斯勒茨基方程

斯勒茨基方程
一、斯勒茨基方程要解决的问题
研究斯勒茨基方程主要目的是要解决两个问题：一是将价格变化的总效应分解为两部分，即替代效应和收入效应。二是要解决希克斯替代效应（或希克斯需求）的不可度量问题。解决不可度量问题也有两种方法：第一种方法是用斯勒斯基替代效应替代希克斯效应；第二种方法是通过马歇尔需求来求希克斯需求，这就是方程要解决的问题。其表明希克斯替代效应（或者希克斯需求）等于马歇尔需求减去收入效应。
二、斯勒茨基方程的推导--方法一
即根据斯勒斯基需求和希克斯需求的定义，可以直接利用微分方法得出方程的解：
1． 根据斯勒斯基需求的定义推导方程
假设原价格为时的需求为，故。当新价格为时，使得原消费束仍然支付得起的需求即为斯勒斯基需求，表示为，这时使得原消费束支付得起的收入为：。
根据斯勒斯基需求的定义有如下恒等式：

由于二者的购买力相同，即的购买力与的购买力相同，所以从购买角度看可以将上式写成：。对其求关于的微分可以得到：

移项后得到：
总效应 替代效应 收入效应
（马歇尔需求） （斯勒茨基需求）
2． 根据希克斯需求定义推导方程：
希克斯需求是指在新价格条件下，维持原有效用水平不变时的需求。由于效用最大化和支出最小化之间的对偶性，它一定等于在新价格下维持原效用水平不变的最小支出时需求，因此有恒等式：

其中，m是维持原效用水平的最小支出，它可以通过求支出最小化来得到，即。求上式的关于的一阶导数得：

移项后可以得到：

马歇尔需求 希克斯需求 收入效应
（三）斯勒茨基方程的推导--方法二
即利用效用最大化的一阶导数条件来求解斯勒斯基方程。
首先，跟据效用最大化问题

设拉格朗日函数，并求其一阶导数条件，得：



其次，对一阶导数求全微分，即考察在满足一阶导数的前提下，所有变量得变化可能对均衡的影响。

令：，整理后可以得到：

方程组中有三个未知数：，将等式右边看作常数，这样可以考察价格变化时，的变化。
再次，利用克莱姆法则求解和：设

即加边海赛矩阵（或系数矩阵和替代矩阵）。分别将前面等式右边的常数项替代各列系数矩阵中的向量，并用第一列展开，得


其中， ，，分别为第i行第一列代数余子式。


其中，分别为i行第二列代数于子式。
根据克莱姆法则：

（1）由于

m是给定的，故dm=0。假定P
1变化而P2不变，有dP2=0。对两边除以dp1，得：

（2）假定价格变化，对两边除以dm得：

其表示的是x1相对于收入m的变化率，或者说每增加或减少一元钱所带来的需求x1的变化。带入上式得：

（3）在希克斯替代效应条件下，效用水平不变，故，即。根据消费者均衡条件，所以有：，即。又根据二阶导数的最后一个方程，当时，。因此，假定p2不变，u为常数时：

由于，故。所以，就是维持原效用水平不变的替代效应。由此可得：

马歇尔需求=希克斯需求+收入效应