二次根式分母有理化
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7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函 数时，则作为必备的基本知识要领；
8、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、 旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定 理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；
思考：
在不使用计算机的前提下，能不能快速比较下面两个 数的大小：
a
b ac
b ad c
(1)、 2 3 3
(2)、3 2 2 32 2
特殊方法
分解约简法、配方约简法
例 ：
这里我们将分母分解因式后提取出 来，这样避免采用平方差公式分解。 这种方法较适用于分子分母含有公 因式时。配方约简法
例2：
这里我们将分子化成平方式，然后 利用完全平方公式配方，再和分母 约分，这样避免采用平方差公式分 解。
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或 因式
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫
做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写 成最简二次根式的形式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对 系数不为1的涉及不多，高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、 不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是 高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5、初中教材对二次函数的要求较低。而高中则是贯穿整个数学教材的始终 的重要内容；配方、作简图、求值域、单调区间等是高中数学所必须掌握 的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达 定理）初中不作要求，而在高中，它们的相互转化屡屡频繁。
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ 2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b a＋b • a＋b
a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10
＝
1wenku.baidu.com • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要先对分母进行化简。
怎样把下面的代数式分母有 理化？
（1） 2 （2）3 2 2 3 3 32 2
平方差公式在整式中成立， 它在二次根式中是否成立呢？请 你计算下列式子：
( 7 2 2 6)(2 6 7 2)
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的
积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化 因式。
( 7 2 2 6)(2 6 7 2)
2
6 2 7
2
2
24 98
74
3、常见的互为有理化因式：
a 的有理化因式： a
ba b a c b ad c
反思
在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
也就是把分母由无理数变成有理数的过程
例2：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
(1) 3 3 5 15 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
2 3 2 3 2 2 3 6 (1)分母中不含有二次根式.
27 3 3 3 3 3
(2) 最后结果中的二次根式
3 8 8 2a 4 a 2 a 要求写成最简的二次根式 2a 2a 2a 2a a 的形式.
2
6 4 和 2 2－ 6
基础复习
• 二次根式相除的法则：
a
b
a b
a
0,
b
0
两个二次根式相除， 等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a
a a 0,b 0
b
b
商的算术平方根等于被 除式的算术平方根除以 除式的算术平方根。
例1.计算或化简：
(1) 2 7 9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0, b
0
(4) 20 5
(5) 75 5
注意：
利用 a a (a 0，b 0) ，求二 次根式的商b有一b定的局限性，它只适 用于被除式与除式的被开方数恰为能 整除的形式,如:
10 10 5
2
2
如果遇有不能整除的情况怎么办呢？ 例如: 5
3
通常我们是采用化去分母中根号的方法来进行 的。这就是我们要讲的
8、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、 旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定 理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；
思考：
在不使用计算机的前提下，能不能快速比较下面两个 数的大小：
a
b ac
b ad c
(1)、 2 3 3
(2)、3 2 2 32 2
特殊方法
分解约简法、配方约简法
例 ：
这里我们将分母分解因式后提取出 来，这样避免采用平方差公式分解。 这种方法较适用于分子分母含有公 因式时。配方约简法
例2：
这里我们将分子化成平方式，然后 利用完全平方公式配方，再和分母 约分，这样避免采用平方差公式分 解。
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或 因式
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫
做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要写 成最简二次根式的形式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对 系数不为1的涉及不多，高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、 不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是 高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5、初中教材对二次函数的要求较低。而高中则是贯穿整个数学教材的始终 的重要内容；配方、作简图、求值域、单调区间等是高中数学所必须掌握 的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达 定理）初中不作要求，而在高中，它们的相互转化屡屡频繁。
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ 2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b a＋b • a＋b
a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10
＝
1wenku.baidu.com • 10
20 ＝ 2 5 ＝ 5 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清 楚分式的分子和分母都乘什么，有时还 要先对分母进行化简。
怎样把下面的代数式分母有 理化？
（1） 2 （2）3 2 2 3 3 32 2
平方差公式在整式中成立， 它在二次根式中是否成立呢？请 你计算下列式子：
( 7 2 2 6)(2 6 7 2)
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的
积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化 因式。
( 7 2 2 6)(2 6 7 2)
2
6 2 7
2
2
24 98
74
3、常见的互为有理化因式：
a 的有理化因式： a
ba b a c b ad c
反思
在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
也就是把分母由无理数变成有理数的过程
例2：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
(1) 3 3 5 15 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
2 3 2 3 2 2 3 6 (1)分母中不含有二次根式.
27 3 3 3 3 3
(2) 最后结果中的二次根式
3 8 8 2a 4 a 2 a 要求写成最简的二次根式 2a 2a 2a 2a a 的形式.
2
6 4 和 2 2－ 6
基础复习
• 二次根式相除的法则：
a
b
a b
a
0,
b
0
两个二次根式相除， 等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a
a a 0,b 0
b
b
商的算术平方根等于被 除式的算术平方根除以 除式的算术平方根。
例1.计算或化简：
(1) 2 7 9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0, b
0
(4) 20 5
(5) 75 5
注意：
利用 a a (a 0，b 0) ，求二 次根式的商b有一b定的局限性，它只适 用于被除式与除式的被开方数恰为能 整除的形式,如:
10 10 5
2
2
如果遇有不能整除的情况怎么办呢？ 例如: 5
3
通常我们是采用化去分母中根号的方法来进行 的。这就是我们要讲的