜欢走迷宫的频率为164205=，由41257715=知，女性喜欢走迷宫频率大约是男性喜欢走迷宫频率的127倍.【小问2详解】由题知，X的可能取值有2,4,6,8,10，走到1号门需要向东走1次，向北走5次，或者经过点M 到达1号门，走到5号门需要向东走5次，向北走1次，或者经过点N 到达5号门，走()2,3,4n n =号门走出需要向东走n 次，向北走6n -次. 因为每个路口选择向北和向东的概率均为12， 所以()66161172C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6261154C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()636156C 216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()6261158C 264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()665611710C 2264P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 得分布列如下： X 2 4 6 8 10P 764 1564 516 1564 764所以7155157()24681066464166464E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【小问3详解】 由（2）知，每名走迷宫的游客带来的收入期望为1064-=，所以，100名游客带来的收入期望为4100400⨯=元，即迷宫项目每天收入约为400元.18. 已知1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面内动点P 满足MP MN NP ⋅= . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）动直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，若34αβπ+=，求证直线l 过定点，并求出该定点坐标； （3）设（2）中定点为Q ，记OQA 与OQB △的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）证明见解析，()2,2--（3）()12,0S S ⋅∈+∞【解析】 【分析】（1）确定向量的坐标，利用MP MN NP ⋅= ，化简即可求曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my t =+与抛物线方程联立，得韦达定理，根据34αβπ+=，利用和差角公式以及斜率公式可得12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅，代入化简即可得即可证得22t m =-，即可求解定点； （3）根据11122211,22S OQ d S OQ d ====，即可根据点线距离得21220S S t >=求解. 小问1详解】设点P 的坐标为(,)x y . 由题意()11,,,,1,022MP x y NP x y MN ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 由MP MN NP ⋅=，得12x +=， 化简得22y x = ∴所求曲线C 的方程为22y x =.【小问2详解】因为过点F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以l 的斜率不为零，故设直线l 的方程为,0x my t t =+≠联立方程组22y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 并整理得2220y my t --=， 设A 1(x ，1)y ，B 2(x ，2)y ，于是122y y m +=，122y y t =-，2480m t ∆=+>， 由于34αβπ+=，不妨设直线,OA OB 的斜率为12,k k ， 则()12121212tan tan tan 1111tan tan 1k k k k k k k k αβαβαβ+++=-=⇒=-⇒+-=---， 【所以1212121212121y y y y k k k k x x x x +-=+-⋅=-，即12211212y x y x y y x x +=⋅-⋅， 进而()()()()12211212y my t y my t y y my t my t +++=⋅-+⋅+，整理得()()()221212210m m y y t mt y y t +-++++=， 将122y y m +=，122y y t =-代入可得()()()2221220m m t t mt m t +--+++=， 化简得()222220t mt t t t m -+=-+=， 由于0t ≠，所以22022t m t m -+=⇒=-，则直线方程为()2222x my m x m y =+-⇒+=+，故直线l 过定点()2,2--，【小问3详解】由题意可知()2,2Q --，则直线OQ 方程为0x y -=，且OQ =，11122211,22S OQ d S OQ d ====，其中12,d d 分别为,A B 到直线OQ 的距离，12d所以()()1221211S S m y t m y t ==---- ()()()22122111,m y y t m y y t =---++代入122y y m +=，122y y t =-，()()()()2222212*********S S m t t m m t t t mt t t t t t =----+=-+=-++=，由于2480m t ∆=+>且22t m =-，故()22Δ1246320t t t =++=+->，解得6t >-+或6t <--，故220t >，故()120,S S ∞⋅∈+..【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-，则直线过定点()00,x y ；若直线方程为y kx b =+(b 为定值)，则直线过定点()0,.b19. 若函数()y f x =的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数()y f x =的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数()y f x =的图象的一组“同切点”例如，如图，直线l 为函数()y f x =的图象的“自公切线”，A ，B 为函数()y f x =的图象的一组“同切点”.（1）已知函数()cos f x x x =在0x =处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；（2）若R a ∈，求证：函数()tan g x x x a =-+，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，函数()tan πn x h x x n =--，πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭的零点为n q ，求证：()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【答案】（1）y x =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）利用导数说明()n h x 的单调性，即可得到零点为πn ，则πn q n =，表示出()f x 在()00,x y 处的切线方程，推导出切线恰为y x =即可得证.【小问1详解】由()cos f x x x =，则()00f =，()cos sin f x x x x -'=，则()01f '=，所以函数()cos f x x x =在0x =处的切线方程为y x =，即该自公切线方程为y x =.【小问2详解】 由22221sin ()1tan 0cos cos x g x x x x'=-=-=-≤恒成立，当且仅当0x =时()0g x '=， 则()y g x =是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，可得它至多有一个零点， 令1()sin ()cos g x x x a x =-++，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在零点，即在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点； 假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠， 使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x -=-，有21x x =-，不妨设1π(0,2x ∈， 切线211111:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x +--=-⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-++，而21x x =-， 则2211111111tan tan tan tan x x x x a x x x x a -++=-+-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->， 即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”.【小问3详解】 由tan π0x x n--=，易知πx n =是方程的根， 由()tan πn x h x x n =--，则()2110cos n h x n x '=-≤，则()n h x 在πππ,π22x n n ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭上单调递减， 则πx n =是()n h x 在πππ,π22n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上唯一零点， 所以πn q n =，由（1）可知()f x 在()00,x y 处的切线为()()000000cos cos sin y x x x x x x x -=--，化简得()200000cos sin sin y x x x x x x =-+， 对于22πn q n =，222cos sin 1n n n q q q -=，222sin 0n n q q =，则自公切线为1y =，所以()()22,n n n A q f q 为函数()cos f x x x =的一组同切点.【点睛】关键点点睛：对于函数新定义问题关键是准确的理解定义，结合相关数学知识进行推理说明，特别地函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。