概率论-2.3 随机变量的分布函数与连续型随机变量

2020年4月26日星期日
9
目录
上页
下页
返回
例：若随机变量X的概率密度为
C(4x 2x2 ), 0 x 2,
f (x) 0,
其它.
(1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}.
解：(1)由于 f (x)dx 1，有
C 2 (4x 2x2 )dx 1 0
得
C3
8
2020年4月26日星期日
第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量
➢分布函数的定义及其性质 ➢连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ➢几种重要的连续型随机变量
2020年4月26日星期日
1
目录
上页
下页
返回
一、分布函数的定义及性质
由于 P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1)
为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
x 0, 0 x 2,
x 2.
分段 讨论
2020年4月26日星期日
11
目录
上页
下页
返回
(3)
PX 1
f (x)dx
1
2 3 (4x 2x2 )dx 1
18
2
或 PX 1 1 PX 1 1 F(1) 1 1 1
22
2020年4月26日星期日
12
目录
上页
下页
返回
几种常见的连续型随机变量的分布
一、均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它.
则称X服从 a,b 上的均匀分布。记为 X : U a,b
意义：X“等可能”地取区间 a,b中的值，这里的“等可能” 理解为： X落在区间 a,b中任意等长度的子区间内的可能性是
相同的。即等长度，等概率。
P(x1 X x2) F(x2) F(x1)
x2 f (x)dx
x1
y
从图形上来看，性质3表示
f (x)
1 O x1 x2
X落在区域 (x1, x2 ]的概率 等于相应的曲边梯形的面 x 积。
4.若f(x)在点x处连续，则 F(x) f (x)
对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，
F(x) P(X x)
称为随机变量X的分布函数。 从而
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1) F (x2 ) F (x1)
也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意
一个区间的概率。
2020年4月26日星期日
2
目录
上页
下页
返回
不加证明地给出分布函数的一些性质:
10
目录
上页
下页
返回
(2)由F (x) x f (t)dt ，有
F
(
x)
x
0dx,
0
0dx
x 3 (4x 2x2 )dx,
08
0
0dx
2 3 (4x 2x2 )dx 08
x
0dx,
2
x 0, 0 x 2,
x 2.
即
0,
F
(
x)
3 4
x2
1 4
x3,
1,
2020年4月26日星期日
6
目录
上页
下页
返回
性质：1. f (x) 0
y
2. f (x)dx 1
f (x)
1 1
O
x
从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.
2020年4月26日星期日
7
目录
上页
下页
返回
3.对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 )，有
2020年4通月过26日f(星x)期积日分得F(x)。 8
目录
上页
下页
返回
5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零．
即
PX x0 0
由性质5，易得：
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
注：对离散型随机变量，上式不成立。
2020年4月26日星期日
4
目录
上页
下页
返回
即
0,
1
,
4
F
(x)
3
,
4
7 8
,
1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x 4,
4 x.
分布函数的图像如下：
F ( x)
1
7 8
3 4
1 4
。 。
。
1
2
3
4x
分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如
(1)(单调性) 对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 ) ，有
F (x1) F (x2 )
(2)(有界性) 0 F(x) 1, lim F(x) 0, lim F(x) 1
x
x
F() P{X } 不可能事件
F() P{X } 必然事件
(3)(右连续性)
lim
x x0
F
(x)
F
( x0
)பைடு நூலகம்
2020年4月26日星期日
3
目录
上页
下页
返回
例：若随机变量X的分布律为
X 1234
1111 pk 4 2 8 8 则随机变量X的分布函数为
0,
x 1
PX 1,
F
(
x)
PX
1 PX
2
1 x 2 2 x3
PX 1 PX 2 PX 3
3 x4
PX 1 PX 2 PX 3 PX 4 4 x
31 1
P(X 2)
2020年4月26日星期日
5 4 4 2 目录
上页
下页
返回
二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质
定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有
x
F (x) f (t)dt
称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。
bx
14
Oa
bx
目录
上页
下页
返回
例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X : U 0,30
f
(
x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
P10 X 15 P20 X 25
d1
d c
P(c
X
d) c
dx ba
,[c, d] [a,b] ba
2020年4月26日星期日
13
目录
上页
下页
返回
分布函数：
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b,
x b.
均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：
f (x)
1 ba
F ( x)
1
Oa
2020年4月26日星期日