1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案1. (2011 •宁夏银川一中月考)求曲线y = x2与y= x所围成图形的面积，其中正确的是( )A. s= 1 (x2 —x)dxB. S= 1(x —x2)dx0 0C. S= 1 (y2 —y)dy D -S= 1(y —,y)dy0 0［答案］B［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.［解读］两函数图象的交点坐标是(0,0) , (1,1)，故积分上限是1，下限是0,由于在［0,1］上，x>x2,故函数y = x2与y = x所围成图形的面积S= 1(x —x2)dx.2. (2010 •山东日照模考)a = 2xdx, b= 2exdx, c= 2sinxdx，贝U a、b、c 的大小0 0 0关系是()A. a<c<bB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b［答案］D1［解读］a = 2xdx = zx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 —1>2, c= 2sinxdx =—0 1 2 0 0 cosx|02 = 1 —cos2 € (1,2),c<a<b.3. (2010 •山东理，7)由曲线y= x2, y= x3围成的封闭图形面积为()［答案］Ay= x2［解读］由得交点为(0,0)y= x31 1.S= 1 (x2 —x3)dx = x3 —7x4,(1,1).其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线3A. 4 D . 6 ［答案］A［答案］2.6.曲线y = cosx(0 w x w 2n )与直线y = 1所围成的图形面积是()A. 2 n B . 3 n D.n ［答案］A ［解读］如右图， S =/ 02 n (1 — cosx)dx=(x — sinx)|02 n= 2 n.［点评］此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为n 6，n ，则对称性就无能为力了.7 .函数 F(x) = xt(t — 4)dt 在［—1,5］上()0 A. 有最大值0,无最小值32B. 有最大值 0和最小值---标是( )［答案］ ［解读］设 P(t ,⑵(0 < t < 2)，则直线 OP y = tx ,••• S1= t(tx — x2)dx =" 0S2 =t32(x2 — tx)dx = 3— 2t +§，若 S1= S2,则 t =-4 4 16 3，…P 3， 9 .4 .由三条直线 x = 0、x = 2、 y = 0和曲线y = x3所围成的图形的面积为( ［解读］S =x42x3dx = ~ 0402= 4. 5. (2010 •湖南省考试院调研 )1 — 1(sinx + 1)dx 的值为( )A.C. 2 + 2cos1 D . 2- 2cos1［解读］1 — 1(si nx + 1)dx = ( — cosx + x)| — 11 = ( — cosl + 1) — ( — cos( — 1) 1)=c.有最小值- 3，无最大值 D.既无最大值也无最小值 ［答案］B［解读］F ' (x) = x(x — 4)，令 F ' (x) = 0，得 x1 = 0, x2 = 4, •- F( — 1) =— £ F(0) = 0, F(4)=—罟，F(5) =— 25.x 0 (t)dt 的导数 F ' (x) (x).&已知等差数列｛an ｝的前n 项和Sn = 2n2 + n ,函数f(x) 的取值范围是()B. (0, e21)C. (e — 11, e) D . (0 , e11) ［答案］D1［解读］f(x) = x-dt = Int|1x = Inx , a3 = S3— S2= 21 — 10= 11,由 Inx<11 得, 1t 0<x<e11.9. (2010 •福建厦门一中)如图所示，在一个长为 n,宽为2的矩形OABC 内，曲线y=sinx(0 w x <n )与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()［答案］A［解读］由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积.由题意得S = nsinxdx = — cosx|0 n=— (cos n — cos0) = 2，再根据几何概型的算法易知所求概率P =S2 1 9 10S 矩形 OAB = 2 n = n .x + 2— 2<x <010 (2010 •吉林质检)函数f(x) =n的图象与x 轴所围成的图2cosx 0w xw ©形面积S 为()•••最大值为0,最小值为— 323. ［点评］一般地，F(x)x^dt ，若 f(x)<a3 ，贝U x［答案］Cnn[解读] 面积 S=f — — 2f(x)dx =0 — 2(x + 2)dx + /y02cosxdx = 2 + 2= 4.11. (2010 •沈阳二十中)设函数f(x) = x — [x]，其中凶表示不超过x 的最大整数，如 x[—]=—2, [] = 1,[1] = 1.又函数g(x) =— 3, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ,贝y ng(x)dx 的值是(m4 3 7 6［答案］A［解读］ 由题意可得，当 0<x<1 时，［x ］ = 0, f(x) = x ，当 K x<2 时，［x ］ = 1, f(x) =x — 1,所以当x € (0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函 x数有 4 个交点，所以 m = 1, n = 4，贝U ng(x)dx = 4 — 3 dx =11.(2010 •江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下：甲从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2 + 2bx + c = 0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在 一场比赛中甲获胜的概率为()［答案］A［解读］ 方程x2+ 2bx + c = 0有实根的充要条件为 △ = 4b2 — 400,即卩b2>c ,1b2db由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p =呻=［ 1X1 312. (2010 •吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为0(0,0) ,A(1,0) ,B(1,1) , C(0,1),曲线y = x2(x > 0)与x 轴，直线x = 1构成区域M 现将一个质点随机地投入正方形中， 则质点落在区域M 内的概率是()［答案］CB. 1 C . 4A — jB . 5 C. — _D.4 x2 5—石 14= —2.［解读］1 1如图，正方形面积1,区域M的面积为S= 1x2dx = zx3|01 = 3,故所求概率p0 3 32•如图，阴影部分面积等于（）A. 2 3B. 2 —3［答案］C［解读］图中阴影部分面积为S= 1-3 1 32(3 —x2 —2x)dx = (3x —-x3 —x2)|1 —3=石.3 34 —x2dx =( )A. 4 n B . 2 nC.n［答案］C［解读］令y = '*4 —x2,则x2 + y2 = 4（y >O）,由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1S= ：XnX 22=n.44.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的tO和t1，下列判断中一定正确的是（）A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. 在t1时刻，甲车在乙车后面C. 在tO时刻，两车的位置相同D. tO时刻后，乙车在甲车前面［答案］A［解读］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在tO , t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题. 根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v（t）的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在tO时刻，v甲的图象与t轴和t = 0, t = tO围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t = O, t = tO 围成区域的面积，因此，在tO时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t = t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t = t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面•所以选 A.n n5. （2012 •山东日照模拟）向平面区域Q= ｛（x , y）| --4 < x W牙，存1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y = cos2x下方的概率是（）-1［答案］D［解读］n平面区域Q是矩形区域，其面积是-，在这个区6. (sinx —cosx)dx 的值是()A. 0 C. 2 D.—2［答案］D［解读］(si nx —cosx)dx = ( —cosx —sinx) =—2.7. (2010 •惠州模拟)2(2 —11 —x|)dx = 0［答案］31 + x 0W x Wl［解读］y = ,3 —x 1<x W2•••2(2 —|1 —x|)dx = 1(1 + x)dx + 2(3 —x)dx0 0 11 13 3=(x + 十2)|10 + (3x —2x2)|21 = + 2= 3.& (2010 •芜湖十二中)已知函数f(x) = 3x2 + 2x+ 1,若1—1f(x)dx = 2f(a)成立，则a= .1 ［答案］—1或3［解读］T 1—1f(x)dx = 1—1(3x2 + 2x + 1)dx = (x3 + x2 + x)|1 —1 = 4 , 1—1f(x)dx = 2f(a) , • 6a2+ 4a+ 2= 4,1•- a=—1 或~.39. 已知a =/ -20(sinx + cosx)dx，则二项式(a g —扌)6的展开式中含x2项的系数是_________ .［答案］—192n n n n ［解读］由已知得 a =/ —0(sinx + cosx)dx = ( —cosx + sinx)| ~0= (sin ——cos-^)b2 — a2则直线AB 的方程为y -a2= =(x- a)，即 y = (a + b)x — ab.x|)|ba = Rb — a)3，1 4 ••• 6(b - a)3 = 3,解得b — a = 2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，a + b消去a 得y = x2 + 1.•••线段AB 的中点P 的轨迹方程为y = x2 + 1. 能力拓展提升 11.（2012 •郑州二测）等比数列｛an ｝中，a3= 6，前三项和S3=34xdx ，则公比q 的值 0A. 1 B .c. 1 或—2D . — 1 或—1 ［答案］ C［解读］6 6 因为 S3= 34xdx = 2x2|30= 18,所以-+ -r + 6= 18,化简得 2q2 — q — 1 = 0, 0 q q2 1解得q = 1或q =— 2,故选C.—(si nO — cosO) = 2,（2・,x — -）6的展开式中第 r + 1 项是 Tr + 1= ( — 1)r XC 6X 26— r x x3 — r ，令 3— r = 2 得，r = 1,故其系数为(—1)1 XC 6X 25=— 192.10. 有一条直线与抛物线 y = x2相交于A B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积 4恒等于3，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.3［解读］设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a ， a2)， B(b ， b2)，不妨设 a<b ,则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S =a + bb[(a + b)x — ab — x2]dx = (—^ x2 — abx — a其中x =a2 + b2 2将b — a = 2代入得x = a + 1， y =a2+ 2a + 2.12. (2012 •太原模拟)已知(xlnx) '= lnx + 1,贝U elnxdx =()1 A ・ 1 B . e C . e — 1 D . e + 1 ［答案］A［解读］ 由(xlnx) ' = lnx + 1,联想到(xlnx — x) '= (lnx + 1) — 1 = lnx ，于是 elnxdx1=(xlnx — x)|e1 = (elne — e) — (1 x ln1 — 1) = 1.13. _________________________________________________________ 抛物线y2= 2x 与直线y = 4— x 围成的平面图形的面积为 ___________________________________［答案］18y2 = 2x ,［解读］由方程组解得两交点A(2,2)、B(8, — 4),选y 作为积分变量xy = 4 — x ,=肖、x =4 — y ,14.已知函数f(x) = ex — 1，直线l1 : x = 1, l2 : y = et — 1(t 为常数，且 0w t < 1).直线 l1 , l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域n 所示，其面积用S2表示•直线l2 ,y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域I 所示， 其面积用S1表示.当t 变化时， 阴影部分的面积的最小值为 __________________ .［答案］(,e — 1)2［解读］ 由题意得 S1 + S2= t (et — 1 — ex + 1)dx +1 (ex — 1 — et + 1)dx = t (et — 0 t 0ex)dx +1 (ex — et)dx = (xet — ex)|t 0 + (ex — xet)|1 t = (2t — 3)et + e + 1,令 g(t) = (2t —t13)et + e +1(0 w t < 1)，贝U g ' (t) = 2et + (2t — 3)et = (2t — 1)et ，令 g ' (t) = 0,得 t = ?, 1 1 •••当 t € ［0 , 2)时，g ' (t)<0 , g(t)是减函数，当 t € (-, 1］时，g ' (t)>0 , g(t)是增函数， 因此g(t)的最小值为 g(2) = e + 1 — 2ef =「e — 1)2.故阴影部分的面积的最小值为 (，e — 1)2.15.求下列定积分.x(1) 1 — 1|x|dx 。
高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
专题06 定积分与微积分基本定理1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【答案】A【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选:A．2．设f（x）=|x﹣1|，则=（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为，故选D4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为A．B．C．1D．【答案】C【解析】直线与函数的图象围成区域的面积S dx＝∴故选：C5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1C．D．【答案】B【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7．（）A．B．-1C．D．【答案】C【解析】解：．故选：C．8．，则T的值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴，∴．故选A．9．下列计算错误．．的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在A中，，在B中，根据定积分的几何意义，，在C中，，根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.10．定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示以为圆心，以为半径的圆，定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，故选A.11．如果曲线与直线所围成的封闭图形的面积为,则以下正确的一个值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，如果，则所围面积为，故，代入，则，矛盾，故A错.如果，则，代入，则，矛盾，故B错.代入，则，矛盾，故C错.代入，则，符合，故D正确.综上，选D.12．一物体以速度v=3t2+2t(v的单位:m/s)做直线运动,则它在t=0 s到t=3 s时间段内的位移是() A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【答案】B【解析】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：．故选：B．13．由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：14．___________【答案】【解析】表示半圆夹在直线部分的面积S。
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<c)C ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：—(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪x4402＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )`A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.&∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x 的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ))[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )B ．1C ．4[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76 [答案] A~[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3dx ＝⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C（[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323. 4－x2dx ＝( )《A ．4πB ．2πC ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面|B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区】6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________. —[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， -即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12—C ．1或－12D ．－1或－12 [答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，,∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
定积分与微积分基本定理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理基础热身1．已知f (x )为偶函数，且⎠⎜⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．162． 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎜⎛ef(x)d x 的值为( )B ．2C ．13．若a ＝⎠⎜⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎜⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b4．如图K 15－1，阴影部分的面积是( )图15－1A ．2 3B ．2－ 3能力提升5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎜⎛1f(x)d x ＝2，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )B ．17．一物体以v ＝＋(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ． m8．若⎠⎜⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．以上均不对9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( )A ． JB ． JC ． JD ． J10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧K ，f x ≤K ，f x ，f x >K ，则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分⎠⎛214f K (x)d x 的值为________．(x －x 2)d x ＝________.12． ∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________.13．由抛物线y 2＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)的解析式．图K 15－215．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0<t≤1)与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连接OD 、DA 、AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)；(2)求函数S ＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．图K 15－3难点突破16．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．参考答案：【基础热身】1．D [解析] ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎜⎛6f(x)d x ＝2×8＝16.2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e0f(x)d x 可以分为两段，即∫e 0f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A .3．D [解析] a ＝⎠⎜⎛2x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪ 20＝4，c ＝⎠⎜⎛2sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ 20＝1－cos 2<2，∴c<a<b.4．C [解析] ⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－3＝323. 【能力提升】5．C [解析] ⎠⎜⎛1f(x)d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋1)d x ＝ax 33＋x ⎪⎪⎪10＝a3＋1＝2，解得a ＝3.6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：⎪⎪⎪S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3，故选D .7．D [解析] ⎠⎜⎛48＋d t ＝＋⎪⎪⎪ 84＝×64＋×8－×16－×4＝＋52－－26＝.8．C [解析] ⎠⎜⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎜⎛0k2x d x －⎠⎜⎛0k3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 0－x 3k＝k 2－k 3＝0，∴k＝0或k ＝1.9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，错误!100x d x ＝(J )．10．2ln 2＋1 [解析] 由题设f 1(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1x≤1，1x ，1x >1，于是定积分⎠⎛214f 1(x )d x ＝⎠⎛1141x d x ＋⎠⎜⎛121d x ＝ln x⎪⎪⎪114＋x⎪⎪⎪ 21＝2ln 2＋1.[解析] ⎠⎜⎛1(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13. 12．1 [解析] ∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)错误!＝⎝⎛⎭⎪⎫a sin π2－cos π2－a sin 0＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a＝1.[解析] 如图所示，因为y 2＝2x ，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，⎪⎪⎪所以V ＝π∫1202x d x ＝πx 2120＝π4.14．[解答] y ＝0在原点处相切知b ＝0，则有f (x )＝x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x 3＋ax 2＝0，可得x ＝0或x ＝－a (－a >0，即a <0)．可以得到图象与x 轴交点为(0,0)，(－a,0)，故∫－a 0－f (x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 44－ax 33－a 0＝－a 44＋a 43＝a 412＝274，a＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2.15．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a 2.∴O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2)，∴S ＝⎠⎜⎛0t(－x 2＋2ax )d x －12t ×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋ax 2⎪⎪⎪t－12t 3＋(－t 2＋at )×(a －t ) ＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t .故S ＝f (t )＝16t 3－at 2＋a 2t (0<t ≤1)．(2)f ′(t )＝12t 2－2at ＋a 2，令f ′(t )＝0，即12t 2－2at ＋a 2＝0，解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a .∵0<t ≤1，a >1，∴t ＝(2＋2)a 应舍去．①若(2－2)a ≥1，即a ≥12－2＝2＋22，∵0<t ≤1，∴f ′(t )≥0.∴f (t )在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是f (1)＝a 2－a ＋16.②若(2－2)a <1，即1<a <2＋22，(i)当0<t <(2－2)a 时，f ′(t )>0， (ii)当(2－2)a <t ≤1时，f ′(t )<0.∴f (t )在区间(0，(2－2)a )上单调递增，在区间[(2－2)a ，1]上单调递减．∴f (t )的最大值是f ((2－2)a )＝16[(2－2)a ]3－a [(2－2)a ]2＋a 2(2－2)a ＝22－23a 3.综上所述f (t )max＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ≥2＋22，22－23a 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1<a <2＋22.【难点突破】16．[解答] (1)设点P 的坐标为(a ，a 2－1)，又设切点Q 的坐标为(x ，x 2)．则k PQ ＝a 2－1－x 2a －x ，由y ′＝2x 知a 2－1－x 2a －x＝2x ，解得：x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)证明：S ＝⎠⎛a a －1[x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋∫a ＋1a[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。
定积分的概念与微积分基本定理的练习题及答案
：初等函数在定义区间内必连续，\连续必可积。
续必可积。
2．若f 连续，下列各式正确的是连续，下列各式正确的是 （D ）A ．()()ba d f x dx f x dx =ò B ．()()df x dx f x dx dx =ò C ．()()bx d f t dt f x dx=ò D ．()()xa d f t dt f x dx =ò 解：()()()x a d df t dt F x f x dx dx==ò 选D 3．下列关系式中正确的是．下列关系式中正确的是 （B ） A ．21100xx e dx e dx =òòB ．2110x x e dx e dx ³òòC ．2110x x e dx e dx £òòD ．以上都不对．以上都不对解：（1）在[]0,1区间内：22xx x x e e ³®³ （2）由比较定理：211xx e dx e dx ³òò选B 4．下列各式中，正确的是．下列各式中，正确的是 （B ） A ．21001x edx ££ò B ．2101x edx e ££òC ．2120x e e dx e ££ò D ．以上都不对．以上都不对 解：（1）令()2x f x e =，()2'20xf x e x =׳， ()()0,1x f x ή（2）()()01,01M f e m f e =====由估值定理：2101x edx e ££ò5．下列函数在区间[]1,1-上可用牛顿——莱布尼兹公式的是布尼兹公式的是 （A ）A ．21xx + B ．1x C ．31x D ．21x x-解：()2112112211111220211d x xdx x x x ---+==+=-=++òò，\选A 6．设在[],a b 上，()()()0,'0,''0f x f x f x ><> 记()110S f x dx =ò，()()2Sf b b a =×-，()()32b a S f b f a -=+éùëû，则有，则有 （B ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．312S S S << D ．231S S S << 解：选B 二、填空题（每小题4分，共24分）7．()()2sin ln 14limtan121xx t t dtx x ®×-=--ò第八讲：定积分的概念与定积分的概念与微积分微积分基本定理的练习题答案一、 单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设初等函数()f x 在区间[],a b 有定义，则()f x 在[],a b 上一定上一定 （C ）A ．可导．可导B ．可微．可微C ．可积．可积D ．不连续．不连续解解：原式=()()02sin ln 14lim122xx t t dt x x ®×-éù-êúëûò()()3044lim 3'x x x x ®-==- 8．设()f x 连续，且()()xe xF x f t dt -=ò，则()'F x =解：()()()()''xxF x f ee f x --=×-()()xxe f ef x --=--9．设()'f x 连续，则1'2xf dx æö=ç÷èøò解：11100''22222x x x x f dx f df æöæöæö==ç÷ç÷ç÷èøèøèøòò=()202x f f éùæö-ç÷êúèøëû10．设()()120121f x f x dx x=-+ò则 ()10f x dx =ò解：令()10f x dx A =ò，()1112000121f x dx dx Adx x =-+òòò 10arctan 2A x A =- ，12A p=11．设()f x 连续，且()21301,(1)x f t dt x x -=+>ò则()8f =解：()()2223123,12f x x x f x x -×=-=，令218,3x x -==，故()982f =12．设()01xyt dt =-ò，则y 的极小值为的极小值为解：（1）()'10y x =-=驻点1x =，（2）''10.1y x =>=为极小值点，为极小值点， （３）极小值()()11111122y x dx =-=-=-ò三、计算题（每小题8分，共64分）分） 13．方程cos 0yxte dt tdt +=òò，确定()y y x =，求x dydx=解：（1）'cos 0ye y x +=（2）当0x =时，00yte dt =ò，00t e y >®= （3）()()000'cos00,'10e y y +=+=，故有1x dydx==-14．设()f x 在[]0,1连续，且满足()()13243f x x x f x dx =-ò，求，求()f x解：（1）()f x 在[]0,1连续，\令()1f x dx A =ò（2）()11132043f x dx x dx A x dx =-òòò413100,1A x Ax A A =-=- 故有故有 121,2A A ==（3）()32342f x x x =-15．讨论方程4013101xxdt t --=+ò在区间()0,1内实根的个数内实根的个数解：（1）令()401311xf x x dt t =--+ò ()()41'301f x f xx=->®+故()0f x =至多有一实根至多有一实根（2）()f x 在[]0,1连续，且()010f =-<()140113121101f dt t =-->-=>+ò由零点定理，至少有一实根由零点定理，至少有一实根（3）综上所述：()0f x =在()0,1有且仅有一个实根一个实根16．设()f x 在[],a b 连续，且在(),a b 单调减少，讨论()()1x a F x f t dt x a=-ò在区间(),a b 的单调性的单调性解：()()()()()2'x af x x a f t dtF x x a --=-ò，由积分中值定理()()()x af t dt f x a x =-ò()a x x ££()()()()()2'f x f x a F x x a x --éùëû=-()f x 在[],a b ，()()f f x x \³，故()'0F x <在(),a b 单调减少单调减少17．求()22220limx t xx t e dtte dt®òò解：原式=22222limxt xx x x e dt e xee®××ò=22202lim 2xx x x ee xe x ®+×202lim212x x ®==+ 18．设()()2xax F x f t dt x a=-ò其中f 为连续函数，求()lim x a F x ®解：()()22limlimx xaax ax af t dtxf t dt a x a x a®®=--òò()()22lim x af a f x a f a ®=连续19．设()()01122xf t dt f x =-ò，且()f x 可导，()0f x ¹，求()f x解：（1）()()1'2f x f x =且()01f = （2）()()'2f x f x =，()1ln 2f x x c =+，()2xf x ce =由()01f =得1c =，故有()2xf x e = 20．若()f x 为连续的奇函数，判别()0xf t dtò的奇偶性的奇偶性 解：令()()()0,,xF x f t dt x =Î-¥+¥ò()()()()00x xt u F x f t dt f u du -=--=--òò()()()0xxf f u du f t dt F x ==òò为奇函数故()0xf t dt ò为偶函数为偶函数同理：若()f x 为连续偶函数，则()0xf t dt ò为奇函数奇函数四、综合题（每小题10分，共20分）分） 21．设()()221cos 010121cos 0x t dt x x F x x x x x ì>ïï==íïï-×<ïîò讨论()F x 在0x =处的连续性和可导性处的连续性和可导性解：（1）()22200221cos 2lim lim 1x x x x x x--®®×-== 22000cos lim lim cos 1xx x t dt x x++®®==ò且()01F = 故()F x 在0x =处连续处连续（2）()()22'30021cos 122cos 0lim lim x x x x x x F x x---®®----== ()2002sin 2cos 1lim lim 332x x x x x x x --®®--== 222lim 03x xx-®-==()22'02cos cos 10lim lim02xx x xt dt x x F xx+++®®--===ò()()''F F -+\==，故()F x 在0x =处可导处可导 22．利用拉格郎日中值定理的推论，计算．利用拉格郎日中值定理的推论，计算22sin cos 0arcsin arccos xxtdt tdt +òò之值，其中02xp æö<<ç÷èø 解：（1）令）令()22sin cos 0arcsin arccos xxF x tdt tdt =+òò()()()()()22'arcsin sin sin 'arccos cos cos 'F x x x x x =+sin 2sin 20x x x x =-=由拉格郎日中值定理的推论知：()F x C º0,2x p æöÎç÷èø（2）确定常数）确定常数 C ，0,42x pp æö=Îç÷èø11220arcsin arccos tdt tdt C \+=òò ()120arcsinarccos C t t dt =+ò120arcsin arccos 22x x dtpp +=ò12024tpp=×=故有22sin cos 0arcsin arccos 4xxtdt tdt p+=òò五、证明题（每小题9分，共18分）分） 23．证明21224022x x eedx e --££ò 证：（1）令()[]2,0,2x xf x e x -=Î（2）()()2'21x xf x ex -=-。
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
第4讲定积分的概念与微积分基本定理
第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为()．A.1603m B.803 m C.403m D.203 m 解析v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，02(40－10t 2)d t ＝40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)．答案 A2．已知f(x)＝2－|x|，则2－1f(x)dx 等于()．A ．3 B ．4 C.72D.92解析f(x)＝2－|x|＝2－x x ≥0，2＋x x<0，∴2－1f(x)dx ＝0－1(2＋x)dx ＋02(2－x)dx ＝2x ＋x 220－1＋2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为()．A.13B.43C ．2D.83解析由导函数f ′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c ＝0.f ′(x)＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有2a ×－1＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴a ＝1，b ＝2.∴f(x)＝x 2＋2x ，则f(x)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝0－2(－x 2－2x)dx ＝－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案 B4．已知a ＝i ＝1n 1n i n 2，n ∈N *，b ＝01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是()．A ．a >b B ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A5．下列积分中①1e1x d x ；②2－2x d x ；③024－x 2πd x ；④∫π20cos 2x x －sin x d x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1 B．2 C ．3 D ．4 解析①1e1xd x ＝ln xe 1＝1，②2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x ＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()．A.12B.16C.14D.13解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于01(x －x 2)dx ＝23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D 二、填空题7．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )．答案 0.18 J8．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln 2 9．已知f(x)＝2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若k 3f(x)dx ＝403(k<2)．则k ＝________. 解析k 3f(x)dx ＝k 2(2x ＋1)dx ＋23(1＋x 2)dx ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1.答案0或－110．设f(x)＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x)＝2x ＋1且12f(－x)dx ＝m ，则mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析因为f(x)＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x)＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以12f(－x)dx ＝12(x 2－x)dx ＝13x 3－12x221＝56＝m 所以mx ＋1612展开式中各项的系数和为56＋1612＝1.答案 1 三、解答题11．已知f(x)是一次函数，且01f(x)dx ＝5，01xf(x)dx ＝176，求12f x x dx 的值．解∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)．∴01f(x)dx ＝01(ax ＋b)dx ＝12ax 2＋bx 10＝12a ＋b. ∴12a ＋b ＝5.①又01xf(x)dx ＝01x(ax ＋b)dx＝13ax 3＋12bx 210＝13a ＋12b. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f(x)＝4x ＋3，∴12fx x dx ＝124x ＋3x dx ＝124＋3xdx ＝(4x ＋3ln x)21＝4＋3ln 2.12．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝01(x －x 2)dx ＝x 22－13x 310＝16. 又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.13．在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－0t x 2dx ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t)＝4t 2－2t ＝4t t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.14. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．解析 (1)由y＝3x2－3x，y＝3tx得x2－(t＋1)x＝0，所以x1＝0，x2＝t＋1.所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.因为0<t<1，所以1<t＋1<2.所以S(t)＝∫t＋10[3tx－(3x2－3x)]d x＋2t＋1[(3x2－3x)－3tx]d x＝＋2x2－x3t＋10＋x3－＋2x22t＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则h′（x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，则3(x0＋1)2－6＝x0＋3－6x0＋2－mx0－1，化简整理得2x30－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．设g(x0)＝2x30－6x0＋m，则g′（x0)＝6x20－6.由g′（x0)>0，得x0>1或x0<－1；由g′（x0)<0，得－1<x0<1，所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．因此，关于x0的方程2x30－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是g－，g，即m＋4>0，m－4<0，即－4<m<4.故实数m的取值范围是(－4,4)．。
定积分微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一、选择题1、已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（） A． B． C． D．2、下列定积分为1是（）A．B．C．D．3、求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］4、下列定积分值为1的是（）A．B。
C。
D。
5、= （）A．0 B。
C．D。
6、设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分的符号（）A．一定是正的 B．当0<a<b时为正，当a<b<0时为负C．一定是负的 D．当0<a<b时为负，当a<b<0时为正提示：被积函数为奇函数,且积分区间又关于原点对称,利用定积分的几何意义知,面积的代数和为0。
7、由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A．B。
C．D。
8、若是上的连续偶函数，则（）A． B．0 C． D．9、变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）A．B．C．D．10、由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A． B． C．D．11、如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为（）A．0.18kg·m B．0.26kg·m C．0.12kg·m D．0.28kg·m12、已知b＞a，下列值：，，||的大小关系为（）A．||≥≥B．≥||≥C．= ||=D．=||≥13、若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积（）A．B．C．D．14、由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A．1 B． C． D．15、如图，阴影部分的面积是（）A． B． C．D．16、=（） A．5B。
4 C。
3 D。
217、= （）A． B． C．D．18、=（）A．B。
C。
D。
19、若，且a＞1，则a的值为（） A．6 B。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
定积分及微积分基本定理练习试题包括答案.docx
1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2与y＝ x所围成图形的面积，其中正确的是()A． S＝1(x2 － x)dx0B． S＝1(x －x2)dxC． S＝1(y2 － y)dy D0． S＝1(y －y)dy[0,1][ 答案 ]B[ 分析 ]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x1，下限是－x2)dx.0，由于在2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝2exdx ，c＝2sinxdx，则a、 b、c的大小关系是 ()A． a<c<bB． a<b<cC． c<b<aD． c<a<b[ 答案 ]D1[ 解读] a ＝2xdx ＝2x2|02 0＝ 2 ， b ＝2exdx ＝ex|02 0＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx＝－cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的封闭图形面积为() 1117A. 12B. 4C. 3D. 12[ 答案 ]Ay＝ x2[ 解读 ]由得交点为 (0,0)， (1,1) ．y＝ x3111∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x401＝12.[ 点评 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 移动，如果把由直线OP，直线 y＝ x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 如图所示，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ()A.416B.416 3，95，9C.415D.413 3，75，7[ 答案 ]At3 [ 解读 ]设 P(t ， t2)(0≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx－ x2)dx ＝6；S2＝8t344162(x2 － tx)dx＝3－ 2t ＋6，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .t4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为 () 418A． 4 B.3C. 5 D．6[ 答案 ]Ax4[ 解读 ]S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.5．(2010 ·湖南省考试院调研)1－1(sinx＋1)dx的值为()A． 0 B ． 2C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1[ 答案 ]B[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()A．2π B ．3π3πC. 2 D．π[ 答案 ]A[ 解读 ]如右图，S＝∫ 02π(1 － cosx)dx＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.[ 点评 ]此题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为π6 ，π ，则对称性就无能为力了．7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0 和最小值－332C．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值[ 答案 ]B[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，73225∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .32∴最大值为 0，最小值为－3 .[ 点评 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt的导数 F′(x) ＝φ (x) ．18．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)<a3，则 x1的取值范围是 ()3A.6，＋∞ B． (0 ， e21)C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)[ 答案 ] D1[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，t10<x<e11.9．(2010 ·福建厦门一中 ) 如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是()123πA. πB. πC. πD. 4[ 答案 ]A—[ 解读 ]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝ πsinxdx ＝－ cosx|0 π＝－ (cos π－ cos0) ＝ 2 ，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S 2＝1 .＝πS 矩形 OABC 2πx ＋ 2 －2≤ x<010．(2010 ·吉林质检 ) 函数 f(x) ＝ π的图象与 x 轴所围成的图形2cosx 0≤ x ≤ 2面积 S 为 ()31A. 2B ． 1 C ． 4 D. 2 [ 答案 ] C[ 解读 ]面积 S ＝∫ π－ 2f(x)dx ＝－2(x ＋ 2)dx ＋∫π02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2 211．(2010 ·沈阳二十中 ) 设函数 f(x) ＝ x －[x] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数， 如 [ －x1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1， [1]＝1. 又函数 g(x) ＝－ 3， f(x) 在区间 (0,2) 上零点的个数记为 m ，f(x) 与 g(x) 的图象交点的个数记为n ，则 ng(x)dx 的值是 ()m54A ．－ 2B ．－ 357C ．－ 4D ．－ 6[ 答案 ]A[ 解读 ]由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0， f(x) ＝ x ，当 1≤ x<2 时， [x] ＝ 1，f(x)＝x － 1，所以当 x ∈ (0,2) 时，函数 f(x) 有一个零点， 由函数 f(x)与 g(x) 的图象可知两个函xx25数有 4 个交点，所以 m ＝ 1， n ＝ 4，则 ng(x)dx ＝4 － 3 dx ＝ － 614＝－ 2.m111．(2010 ·江苏盐城调研 ) 甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下： 甲从区间 [0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等 ) ，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )1 2 13A. 3B. 3C. 2D. 4[ 答案 ]A[ 解读 ] 方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根的充要条件为＝ 4b2－ 4c ≥ 0，即 b2≥ c ，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12．(2010 ·吉林省调研 ) 已知正方形四个顶点分别为O(0,0) ，A(1,0) ，B(1,1) ，C(0,1) ，曲线 y＝ x2(x ≥ 0) 与 x 轴，直线 x＝1 构成区域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M内的概率是 ()11A. 2B. 412C. 3D.5[ 答案 ]C[ 解读 ]如图，正方形面积1，区域 M的面积为 S＝ 1x2dx111＝3x3|01 ＝3，故所求概率 p＝3.2．如图，阴影部分面积等于()A． 2 3B． 2－33235C. 3D. 3[ 答案 ]C[ 解读 ]图中阴影部分面积为132.S＝ 1(3 － x2－ 2x)dx ＝ (3x －3x3－ x2)|1－ 3＝ 3-33. 24－ x2dx ＝ ()A．4π B ．2ππC．π D.2[ 答案 ]C[ 解读 ]令 y＝4－ x2，则 x2＋y2＝ 4(y ≥0) ，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1∴ S＝4×π× 22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线( 假定为直线 ) 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙 ( 如图所示 ) ．那么对于图中给定的t0 和 t1 ，下列判断中一定正确的是 ()A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面B．在 t1 时刻，甲车在乙车后面C．在 t0 时刻，两车的位置相同D． t0 时刻后，乙车在甲车前面[ 答案 ]A[ 解读 ]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0 ， t1 时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数 v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在 t0时刻， v 甲的图象与 t轴和 t ＝ 0，t ＝ t0围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t ＝ 0， t ＝ t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D 错误；同样，在t1 时刻， v 甲的图象与 t 轴和t ＝ t1 围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与 t 轴和 t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在 t1 时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选 A.ππ5．(2012 ·山东日照模拟 ) 向平面区域Ω＝ {(x ，y)| －4≤ x≤4，0≤ y≤1} 内随机投掷一点，该点落在曲线y＝ cos2x 下方的概率是 ()π 1A. 4B. 2π2C. 2－ 1D. π[ 答案 ]D[ 解读 ]π平面区域Ω 是矩形区域，其面积是2，在这个区6．(sinx－ cosx)dx的值是 ()πA． 0 B. 4C． 2D．－ 2[ 答案 ]D[ 解读 ](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010 ·惠州模拟 )2(2 － |1 － x|)dx ＝ ________.[ 答案 ]3[ 解读 ]1＋ x 0≤ x≤ 1∵ y＝，3－ x 1<x ≤ 2∴ 2(2 － |1 － x|)dx ＝1(1 ＋ x)dx ＋ 2(3 － x)dx0011133＝(x ＋2x2)|10＋ (3x －2x2)|21＝2＋2＝ 3.8．(2010·芜湖十二中 ) 已知函数 f(x) ＝3x2 ＋ 2x＋ 1，若1－1f(x)dx ＝2f(a) 成立，则a＝ ________.1[ 答案 ]－ 1 或3[ 解读 ]∵1－ 1f(x)dx ＝1－ 1(3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)|1 － 1 ＝ 4 ，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴ 6a2＋4a＋2＝4，1∴ a＝－ 1 或3.π19．已知a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－x)6 的展开式中含x2项的系数是________．[ 答案 ]－192ππππ[ 解读 ]由已知得a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 2 0＝(sin2－cos2)－(sin0 － cos0) ＝ 2，1(2 x－ )6 的展开式中第 r ＋ 1 项是 Tr ＋ 1＝ ( －1)r ×C6r×26－r ×x3－r，令 3－ r ＝ 2 得，xr ＝ 1，故其系数为( －1)1 ×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝ x2 相交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积4恒等于3，求线段AB的中点 P 的轨迹方程．[ 解读 ]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a， a2) ， B(b ， b2) ，不妨设a<b，b2－ a2则直线 AB 的方程为y－ a2＝b－a (x － a) ，即y＝(a ＋ b)x － ab.a＋ b 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S＝b[(a ＋b)x － ab－x2]dx ＝(2x2－abx －ax313 )|ba＝6(b －a)3 ，14∴6(b － a)3 ＝3，解得 b－ a＝ 2. 设线段 AB的中点坐标为 P(x ，y) ，a＋ b其中x＝2，将 b－a＝ 2 代入得x＝a＋ 1，y＝ a2＋ b2.y＝ a2＋ 2a＋ 2.2消去 a 得 y＝ x2＋ 1.∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y＝ x2＋ 1.能力拓展提升11.(2012 ·郑州二测 ) 等比数列 {an} 中，a3＝ 6，前三项和 S3＝34xdx ，则公比 q 的值为()1A． 1 B ．－211C． 1 或－2D．－ 1 或－2[ 答案 ]C66[ 解读 ]因为 S3＝34xdx ＝ 2x2|30＝ 18，所以q＋q2＋ 6＝ 18，化简得 2q2－ q－1＝ 0，1解得 q＝ 1 或 q＝－2，故选 C.12． (20 12·太原模拟 ) 已知 (xlnx) ′＝ lnx ＋1，则elnxdx＝ ()1A． 1 B ． e C ． e－ 1 D ． e＋ 1[ 答案 ]A[ 解读 ]由(xlnx)′＝ lnx ＋ 1，联想到 (xlnx－x) ′＝ (lnx＋ 1) －1＝ lnx ，于是 elnxdx1＝(xlnx － x)|e1＝ (elne－ e) －(1 ×ln1 －1) ＝ 1.13．抛物线 y2＝ 2x与直线 y＝ 4－ x 围成的平面图形的面积为 ________．[ 答案 ]18[ 解读 ]y2＝ 2x，A(2,2) 、B(8 ，－4) ，选 y 作为积分变量 x 由方程组解得两交点y＝ 4－ x，y2＝2、 x＝ 4－y，2 [(4 － y) －y2y2y3∴ S＝2 ]dy ＝ (4y －2－6 )|2－ 4＝ 18.-414.已知函数 f(x)＝ ex－ 1，直线 l1 ： x＝ 1， l2 ： y＝et － 1(t 为常数，且 0≤ t ≤ 1) ．直线l1 ， l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2 表示．直线 l2 ，y 轴与函数 f(x) 的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1 表示．当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[ 答案 ]( e－ 1)2[ 解读 ]由题意得S1＋ S2＝ t(et － 1－ ex ＋ 1)dx ＋1(ex － 1－ et ＋ 1)dx ＝ t(et－0t0ex)dx ＋ 1(ex － et)dx ＝ (xet － ex)|t 0 ＋ (ex － xet)|1 t ＝ (2t－ 3)et＋ e＋ 1，令 g(t) ＝ (2t－t3)et ＋ e＋ 1(0 ≤ t ≤ 1) ，则 g′(t) ＝ 2et ＋ (2t －3)et ＝ (2t－ 1)et，令 g′(t) ＝ 0，得 t ＝1 2，11∴当 t ∈ [0 ，2) 时， g ′(t)<0 ， g(t) 是减函数，当 t ∈ ( 2，1] 时， g ′(t)>0 ， g(t)是增函数，1 1因此 g(t) 的最小值为g( 2) ＝ e ＋ 1－ 2e 2＝ ( e － 1)2. 故阴影部分的面积的最小值为( e －1)2.15．求下列定积分．(1)－ 1|x|dx 。
高中高三数学 定积分与微积分基本定理练习题-人教版高三全册数学试题
4.若 x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵ ′＝x2，
∴ x2dx＝ x3 ＝ T3－0＝9，∴T＝3.
答案：3
5.如右图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．
解析：由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由 得C(1，－1)．
同理，得D(2，－1)．
故所求图形的面积S＝2 [－ －(－x2)]dx＋ [－ －(－1)]dx ＝2 dx－ ( －1)dx ＝2 －( －x) ＝ .
答案：
《定积分与微积分基本定理》
1.若S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A. S1<S2<S3B. S2<S1<S3
C. S2<S3<S1D. S3<S2<S1
解析：S1＝ x2dx＝ x3 ＝ ，
S2＝ dx＝lnx ＝ln2，
S3＝ exdx＝ex ＝e2－e＝e(e－1)>e> ，
所以S2<S1<S3，故选B.
答案：B
2.设f(x)＝ 则
f(x)dx等于( )
A. B.
C. D. 不存在
解析：本题画图求解，更为清晰，如图，
f(x)dx＝ x2dx＋ (2－x)dx
＝ x3＋ )＝ .
答案：C
3.计算定积分 dx＝________.
解析： dx表示圆x2＋y2＝22与x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积．根据定积分的几何意义，得 dx＝π.
定积分与微积分基本定理(基础+复习+习题+练习)
课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .② 了解微积分基本定理的含义.教材复习 1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义）问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 132.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D l n 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
定积分与微积分基本定理随堂练习(含答案).doc
定积分与微积分基本定理基础巩固强化1.(2011 •宁夏银川一中月考)求曲线与y=x所围成图形的面积，其中正确的是()［答案］B［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.［解析］两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1),故积分上限是1, 下限是0，由于在［0,1］上，,故函数y =疽与y = x所围成图形的面积S = C\x ~ x2)dx.［答案］C［解析］图中阴影部分面积为S =「(3 - x2 - 2x)dx = (3x %2)l-3 = ~3~- J-33.J2A/4—x2dx=( )A.4TT B. 2TIC.71 D.T［答案］c［解析］令y = .4 _ x2,则x2 + y2 = 4(y^0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，.*.S=^X K X22= 7t.Cz ，乙 Rt4.00"1已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙（如图所示）.那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是（）A.在h时刻，甲车在乙车前面B.在4 口寸刻，甲车在乙车后面C.在而时刻，两车的位置相同D.t.时刻后，乙车在甲车前面［答案］A［解析］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在如4时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数NO的图象与，轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在「0时刻，"甲的图象与♦轴和t = 0, t=t Q围成区域的面积大于华的图象与♦轴和f = 0, 围成区域的面积，因此，在£。
时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在》时刻，"甲的图象与£轴和t=t｛围成区域的面积，仍然大于"乙的图象与F轴和t=t x围成区域的面积，所以，可以断定：在4时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.__ _IT 7T5.（2012-山东日照模拟）向平面区域Q=｛（x, y）|—云, OW）W1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y = cos2x下方的概率是B.?A-A 714D.271［答案］D［解析］平面区域。
定积分与微积分基本定理答案与解析
定积分与微积分基本定理答案和解析第1题：【答案】B【解析】,二项式的通项公式为, 令可得,所以所求常数项为,故选B.第2题：【答案】C【解析】因为,而,令,故,故,常数项为．第3题：【答案】A【解析】表示半径为的圆面积的，所以面积为.第4题：【答案】A【解析】.第5题：【答案】A【解析】曲线,,交点为:,,围成图形的面积:.第6题：【答案】B【解析】阴影部分的面积:.第7题：【答案】A【解析】.第8题：【答案】D【解析】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积.第9题：【答案】B【解析】可表示为以原点为圆心,以为半径的半圆,则.第10题：【答案】C【解析】作出两个曲线的图象,由,解得或,则曲线与所围图形的面积为.第11题：【答案】C【解析】显然是以原点为圆心,以为半径的圆的四分之一,所以定积分为半径为的圆面积的四分之一,故选择C.第12题：【答案】A【解析】图中阴影部分的面积为,矩形面积为,∴豆子落在图中阴影部分的概率为.第13题：【答案】D【解析】定积分的几何意义是求函数与之间的阴影部分的面积,必须注意的图象要在的图象上方,对照各选项,知D中的图象不全在的图象上方.第14题：【答案】D【解析】由得,,∴,,因此曲线与直线所围成图形的面积为.第15题：【答案】见解析【解析】由曲线,,可得交点横坐标为,∴所求面积为.第16题：【答案】【解析】由，解得，，.交点为，，.所求面积为：.第17题：【答案】见解析【解析】由解得或,从而所求图形的面积.第18题：【答案】【解析】（1）分割：将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为，过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作（2）近似代替：对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即. （3）求和：（4）取极限：当时，趋近于，即。
定积分与微积分基本定理理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝⎠⎛a0[0－(－x3＋ax2)]d x＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a<0，∴a＝－1.1．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dxππ-⎰的值，结果是()＋π2B．πC．1 D．0[答案]B[解析]22()f x dxππ-⎰＝22ππ-⎰sin5x d x＋22ππ-⎰1d x，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin5x d x＝0，而22ππ-⎰1d x＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若ab 的运算原理如图所示，则2⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⎠⎛0πsin x d x ＝22＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
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1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x2－x)dxB ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎜⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎜⎛01(y －y)dy[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎜⎛02xdx ，b ＝⎠⎜⎛02exdx ，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b[答案] D[解析] a ＝⎠⎜⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎜⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎜⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解析] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎜⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎜⎛t2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解析] S ＝⎠⎜⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1[答案] B[解析] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎜⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎜⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎜⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e21) C ．(e －11，e)D ．(0，e11)[答案] D[解析] f(x)＝⎠⎜⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎜⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.12[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎜⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎜⎛m n g(x)dx ＝⎠⎜⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎜⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎜⎛01x2dx ＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3C.323D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎜⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t1时刻，甲车在乙车前面B ．在t1时刻，甲车在乙车后面C ．在t0时刻，两车的位置相同D ．t0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π [答案] D [解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎜⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎜⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎜⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(ax －1x)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×C r 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a (x －a)，即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛a b [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx－x33)|b a ＝16(b －a)3， ∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎜⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S3＝⎠⎜⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎜⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎜⎛1e lnxdx ＝(xlnx－x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S1＋S2＝⎠⎜⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎜⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎜⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎜⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx; (2)⎠⎜⎛0πcos2x2dx ；(3)∫e ＋121x －1dx.[解析] (1)⎠⎛1－1|x|dx ＝2⎠⎜⎛01xdx ＝2×12x2|10＝1.(2)⎠⎜⎛0πcos2x2dx ＝⎠⎜⎛0π1＋cosx 2dx ＝12x|π0＋12sinx|π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1dx ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x ＝0或x ＝a(a<0)． ∴S 阴影＝⎠⎜⎛a 0[0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)|0a ＝112a4＝112， ∵a<0，∴a ＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx 的值，结果是( )A.16＋π2B ．πC ．1D ．0 [答案] B[解析] f(x)dx ＝sin5xdx ＋1dx ，由于函数y ＝sin5x是奇函数，所以sin5xdx ＝0，而1dx ＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x<0，cosx 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛0πsinxdx ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsinxdx ＝－cosx|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎜⎛0πsinxdx ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若⎠⎜⎛01f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________． [答案]33[解析] ⎠⎜⎛01f(x)dx ＝⎠⎜⎛01(ax2＋c)dx ＝(ax33＋cx)|10＝a3＋c ，故a3＋c ＝ax20＋c ，即ax20＝a3，又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x2－2)dx ，则(x －2x )n 展开式中含x2项的系数是________． [答案] 40[解析] ∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x2－2)dx ＝(x3－2x)|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为Tr ＋1＝Cr 5x5－r(－2x)r ＝(－2)rCr 5x 5－3r 2，令5－3r 2＝2，得r ＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.。