4数学期望总结
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n
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1) k
np
特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) p
概率统计教研室 目录 上页 下页 结束
常见重要分布的期望
1、二项分布 设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),则其分布律为
k k PX k Cn p (1 p)nk (k 0,1,, n).
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由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。 本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
概率统计教研室
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实例2 商店的销售策略
某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为X (以年计), 规定 :
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分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即 A、B 赌完五局, 前三局: 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,
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概率统计教研室
数字特征的优越性：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。
2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均 匀分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用 一两个数字特征完全确定。
3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统 计意义，同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出。
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
X 的可能值与其概率之积的累加.
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BA
BB B胜
A, B 最终获胜的
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4
而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
概率统计教研室
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概率统计教研室
引例2 射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k
命中次数 nk
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
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假设
X
1
2
p
0.02
0.98
1 2 1 .5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2
E ( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
O
1
2
x
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.
求得 2、泊松分布
X ~ B(n, p) E ( X ) np
设X服从参数为λ的二项分布P(λ),则其分布律为
PX k
概率统计教研室
k e
k!
(k 0,1,2,).
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n x 由幂级数展开式 e x ( x R) 与期望定义得 n 0 n!
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实例1 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
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解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
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解
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, P{ X 1} e dx 0 10 2 1 P{1 X 2} e x 10 d x 1 10
1
e 0.1 e 0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
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解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 nk 3.37. k n k 0
Fra Baidu bibliotek
概率统计教研室
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实例1
顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0, 试求顾客等待服务的平均时间? 解 E( X ) x f ( x)d x
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
x i 1
xi
f ( x )dx
阴影面积近似为
f ( xi ) xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( x i ) x i
小区间[xi, xi+1)
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因此X与以概率 f ( xi ) xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 阴影面积近似为 期望是 f ( xi ) xi
x f ( x )x
i i i
i
这正是
x f ( x )dx
小区间[xi, xi+1)
的渐近和式.
概率统计教研室
0
1 x 5 x e d x 5(分钟). 5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
X ~ EXP( ) E ( X )
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例2 设X ~ U (a , b ), 求E ( X ).
解 X的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 其它 0 X的数学期望为
第四章
随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数
常见的重要分布的数字特征
概率统计教研室
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第一节
数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
四、小结
概率统计教研室
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分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但 求分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中， 只需知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数 例如： 是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的 波动是否小. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度平均长度越长,偏 离程度越小, 质量就越好;
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1. 离散型随机变量的数学期望
定义
设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X xk } pk , k 1,2,. 若级数 xk pk 绝对收敛 , 则称级数 xk pk
k 1 k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
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2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E ( X ) x f ( x )d x.
设射手命中的环数为随机变量 Y .
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nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定 ? 5 5 值 nk n k k pk n k 0 k 0
随机波动 稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
X 1, 一台付款1500元;1 X 2, 一台付款2000元; 2 X 3, 一台付款2500元; X 3, 一台付款3000元 .
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
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一、数学期望的概念
引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
概率统计教研室
3
e0.2 e0.3 0.0779,
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P{ X 3}
3
1 x 10 e dx 10
e 0.3 0.7408 .
因而一台收费Y 的分布律为
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
pk
0.0861
0.0779
x ab E ( X ) xf ( x )dx dx ba 2 a
得 E (Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收 费 2732.15 元 .
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例3
X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
n
解 E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 0
(n 1)! k 1 ( n 1) ( k 1) np p (1 p ) k 1 ( k 1)!( n k )!
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概率分布
P ( X 1) p P ( X 0) 1 p
P ( X k ) Cnk p k (1 p ) nk k 0,1,2,, n
P( X k )
期望
p
np
e
k
k! k 0,1,2,
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连续型随机变量的数学期望怎么求？
E( X ) k
k 0
k e
k!
e
k 1
k 1
(k 1)!
e e .
故
X ~ P( ) E ( X )
概率统计教研室
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常见 离散型r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
k 1
概率统计教研室
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关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1) k
np
特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) p
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常见重要分布的期望
1、二项分布 设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),则其分布律为
k k PX k Cn p (1 p)nk (k 0,1,, n).
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由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值，故称它们为随机变量的数字特征。 本章介绍常用数字特征：数学期望，方差，协方 差，相关系数和矩。数学期望是最重要的一种，其余 都可以由它来定义。
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
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实例2 商店的销售策略
某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为X (以年计), 规定 :
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分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即 A、B 赌完五局, 前三局: 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,
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数字特征的优越性：
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。
2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均 匀分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用 一两个数字特征完全确定。
3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统 计意义，同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出。
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 0 150(元 ). 4 4
X 的可能值与其概率之积的累加.
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BA
BB B胜
A, B 最终获胜的
因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 0 150(元 ), 4 4
而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 0 50(元). 4 4
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引例2 射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k
命中次数 nk
nk 频率 n
0
2
1
13
2
15
3 10
4 20
5
30
30 90
2 90
13 90
15 90
10 90
20 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
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假设
X
1
2
p
0.02
0.98
1 2 1 .5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2
E ( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
O
1
2
x
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.
求得 2、泊松分布
X ~ B(n, p) E ( X ) np
设X服从参数为λ的二项分布P(λ),则其分布律为
PX k
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k e
k!
(k 0,1,2,).
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n x 由幂级数展开式 e x ( x R) 与期望定义得 n 0 n!
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实例1 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
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解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
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解
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, P{ X 1} e dx 0 10 2 1 P{1 X 2} e x 10 d x 1 10
1
e 0.1 e 0.2 0.0861,
1 x 10 P{2 X 3} e dx 2 10
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解
射中靶的总环数 平均射中环数 射击次数
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 2 13 15 10 20 0 1 2 3 4 90 90 90 90 90 30 5 90 5 nk 3.37. k n k 0
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实例1
顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 x 5 e , x 0, f ( x) 5 x 0. 0, 试求顾客等待服务的平均时间? 解 E( X ) x f ( x)d x
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
x i 1
xi
f ( x )dx
阴影面积近似为
f ( xi ) xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( x i ) x i
小区间[xi, xi+1)
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因此X与以概率 f ( xi ) xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 阴影面积近似为 期望是 f ( xi ) xi
x f ( x )x
i i i
i
这正是
x f ( x )dx
小区间[xi, xi+1)
的渐近和式.
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0
1 x 5 x e d x 5(分钟). 5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
X ~ EXP( ) E ( X )
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例2 设X ~ U (a , b ), 求E ( X ).
解 X的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 其它 0 X的数学期望为
第四章
随机变量的数字特征
数学期望及其性质 方差及其性质 协方差与相关系数
常见的重要分布的数字特征
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第一节
数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
四、小结
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分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但 求分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中， 只需知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数 例如： 是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的 波动是否小. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度平均长度越长,偏 离程度越小, 质量就越好;
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1. 离散型随机变量的数学期望
定义
设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X xk } pk , k 1,2,. 若级数 xk pk 绝对收敛 , 则称级数 xk pk
k 1 k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) xk pk .
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2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E ( X ) x f ( x )d x.
设射手命中的环数为随机变量 Y .
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nk 平均射中环数 k n k 0 随机波动
5
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定 ? 5 5 值 nk n k k pk n k 0 k 0
随机波动 稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
X 1, 一台付款1500元;1 X 2, 一台付款2000元; 2 X 3, 一台付款2500元; X 3, 一台付款3000元 .
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
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一、数学期望的概念
引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
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3
e0.2 e0.3 0.0779,
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P{ X 3}
3
1 x 10 e dx 10
e 0.3 0.7408 .
因而一台收费Y 的分布律为
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
pk
0.0861
0.0779
x ab E ( X ) xf ( x )dx dx ba 2 a
得 E (Y ) 2732.15,
即平均一台家用电器收 费 2732.15 元 .
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例3
X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
n
解 E ( X ) kCnk p k (1 p) nk
k 0
(n 1)! k 1 ( n 1) ( k 1) np p (1 p ) k 1 ( k 1)!( n k )!
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概率分布
P ( X 1) p P ( X 0) 1 p
P ( X k ) Cnk p k (1 p ) nk k 0,1,2,, n
P( X k )
期望
p
np
e
k
k! k 0,1,2,
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连续型随机变量的数学期望怎么求？
E( X ) k
k 0
k e
k!
e
k 1
k 1
(k 1)!
e e .
故
X ~ P( ) E ( X )
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常见 离散型r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
k 1
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关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.