微积分-第六章练习题答案

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微积分答案经济数学微积分主编张建梅马庆华科学出版社广外

y2
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7. (2) 计算积分 I
y x

1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 e d x 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
y x
y x2
I

1
1 2
1
1 2
dx
x x
2
e dy
x
y x
dxdy ,
解由对称性，可只考虑第一象限部分，
D 4 D1
D1

D
注意：被积函数也要有对称性. 2 2 4 sin( x y )
x2 y2

2
dxdy

D1
sin(
2
x2 y2 ) x y
2
dxdy
4 d
0
2
1
sin r rd r 4. r
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6.
(1)
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6(2)
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6(3) 改变积分

1 0
dx
2 x x2 0
f ( x , y )d y d x
1
2
2 x 0
f ( x , y )d y 的次序.
解积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式

1 0
dy
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
u

微积分练习题(含答案)

练习题第六章定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2．函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章导数应用1.计算极限（1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。

微积分上册习题6答案

2
(2)
xdx
1
2x2dx 1
(3)
1
xdx
0
01lnx( 1)dx
(4) 1 xe x dx 0
解: (1)在 . 区 [0,1]上间 xx2
01xdx01x2dx
01lnx( 1)dx
(2) 在区间 [1,2]上 x x2
12xd x12x2d x
(3) 在区间[0,1] 上 xln1(x)
0 1xdx 0 1ln1 (x)d x (4) 在区间 [0,1] 上xex ln1(x)
0 1xxed x0 1ln1 (x)d x
4.下列定积分哪些有意义，哪些没有意义？为什么?
1 dx
(1) 3 x 2
1
(2)
ln xdx
0
(1)无意义，在 x2处无定义．是无穷间断点．
9 xd x2x2 39292 3212 31 8211 7
1
3 33
32
1
(2) 271d x3x3 227 323 27 313 23(91)12
1 3x 2
2 22
1
(3) 2(3x2 1)dx 1
(4) 4(x3 x)dx 1
解: (3) 2 (3 x 2 1 )d x (x 3 x )2 8 2 1 1 8
7.已知变上限定积分 xf(t)dtex 2，求：（1）函数值 f (1) a
（2）常数 a
解: (1) 由 xf(t)dtex 2得到: a ( xf(t)d)t ' f(x)ex a f(1)e1 e
(2)
xf(t)d txetd texeaex2
a

微积分第六章习题解答

2
3、利用定积分的几何意义,说明下列等式: 利用定积分的几何意义,说明下列等式: 1 1 π 2
(1)
∫ 0 2 x dx = 1 ;
y
y = 2x
（2）∫
0
1 − x dx =
y
4
;
2
x2 + y2 = 1
o
1 x
o
（3） ∫
π
−π
sin x dx = 0 ;
( 4)
∫
π
1
x
2 π − 2
cos x dx = 2∫ 2 cos x dx .
1 1 e−x 0 1 dx + ∫ dx = − ln(1 + e − x ) + ln(1 + x ) =∫ 01+ x −1 1 + e − x 0 −1
e ⋅ y ′ + cos x = 0 ,
y′ = −
cos x e
y
.
11
4、求下列极限：求下列极限： (2) lim
∫ 0 arctan t dt
x2
x
0 " "型 0
arctan x 1 = lim = . x →0 2x 2
x →0
sin 2 t dt ∫π
x
(3) lim π
x→ 2
2
F ′( x ) = f ( x ) + x f ′( x ) ,
∃c ∈ (ξ ,1) ⊂ (0,1) , 使 F ′( c ) = 0 ，即 f (c) + c f ′(c) = 0 ,
f (c ) 而 c > 0 , 即有 f ′(c ) = − . c

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解

第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。

大一高数微积分下册答案

第六章定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾，所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。

微积分6习题答案

一、填空题1．设()A dx x f a =⎰0，则()=-⎰dx x a f aA2．22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π3．=⎰dx e x 124．若2sin 0π=⎰+∞dx x x ，则=⎰∞+dx xx 0 22sin ． 2π5．=-⎰θθθπd 03sin sin 346．由两条抛物线x y =2，及2x y =所围成的图形的面积是 1 7．已知22π=⎰∞+-dx e x ，则=⎰+∞-dx e x 02242π8．函数dt t x F y x ⎰+==02)2()(在0=x 处的切线方程是 x y 2=9．设)(x f 在积分区间上连续，则=--⎰-a adx x f x f x )]()([2 010．=++⎰-2232)cos 1sin (ππdx x x x 34 11．=++⎰-dx x x x 112||1)cos (sin12．设dx x x I ⎰=101sin ，dx x x I ⎰++=10211sin ，比较1I 与2I 的大小：1I 2I 13．=+++⎰-dx x xx x 114571cos 82 0 二、单项选择题1．设C x F dx x f +=⎰)()(在],[b a 上成立，则 ④①)(x f 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ②)(x f 在],[b a 上必可导 ③)(x F 在],[b a 上必连续，但不一定可导 ④)(x F 在],[b a 上必可导 2．=-⎰dx x R R22 ④①R ②R π ③2R π ④42R π3．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aax ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim 及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛6．导数=⎪⎭⎫⎝⎛⎰'arcsin dx x ba ①① 0 ②211x- ③x arcsin ④a b arcsin arcsin -7．积分()=⎰-dt t f xx' ④①()x f ②()x f - ③()()x f x f -+ ④()()x f x f -- 8．设()x f 为偶函数，且()I dx x f ba=⎰，则 ③①()I dx x f a b=⎰ ②()I dx x f b a =⎰-- ③()I dx x f ab=⎰-- ④前面的结论都不对 9．设()x f 为偶函数，则()()dt t f x F x⎰=0为 ①①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④奇偶性不能确定 10．设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()0>x f ，则积分上限函数()()dt t f x F xa⎰=在区间[]b a ,上 ① ①单调增加 ②单调减少 ③有增有减 ④不增不减 11．函数()x f 在区间[]b a ,上有界是()x f 在区间[]b a ,上可积的 ②①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④无关条件 12．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的连续函数，则 ④ ①dx x f ⎰+∞∞-)(必收敛 ②若0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛③当dx x f aaa ⎰-+∞→)(lim存在时，则dx x f ⎰+∞∞-)(收敛④当且仅当dx x f aa ⎰+∞→0)(lim及dx x f bb ⎰+∞→0)(lim 均存在时，就有dx x f ⎰+∞∞-)(收敛三、求下列积分1．332cos sin13422=⋅⎰dx x x ππ 2．22110π-=+⎰dx x x 3．926arcsin 102-=⎰πdx x x 4．()()12254ln 154ln 1414514-⋅=+=+⎰ee x dx x x 5．3ln 381203-=+⎰dx x x 6．2132ln sec sec 14332222++=-=-⎰⎰--dt t t x x dx ππ令 7．()3822cos tan 2422arctan 21arctan 2132-==+⎰⎰dt t t x x dx 令 8．614511=-⎰-x xdx 9．e dx e x4210-=⎰- 10．()()[]2121ln ln 022-++=++⎰a a dx a x x a11．()2111π=+⎰∞+dx x x 12．351130=++⎰dx x x 13．1ln 12=⎰∞+dx x x 14．()2ln 1214150+=-+⎰dx x 15． 21arctan 13=⎰∞+dx x x 16．()2ln 1ln 22=⎰∞+x x dx 17．π=++⎰∞+∞-222x x dx 18．dx x ⎰-1024 233+=π 19．dxx x⎰-1221 ＝16π20．dx xx ⎰-122221 41π-=21．dx x e x ⎰∞+-0sin22．dx x x ⎰+213252ln 3＝ 23．⎰∞++0xx x dxπ=四、求下列各题中平面图形的面积及旋转体体积1．曲线x e y =与直线e y =及y 轴所围成的图形。

微积分第六章习题答案

4.试证明：对函数应用拉格朗日中值定理时，所求得的点总是位于区间的正中间。
证明：，而，恰好
5.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：，分别在区间上应用罗尔定理得在上都有根，而为三次多项式，所以恰有三个实根。
6.证明恒等式
证明：在上，，所以为常数，令得此常数为。又显然，所以结论成立。
4.求下列函数的极值点与极值：
（1）
解：，上上所以为极大值点，极大值为。上上所以为极小值点，极小值为。
（2）
解：，上上所以为极大值点，极大值为。
（3）
解：，上上上所以为极小值点，极小值为。为极大值点，极大值为
5.确定下列函数的单调区间：
（1）
解：。在上，上，上，所以，为单增区间，为单减区间。
7.讨论方程有几个实根。
解：设，，在上，单增，在上，单减。所以为最大值。又有所以当时没有实根，当时有一个实根，当时有两个实根。
8.判定下列曲线的凹凸性：
（1）
解：所以函数是凸的。
（2）
解：所以上函数是凸的，上函数是凹的。
（3）
解：所以函数是凹的。
（4）
解：所以函数是凹的。
16.设函数，求证：当时，当时，有
。
证明：当时，所以
即，在其中取即得
6.4函数的单调性与曲线的凹凸性
习题6.4
1.判定函数的单调性。
解：只在处为零，所以函数单调下降。
2.判定函数的单调性。
解：，只在处为零，所以函数单调上升。
3.求下列函数的单调性区间与极值点：

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华李建平毛志强著))第六章定积分

x
x
ar
1
1 (b3 a 3 ) (b a) 3
1+x.所以
4. 估计下列各积分值的范围：
1
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n.
2 3 1
x
n b 1 S ( x 2 1)dx lim f (i )Δxi (b a)[a 2 (b a) 2 a(b a) 1] a n 3 i 1
t
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(1)

4
1
( x 2 1)dx ； e x dx （a＞0)；
2
2
(2)

3 1 3 0
x arctan xdx ;
2
(3) 解
a
a
(4)
2
ex
x
dx .
(1)在区间[1,4]上,函数 f ( x) x 1 是增函数,故在[1,4]上的最大值 M f (4) 17 ,最
2
w.
f (a ) f ( a ) e a ,a>0 时, e a 1 ,故 f ( x) 在[-a,a]上的最大值 M=1,最小值
m e a ,所以
ww
2
tt
2
le
2
2ae a e x dx 2a .
2
ar
a
,令 f ( x) 0 得驻点 x=0,又 f (0) 1 ，
2
0
(1)

4
le
1
所以当 x=0 时,I(x)有极小值,且极小值为 I(0)=0. 5. 计算下列定积分：

实用文档之《微积分》各章习题及详细答案

实用文档之"第一章函数极限与连续"一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ)α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分第六章练习题答案

第六单练习题第六单练习题一、选择题一、选择题1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（内部的点是（ C ）A 、（0，0，0）B 、（0，0，-2）C 、111,,222æöç÷èø D 、111,,222æö--ç÷èø 2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（平面的对称点是（ B ）A 、(-1,1,1) B 、(1,1,-1) C 、(-1,-1,-1) D 、(1,-1,1) 3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y ¢=（ B ） A 、00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x D ®-D -D B 、00000(,)(,)lim x f x y f x x y x D ®--D D C 、00000(,)(,)lim xf x x y y f x y x D ®+D +D -D D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x ®-- 4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（处可微的充分条件是（ D ）A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续处连续B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数处存在偏导数C 、00000lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y r ®¢¢éùD -D -D =ëû D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y r r ®¢¢D -D -D éù=êúëû其中22x y r =+ 5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y ¶¶+=¶¶（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微、可微8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零、两个偏导数都小于零C 、两个偏导数在点),(0y x P 的值都等于零的值都等于零D 、两个偏导数异号、两个偏导数异号 9、二重积分òò+=Ddxdy y x I )sin(1，òò+=Ddxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由是由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，则（围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对、以上都不对 10、设方程2222xyz x y z +++=确定了函数z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）A 、2dx dy +B 、2dx dy -+C 、2dx dy --D 、2dx dy - 11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y ¢=且(,)0y f x y ¢=成立，则（成立，则（ D ）A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点的极值点B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点的极值点13、设区域D 是单位圆221x y +£在第一象限的部分，则二重积分Dxyd s =òò（ C ） A 、22110y x dxxydy --òòB 、21100y dx xydy -òòC 、21100y dy xydx -òòD 、12201sin 22d r dr pq q òò14、110(,)xdx f x y dy -=òò（ D ）A 、11(,)xdy f x y dx -òò B 、110(,)x dy f x y dx -òò C 、11(,)dy f x y dx òò D 、110(,)ydy f x y dx -òò15、若1Ddxdy =òò，则积分域D 可以是（可以是（ C ）A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域所围成的区域B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域所围成的区域C 、由11,22x y ==所围成的区域所围成的区域D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域所围成的区域二、填空题1、设)ln(22y x z +=，则xz¶¶＝．222y x x + 2、交换二次积分的次序òò101),(xdy y x f dx ＝．òò12),(y dx y x f dy3、若òò=--Ddxdy y x a p 222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区域．323 4、òòDd y x f s ),(在极坐标系下的二次积分为在极坐标系下的二次积分为，其中Ｄ是由422=+y x 围成的区域．òòp q q q 202)sin ,cos (rdr r r f d四、计算题四、计算题1、.求由方程xyz e z=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ¶¶，y x z ¶¶¶2解:设xyz e z y x F z -=),,(，则yzFx-=，xy e F z z -= xy e yz F F x zzz x -=-=¶¶ 22)()())(()(xy e x yz e yz xy e y z y z xy e yz y x z z z z y z --¶¶--¶¶+=¢-=¶¶¶ 322322)(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z zz z z ---+-= 2、设vuz arctan =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz解: xv v z x u u z x z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ 22223v u uv u v +-+×+= 2222)()23(23)()23()(3y x y x y x y x y x y x -+++--++-=y vv z y u u z y z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ )1(22222-×+-+×+=vu u v u v2222)()23(23)()23()(2y x y x yx y x y x y x -++++-++-=dy y z dx x z dz ¶¶+¶¶=dx y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(3[2222-+++--++-= dy y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(2[2222-++++-++-+3、设2z u v =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解:xvv z x u u z x z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ 232u uv +×=2)23())(23(6y x y x y x ++-+= y vv z y u u z y z ¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶ )1(222-×+×=u uv 2)23())(23(4y x y x y x +--+=dy y z dx x z dz ¶¶+¶¶=dx y x y x y x ])23())(23(6[2++-+=dy y x y x y x ])23())(23(4[2+--++ 4、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值的极值解：x f x 24-=，y f y 24--= 令0,0==yx f f 得2,2-==y x由2,0,2-====-==yy xy xx f C f B f A 知0>-B AC 且0<A 故),(y x f 在点（2，-2）处有极大值，极大值为8)2,2(=-f5、、计算二重积分òò+Ddxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围成的区域成的区域解：òòòò+Ddxdy y x )23( òò-+=x dy y x dx 202)23(ò++-=202)422(dx x x ＝320解法二：原式òò-+=y dx y x dy 2020)23(ò+--=202)6221(dy y y320=6、、计算二重积分òòDdxdy x xsin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域．区域．解：òòDdxdy xxsin òò=xxdy xx dx2sin 1dx x x xx)(sin 21-=ò dx x x x )sin (sin 10-=ò1sin 1-=7、计算二重积分2Dx ydxdy òò，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区域解：òòDydxdy x 2 òò-=x ydy x dx 202221ò=(22414x =31)y 08)535y -p 564=2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 解：阴影部分面积ò-=12)(dx x x S01)3132(323x x -== 31旋转体的体积ò-=1222])()[(dy y y Vyp 01)5121(52y y -=pp 103=。

经济数学基础微积分第六章习题解答

2
2 1

8
(8) 2 (1 x)5 dx 0
1(1 x)5dx 2 (x 1)5dx
0
1
1(1 x)5d(1 x) 2 (x 1)5d(x 1)
0
1
(1 x)6 1 (x 1)6 2
6
6
0
1
1 3
16
(9)
1
dx
0 x9 x
2
5
1 ln 21 2 20
(4) 2 (ex x)dx 0 (ex 1 x2 ) 2 20 e2 3
b
(5) a xdx (a b)
解：b a 0, 原式
b
xdx
1 x2 b 1 (b2 a2 )
a
2 a2
b 0 a,
原式
f (2) e4 0 极小值点 x 2
5、利用牛—莱公式计算下列积分：
4
21
(1) 1 (1 x )
dx x
4
2
21 (1 x) d x
4
2
2 (1 x) d(1 x)
1
2 (1
4
x )3
3
1
2
3
(2) 2 1 x3 dx
1 x2 x3
1 16
9 0 ( x 9 x)dx
1 16
1 16
9 0 x 9d(x 9) 9 0 xdx

1

2
(x

3
9) 2
16

1

2
3
x2
16
93

微积分课后习题参考答案第六章

第六章微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ；解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数；解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ，故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。

微积分二第六章课外练习题参考答案

《微积分二》第六章课外综合练习题（一）参考答案单项选择题：1．设2()()2x xF x f t dt x =-⎰，其中()f x 是连续函数，则2lim ()x F x →=（ C ）。

A .0B .(2)fC .2(2)fD .不存在提示：22222()()()lim ()limlim21xxx x x x f t dtf t dt xf x F x x →→→+==-⎰⎰22()2(2)2(2)f t dt f f =+=⎰。

2．设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，则10()f x dx ⎰=（ B ）。

A.2π B. 3π C. π D. 4π提示：111320001()[()]1f x dx x f x dx dx x =++⎰⎰⎰111320001()1dx f x dx x dx x=+⋅+⎰⎰⎰ =11001arctan ()4x f x dx +⎰101()44f x dx π=+⎰所以10()3f x dx π=⎰3．设()(),()xaf x f t dt '⎰为连续函数则为（ C ）。

A ．)(t fB ．)()(a f t f -C ．)(x fD ．)()(a f x f - 提示：利用积分上限的函数的性质。

4．设)(x f 为连续函数，则()()b baaf x dx f a b x dx -+-⎰⎰等于（ A ）A ．0B ．1C ．b a +D ．()b af x dx ⎰提示：()()()()t a b xba b babaaf a b x dx f t dt f t dt f x dx =+-+-=-==⎰⎰⎰⎰。

5．下列定积分中，其值为零的是（ D ）A ．22sin x xdx -⎰ B ．2cos x xdx ⎰ C ．22()x e x dx -+⎰ D ．22(sin )x x dx -+⎰提示：因为sin x x +是奇函数。

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案六

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题六（A ）1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性（1）0d cos 20=⎰x x π（2）x xx x d )1(2d )1(22222+=+⎰⎰-（3）0d 311=⎰-x x （3）x x dx x d 42111⎰⎰==解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确．（2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确．（4）原式dx x ⎰-=112等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．2．不计算积分，比较下列积分值的大小（1）x x d 210⎰与x x d 31⎰（2）x x d 231⎰与x x d 331⎰（2）x x d ln 43⎰与x x d )(ln 243⎰ （4）x x d sin 2⎰π与x x d 2⎰π解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者．（2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者．（3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2, 0(π范围x x <sin ，所以前者小于后者．3．用定积分性质估计下列积分值（1）x d e2x -1⎰ （2）x x d )sin 1(2454+⎰ππ（3）x xx d 151+⎰（4）x xxd sin 2⎰π解：（1）因为2x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：dx dx e dx e x l 12111⎰⎰⎰≤≤--1211≤≤⇒--⎰dx e e x（2）因为x 2sin 1+在22]45, 4[ππ的最大值为2，最小值为1。

2013级微积分B-第六章练习答案

0
0
由积分中值定理Βιβλιοθήκη 得： F(x) f ( ) (x 0) x f (x) x [ f ( ) f (x)]
[0, x] ，若 f (t) 单调减少，则 f ( ) f (x) 0
F(x) x [ f ( ) f (x)] 0 ， F(x) 单调增加。
《微积分》第六章练习
学院
班级、学号
姓名
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）
成绩

1.设 I 4 ln sin xdx ， J 4 ln cot xdx ， K 4 ln cos xdx ，则 I, J , K 的大小关系为
0
0
0
()
B
(A) I J K
7
a3
，a

73
五、证明题（每题 7 分，共 14 分）
1.设 f (x)在(, ) 上连续，且 F(x)
x
(x

2t)
f
(t)dt
，试证：
0
（1）若 f (t) 为偶函数，则 F (x) 亦为偶函数；
（2）若 f (t) 单调减少，则 F (x) 单调增加。
证： F(x)
f (x)dx

f (c)( a b
a)
a
2
f (c)(b a ) 2
f (c) 2
ab
2 f (x)dx f (b)
ba a
3
于是 f (x) 在[c,b] 上连续，在 (c,b) 内可导，且 f (c) f (b) 再用罗尔定理，存在 (c,b) (a,b) ，使 f ( ) 0 。

微积分第六章习题详解

第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定然积分的几何意义知, 12d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f xx =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ=是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)23211()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-=4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n解设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。

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第六单练习题一、选择题1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ）A 、（0，0，0）B 、（0，0，-2）C 、111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、111,,222⎛⎫-- ⎪⎝⎭2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ）A 、(-1,1,1)B 、(1,1,-1)C 、(-1,-1,-1)D 、(1,-1,1) 3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→-∆-∆ B 、00000(,)(,)lim x f x y f x x y x ∆→--∆∆C 、00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆ D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →--4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数 C 、00000lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''⎡⎤∆-∆-∆=⎣⎦D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''∆-∆-∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中ρ=5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零C 、两个偏导数在点),(000y x P 的值都等于零D 、两个偏导数异号9、二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I )sin(1，⎰⎰+=Ddxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对10、设方程xyz =z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点（1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）A 、dx +B 、dx -+C 、dx --D 、dx -11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y '=且(,)0y f x y '=成立，则（ D ）A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点13、设区域D 是单位圆221x y +≤在第一象限的部分，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰（ C ）A 、xydy B 、1dx ⎰C 、1dy ⎰ D 、122001sin 22d r dr πθθ⎰⎰14、110(,)xdx f x y dy -=⎰⎰（ D ）A 、1100(,)x dy f x y dx -⎰⎰ B 、1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰C 、11(,)dy f x y dx ⎰⎰D 、110(,)ydy f x y dx -⎰⎰15、若1Ddxdy =⎰⎰，则积分域D 可以是（ C ） A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域 B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域C 、由11,22x y ==所围成的区域D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域二、填空题1、设)ln(22y x z +=，则xz∂∂＝．222y x x +2、交换二次积分的次序⎰⎰101),(xdy y x f dx ＝．⎰⎰12),(y dx y x f dy3、若⎰⎰=--Ddxdy y x a π222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区域．3234、⎰⎰Dd y x f σ),(在极坐标系下的二次积分为，其中Ｄ是由422=+y x 围成的区域．⎰⎰πθθθ202)sin ,cos (rdr r r f d四、计算题1、.求由方程xyz e z=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yx z∂∂∂2解:设xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xy e F z z -=xye yzF F x z z z x -=-=∂∂ 22)()())(()(xy e x yze yz xy e y z yz xye yzy x z z z z y z --∂∂--∂∂+='-=∂∂∂322322)(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z zz z z ---+-= 2、设vuz arctan =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz解: xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 22223v u u v u v +-+⋅+=2222)()23(23)()23()(3y x y x yx y x y x y x -+++--++-=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(22222-⋅+-+⋅+=v u uv u v2222)()23(23)()23()(2y x y x yx y x y x y x -++++-++-=dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x y x y x y x ])()23(23)()23()(3[2222-+++--++-= dy y x y x yx y x y x y x ])()23(23)()23()(2[2222-++++-++-+3、设2z u v =，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解:xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 232u uv +⋅=2)23())(23(6y x y x y x ++-+=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(222-⋅+⋅=u uv 2)23())(23(4y x y x y x +--+=dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=dx y x y x y x ])23())(23(6[2++-+= dy y x y x y x ])23())(23(4[2+--++ 4、求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值解：x f x 24-=，y f y 24--= 令0,0==y x f f 得2,2-==y x由2,0,2-====-==yy xy xx f C f B f A 知0>-B AC 且0<A 故),(y x f 在点（2，-2）处有极大值，极大值为8)2,2(=-f5、、计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )23(，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2=+y x 所围成的区域解：⎰⎰+Ddxdy y x )23( ⎰⎰-+=x dy y x dx 202)23(⎰++-=22)422(dx x x＝320解法二：原式⎰⎰-+=y dx y x dy 202)23(⎰+--=202)6221(dy y y 320=6、、计算二重积分⎰⎰Ddxdy xxsin ，其中Ｄ是由直线x y =和曲线2x y =所围成的闭区域．解：⎰⎰Ddxdy x xsin ⎰⎰=x x dy xx dx 2sin 10dx x x xx)(sin 210-=⎰dx x x x )sin (sin 10-=⎰1sin 1-=7、计算二重积分2Dx ydxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由X 轴、Y 轴及直线2x y +=所围成的区域解：⎰⎰Dydxdy x 2 ⎰⎰-=x ydy x dx 2022⎰+-=20234)44(21dx x x x ＝158解法二：原式⎰⎰-=y ydx x dy 2022⎰-+-=2432)6128(31dy y y y y 158=8、计算二重积分2y De dxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由直线,1,0y x y x ===所围成的闭区域解：本题只能先对x 积分再对y 积分⎰⎰Dy dxdy e 2⎰⎰=yydx e dy 0102dy ye y 210⎰=)(212102y d e y ⎰=)1(21-=e 五、应用题１．求由曲线3x y =及直线0,2==y x 所围成的图形的面积以及由该图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）. 阴影部分面积⎰=203dx x S2414x == 4旋转体的体积⎰-=802312])(2[dy y V y π08)534(35y y -=ππ564=2、求由曲线2y x =和2x y =所围成的图形的面积以及由该图形绕Ｙ轴旋转一周所产生的旋转体的体积（要求作出草图）.解：阴影部分面积⎰-=102)(dx x x S01)3132(323x x -== 31旋转体的体积⎰-=1222])()[(dy y y V y π01)5121(52y y -=ππ103=。