传教士和野人问题

传教士和野人问题（Missionaries and Cannibals）传教士和野人问题是一个经典的智力游戏问题。

在这个问题中，实际上隐含了这样一个条件：如果在河的某一岸只有野人，而没有传教士，也同样被认为是合法状态。

在具体书写某些条件时，为了简便，这一点有时并没有考虑，但我们默认这个条件是被考虑了的。

有N个传教士和N个野人来到河边准备渡河，河岸有一条船，每次至多可供k人乘渡。

问传教士为了安全起见，应如何规划摆渡方案，使得任何时刻，在河的两岸以及船上的野人数目总是不超过传教士的数目。

即求解传教士和野人从左岸全部摆渡到右岸的过程中，任何时刻满足M（传教士数）≥C （野人数）和M＋C≤k的摆渡方案。

设N＝3，k＝2，则给定的问题可用图1.2表示，图中L和R表示左岸和右岸，B＝1或0分别表示有船或无船。

约束条件是：两岸上M≥C，船上M＋C≤2。

图1.2 M－C问题实例
由于传教士和野人数是一个常数，所以知道了一岸的情况，另一岸的情况也就知道了。

因此为了简便起见，在描述问题时，只描述一岸--如左岸--的情况就可以了。

另外，该问题我们最关心的是在摆渡过程中，两岸状态的变化情况，因此船上的情况并不需要直接表达出来。

在一次摆渡过程中，船上究竟有几个传教士和野人，可以通过两个相连的状态简单得到。

这样表达更简练，突出了问题的重点。

（1）综合数据库：用三元组表示左岸的情况，即（，，），其中0≤，≤3，∈{0，1}
，其中表示在左岸的传教士人数，表示在左岸的野人数，＝1表示船在左岸，＝0表示船在右岸。

则此时问题描述可以简化为：（3，3，1）→（0，0，0）
N＝3的M－C问题，状态空间的总状态数为4×4×2＝32，根据约束条件的要求，可以看出只有20个合法状态。

再进一步分析后，又发现有4个合法状态实际上是不可能达到的。

因此实际的问题空间仅由16个状态构成。

下表列出分析的结果：
（
）
（001）达不到（传教士（
）（000）
均在右，船在左）
（011）
（021）
（031）
（101）不合法（右岸野人多）
（111）
（121）不合法（左岸野人多）
（131）不合法（左岸野人多）
（201）不合法（右岸野人多）
（211）不合法（右岸野人多）
（221）
（231）不合法（左岸野人多）
（301）达不到（311）
（321）
（331）（010）
（020）
（030）达不到
（100）不合法（右岸野人多）
（110）
（120）不合法（左岸野人多）
（130）不合法（左岸野人多）
（200）不合法（右岸野人多）
（210）不合法（右岸野人多）
（230）不合法（右岸野人多）
（300）
（220）
（310）
（320）
（330）达不到
规则集可以划分为两组：一组是从左岸到右岸，称为p 操作，另一组是从右岸到左岸，称为q操作。

按道理，在规则的前件中应该附加必要的条件，使得产生的状态是合法的。

在下一章有关搜索算法的讨论中我们会看到，在每一种搜索算法中，都有一处判断新产生的状态是否合法。

对于不合法的状态，算法会进行相应的处理。

因此在表达规则时，那些通过状态的合法性就可以判断的前提条件可以不在规
则中出现。

这样可以简化规则的表达。

比如在第一条规则中，在规则后件中出现了"ML－1"，按道理应该要求ML>0，否则的话，在左岸的传教士人数就是负数了。

但这一点完全可以通过定义什么是合法状态来判断，因此就没有必要将这个条件写入规则中了。

但为什么在规则中写入"B L＝1"、"B＝0"这样的条件呢？其实这样的条件也不是一定要写的，因为它同样可以通过定义合法状态来判断。

但由于写上这些条件后，会使得规则表达更清晰，通过BL的取值就可以看出规则所表达的是船从左岸到右岸，还是从右岸到左岸。

而且从左到右，或者从右到左，是交替进行的，因此把这样的条件明确表达出来，可以提高问题的求解效率。

所以说，对于通过状态的合法性可以判断的条件，是否在规则中明确表达出来，具有一定的灵活性，可以从规则的清晰性、易懂性，以及求解效率等方面综合考虑。

而对于某些不能通过状态的合法性来判断的条件，则必须在规则中明确表达出来。

在传教士和野人问题中，假定了传教士和野人都可以划船，由于每次摆渡船上最多可以有2个人，最少也必须有一个人（船不会自己前进），因此在船上共有（2，0）、（0，2）、（1，1）、（1，0）和（0，1）这5种组合。

其中第一个数字表示在船上的传教士数，第二个数字表示在船上的野人数。

再加上从左岸到右岸和从右岸到左岸这两种情况，所以共有10种摆渡方法。

在该例题中，将这10种摆渡方法全部以规则的形式，一一列举出来。

这种方法的好处是，规则简单、易懂，但不足也很明显：繁琐。

尤其是对于实际的复杂问题，如果要全部一一列举出所有规则，其数量太大。

表示规则的另一种方式就是引入变量，通过引入变量，将相近的几条规则组合在一条规则中表示。

同样是传教士和野人问题，我们引入i和j两个变量，分别表示此次摆渡时，过河的传教士数和野人数，则可以将10条规则组合为两条规则：
IF (m, c, 1) AND 1≤i+j≤2 THEN (m-i, c-j, 0) //从左岸到右岸IF (m, c, 0) AND 1≤i+j≤2 THEN (m+i, c+j, 0)//从右岸到左
岸
（也可以表示为：
IF (m, c, b=1) AND 1≤i+j≤2 THEN (m-i, c-j, b-1)
IF (m, c, b=0) AND 1≤i+j≤2 THEN (m+i, c+j, b+1)
）
这样表达的规则更加精练，但程序设计要复杂的多，因为需要对变量进行解释。

（2）规则集合：由摆渡操作组成。

该问题主要有两种操作：操作（规定为从左岸划向右岸）和操作（从右岸划向左
岸）。

每次摆渡操作，船上人数有五种组合，因而组成有10条规则的集合。

（3）初始和目标状态：即（3，3，1）和（0，0，0）。

和八数码游戏的问题一样，建立了产生式系统描述之后，就可以通过控制策略，对状态空间进行搜索，求得一个摆渡操作序列，使其能够达到目标状态。

在讨论用产生式系统求解问题时，有时引入状态空间图的概念很有帮助。

状态空间图是一个有向图，其节点可表示问题的各种状态（综合数据库），节点之间的弧线代表一些操作（产生式规则），它们可把一种状态导向另一种状态。

这样建立起来的状态空间图，描述了问题所有可能出现的状
态及状态和操作之间的关系，因而可以较直观地看出问题的解路径及其性质。

实际上只有问题空间规模较小的问题才可能作出状态空间图，例如N＝3的M－C问题，其状态空间图如图1.3所示。

由于每个摆渡操作都有对应的逆操作，即
对应，所以该图也可表示成具有双向弧的形式。

从状态空间图看出解序列相当之多，但最短解序列只有4个，均由11次摆渡操作构成。

若给定其中任意两个状态分别作为初始状态和目标状态，就立即可找出对应的解序列来。

在一般情况下，求解过程就是对状态空间搜索出一条解路径的过程。

以上两个例子说明了建立产生式系统描述的过程，这也就是所谓问题的表示。

对问题表示的好坏，往往对求解过程的效率有很大影响。

一种较好的表示法会简化状态空间和规则集表示，例如八数码问题中，如用将牌移动来描述规则，则8块将牌就有32条的规则集，显然用空格走步来描述就简单得多。

又如M－C问题中，用3×2的矩阵给出左、右岸的情况来表示一种状态当然可以，但显然仅用描述左岸的三元组描述就足以表示出整个情况，因此必须十分重视选择较好的问题表示法。

以后的讨论还可以看到高效率的问题求解过程与控制策略有关，合适的控制策略可缩小状态空间的搜索范围，提高求解的效率。

图1.3 M－C问题状态空间图。