2009年考研数学一真题与答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0. 1. 2. 3.
【答案】B
【解析】
独立
（1）若 ，则
（2）当 ，则
为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。
【答案】
【解析】
，
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 。
（Ⅰ）求 及 的方程
（Ⅱ）求 与 之间的立体体积。
4.（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 。
5.（本题满分10分）计算曲面积分 ，其中 是曲面
的外侧。
6.（本题满分11分）
设
（Ⅰ）求满足 的 . 的所有向量 , .
（Ⅱ）对 中的任意向量 , 证明 , , 无关。
7.（本题满分11分）
设二次型
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值。
8.（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
. .
. .
【解析】根据 ，若
分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆
故答案为（B）
（7）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 （ ）
. . . .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以
而 ，
所以 。
（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 ，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为（ ）
（1）当 时， 与 等价无穷小，则（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】 为等价无穷小，则
故排除 。
另外 存在，蕴含了 故 排除 。
所以本题选A。
（2）如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
. . . .
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的奇函数，所以 ;
三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1.（本题满分9分）求二元函数 的极值。
2.（本题满分9分）设 为曲线 与 所围成区域的面积，记
，求 与 的值。
3.（本题满分11分）椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是过点 且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成。
3.设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
4.设有两个数列 ，若 ，则（ ）
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
5.设 是3维向量空间 的一组基，则由基 到基
的过渡矩阵为（ ）
. .
. .
6.设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
. .
. .
7.设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 （ ）
. . . .
8.设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 ，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为（ ）
0. 1. 2. 3.
二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）
【答案】
【解析】由 ，得 ，故
微分方程为
设特解 代入，
特解
Fra Baidu bibliotek把 ， 代入，得
所求
（11）已知曲线 ，则 。
【答案】
【解析】由题意可知， ，则
，
所以
（12）设 ，则 。
【答案】
【解析】
方法一：
方法二：由轮换对称性可知
所以，
（13）若3维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值为。
【答案】2
因为 则由定义可知 使得 时，有
又因为 收敛，可得 则由定义可知 使得 时，有
从而，当 时，有 ，则由正项级数的比较判别法可知 收敛。
（5）设 是3维向量空间 的一组基，则由基 到基
的过渡矩阵为（ ）
. .
. .
【解析】因为 ，则 称为基 到 的过渡矩阵。
则由基 到 的过渡矩阵 满足
所以此题选 。
（6）设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
② 时， 单调递增。
③ 时， 为常函数。
④ 时， 为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 。
（4）设有两个数列 ，若 ，则（ ）
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
【解析】
方法一：
举反例A取
B取
D取
故答案为（C）
方法二：
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的偶函数，所以 ；
.所以正确答案为A.
（3）设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、 所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：
① 时， ，且单调递减。
【解析】
, 的非零特征值为2.
(14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 。
9.设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。
10.若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 。
11.已知曲线 ，则 。
12.设 ，则 。
13.若3维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值为。
14.设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 。
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1.当 时， 与 等价无穷小，则（ ）
. .
. .
2.如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
. . . .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求二维随机变量 概率分布。
9.（本题满分11分）
设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知， ， ,… 是来自总体 的简单随机样本
(Ⅰ)求参数 的矩估计量；
（Ⅱ）求参数 的最大似然估计量
2009年考研数学一真题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
【答案】B
【解析】
独立
（1）若 ，则
（2）当 ，则
为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。
【答案】
【解析】
，
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 。
（Ⅰ）求 及 的方程
（Ⅱ）求 与 之间的立体体积。
4.（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在 可导，则存在 ，使得
（Ⅱ）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且 ，则 存在，且 。
5.（本题满分10分）计算曲面积分 ，其中 是曲面
的外侧。
6.（本题满分11分）
设
（Ⅰ）求满足 的 . 的所有向量 , .
（Ⅱ）对 中的任意向量 , 证明 , , 无关。
7.（本题满分11分）
设二次型
（Ⅰ）求二次型 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型 的规范形为 ，求 的值。
8.（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
. .
. .
【解析】根据 ，若
分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆
故答案为（B）
（7）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 （ ）
. . . .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
所以
而 ，
所以 。
（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 ，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为（ ）
（1）当 时， 与 等价无穷小，则（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】 为等价无穷小，则
故排除 。
另外 存在，蕴含了 故 排除 。
所以本题选A。
（2）如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
. . . .
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的奇函数，所以 ;
三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1.（本题满分9分）求二元函数 的极值。
2.（本题满分9分）设 为曲线 与 所围成区域的面积，记
，求 与 的值。
3.（本题满分11分）椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是过点 且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成。
3.设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
4.设有两个数列 ，若 ，则（ ）
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
5.设 是3维向量空间 的一组基，则由基 到基
的过渡矩阵为（ ）
. .
. .
6.设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
. .
. .
7.设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则 （ ）
. . . .
8.设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为 ，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断点个数为（ ）
0. 1. 2. 3.
二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）
【答案】
【解析】由 ，得 ，故
微分方程为
设特解 代入，
特解
Fra Baidu bibliotek把 ， 代入，得
所求
（11）已知曲线 ，则 。
【答案】
【解析】由题意可知， ，则
，
所以
（12）设 ，则 。
【答案】
【解析】
方法一：
方法二：由轮换对称性可知
所以，
（13）若3维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值为。
【答案】2
因为 则由定义可知 使得 时，有
又因为 收敛，可得 则由定义可知 使得 时，有
从而，当 时，有 ，则由正项级数的比较判别法可知 收敛。
（5）设 是3维向量空间 的一组基，则由基 到基
的过渡矩阵为（ ）
. .
. .
【解析】因为 ，则 称为基 到 的过渡矩阵。
则由基 到 的过渡矩阵 满足
所以此题选 。
（6）设 均为2阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）
② 时， 单调递增。
③ 时， 为常函数。
④ 时， 为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为 。
（4）设有两个数列 ，若 ，则（ ）
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
当 收敛时， 收敛. 当 发散时， 发散.
【解析】
方法一：
举反例A取
B取
D取
故答案为（C）
方法二：
两区域关于 轴对称，而 ，即被积函数是关于 的偶函数，所以 ；
.所以正确答案为A.
（3）设函数 在区间 上的图形为：
则函数 的图形为（ ）
. .
. .
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、 所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：
① 时， ，且单调递减。
【解析】
, 的非零特征值为2.
(14)设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 。
9.设函数 具有二阶连续偏导数， ，则 。
10.若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方程 满足条件 的解为 。
11.已知曲线 ，则 。
12.设 ，则 。
13.若3维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征值为。
14.设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本均值和样本方差。若 为 的无偏估计量，则 。
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1.当 时， 与 等价无穷小，则（ ）
. .
. .
2.如图，正方形 被其对角线划分为
四个区域 ， ，
则 （ ）
. . . .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求二维随机变量 概率分布。
9.（本题满分11分）
设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知， ， ,… 是来自总体 的简单随机样本
(Ⅰ)求参数 的矩估计量；
（Ⅱ）求参数 的最大似然估计量
2009年考研数学一真题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.