三角函数的参数问题

微专题突破二 破解三角函数的参数问题

三角函数的参数问题是三角函数中的一类热点问题，也是难点问题，下面就几道题谈谈这类问题的破解之道．

例1 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54

B.⎣⎡⎦⎤12，34

C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性

题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用

答案 A

解析 方法一 由π2

0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4

. 又因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上单调递减，

所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2，

ωπ＋π4≤3π2.

解得12≤ω≤54

，故选A. 方法二 由π2＋2k π≤ωx ＋π4≤3π2

＋2k π，k ∈Z ， 得π4ω＋2k πω≤x ≤5π4ω＋2k πω

，k ∈Z . 因此函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4ω＋2k πω，5π4ω＋2k πω，k ∈Z .

由题意知⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦

⎤π4ω，5π4ω， 所以⎩⎨⎧ π2≥π4ω，

π≤5π4ω.

解得12≤ω≤54

，故选A. 点评 解决这类与单调性有关的参数问题，一是直接先求出括号内整体的范围，然后列不等式求解；二是先求出f (x )的单调区间，则所给区间为该区间子集，将问题转化为集合间的关系解决．

例2 已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝⎛⎭⎫π5，58π是f (x )的一个单调递增区间，则φ的取

值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤－910

π，－310π B.⎣⎡⎦⎤25π，910π C.⎣⎡⎦⎤π10，π4

D.⎣

⎡⎦⎤－π，－π10∪⎝⎛⎭⎫π4，π 考点 正弦、余弦函数的单调性

题点 正弦、余弦函数的单调性的应用

答案 C

解析 因为⎝⎛⎭⎫π5，58π是f (x )的一个单调递增区间，

所以⎝⎛⎭⎫π5，58π是y ＝2sin(2x ＋φ)的一个单调递减区间．

令2k π＋π2≤2x ＋φ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π4－φ2≤x ≤k π＋3π4－φ2，k ∈Z ，且k π＋π4－φ2≤π5，58π≤k π＋3π4－φ2

，k ∈Z . 又因为|φ|<π，解得π10≤φ≤π4

，故选C. 点评 本题要求参数φ的取值范围，本质仍是单调性问题，转化为集合间关系即可求解．

例3 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭

⎫34π，0对称，且在区间⎣⎡⎦

⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 考点 正弦函数与余弦函数性质的综合应用

题点 正弦函数性质的综合应用

解 由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，

∴φ＝k π＋π2

，k ∈Z . ∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.

由f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭

⎫34π，0对称， 得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0.

∵f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4＋π2＝cos 3ωπ4

， ∴cos 3ωπ4

＝0. 又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2

＋k π，k ∈N ， 即ω＝23＋43

k ，k ∈N . 当k ＝0时，ω＝23

， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；

当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103

，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数． 综上，ω＝23

或ω＝2. 点评 求出ω＝23＋43

k (k ∈N )后进行分类计论，检验f (x )是否在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调函数，从而求出参数值．

例4 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点x 0，x 0＋32

(x 0>0)处f (x )分别取得最大值2和最小值－2.若函数g (x )＝af (x )＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

考点 正弦函数与余弦函数性质的综合应用

题点 正弦函数性质的综合应用

答案 A

解析 由题意知，A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋32－x 0＝32

， ∴T ＝3，即2πω

＝3，

∴ω＝2π3

，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ. 又∵函数f (x )的图象过点(0,1)，

∴2sin φ＝1.

∵|φ|<π2，∴φ＝π6

. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6，

g (x )＝af (x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6＋b .

由⎩⎪⎨⎪⎧ 2|a |＋b ＝6，－2|a |＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ |a |＝1，b ＝4，

∴|a |＋b ＝5. 点评 根据三角函数图象与性质求出f (x )解析式后，问题转化为正弦函数的最值问题，利用－1≤sin x ≤1，列出方程组解决问题，体现了方程思想的运用．