《概率论与随机过程》课程自学内容小结

上海大学2015～2016学年秋季学期本科生

课程自学报告

课程名称：《概率论与随机过程》

课程编号：07275061

报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生姓名：

学号：

任课教师：

成绩：

评阅日期：

随机序列在通信加密的应用

2015年10月10日

摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。但对于他们的适用范围以及在实际生活中的应用涉及较少。本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。

1. 引言

在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。

本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。

2. 自学内容小结与分析

2.1 随机变量的特征函数

在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：

定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==

⎰

+∞

∞

- (1)

性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。 性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。

性质2 求矩公式：0)(|)

()(][=-=u n

u x n n

n du C d j X E (2)

性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0

00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞

==∞

=== (3) 2.2 大数定律与中心极限定理

定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2

==k X D k σ,

则0∈>∀,有

11lim 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<∈-∑=∞

→n k k n X n P μ (4)

这验证了人们的猜想：大量随机现象的平均结果一般也具有稳定性。

定义3 中心极限定理：设随机变量相互独立，服从同一分布，且μ=)(k X E 和

,...2,1,0)(2=≠=k X D k σ,则随机变量σ

μn n X Y n k k n ∑

=-=

1

的分布函数)(x F n 满足：

dt e x n n X P x F t X n

k k

n n n 21221lim )(lim -∞-=∞→∞→⎰∑=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=πσμ (5)

要求随机变量之和落在某个区间上的概率，只要把它标准化，用正态分布作近似计算即可。 2.3 随机序列及其统计特性

随机序列是对随机信号采样得到的结果，按信号的时间和状态可以分为连续型随机序列 （时间离散、幅度连续）和离散型随机序列（时间和幅度都离散）。其中，后者在计算机处理中得到了广泛的应用。

将连续随机过程)(t X 以s t 为间隔进行等间隔抽样（记录），即得随机序列，表示为： ∞--∞=-=,...,1,0,1,...,),()(j jt t t X X s j δ (6) 由此可以看出一个N 点的随机序列可以看成是一个N 维的随机向量。 均值向量为：

[

]

T

x x x x x

x x N N m m m m m m X E M 110

110][--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡== (7)

自相关矩阵:

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡==------1,11

,10

,11,111101,00100][N N N N N N T

X r r r r r r r r r XX E R

(8) 协方差矩阵：

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=--=------1,11

,10

,11,111101,00100]))([(N N N N N N T

X X X c c c c c c c c c M X M X E C

(9) 容易证明，协方差矩阵与自相关矩阵有如下的关系：

T

X X X X M M R C -= (10) 性质1 对称性：T

X X R R =

性质2 半正定性：对任意N 维（非随机）向量F ，成立 0≥F R F X T

值得注意的是，协方差矩阵的每一个元素反映的是随机向量X 的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。 2.4 随机序列的功率谱密度

由于随机序列)(n X 的自相关函数是一离散函数，故由离散傅立叶变换可得： ∑∞

-∞

=-=k k j X

X e k R

G ωω)()( (11)

由此推得：

)()()()(2

ωωωωX k k j Y Y G H e k R G ==∑∞

-∞

=- (12)

2.5 随机序列通过离散线性系统

对于在区间[0,1]上均匀分布的独立随即序列j X ，通过q 阶FIR 滤波器有： ∑=---=+++=q

i i

j i q j q j j j X

b X b X b X b Y 0

110 (13)

其自相关函数满足

⎪⎩

⎪⎨⎧>==∑-=+q k q k b b k R k q i k i i x Y ||,0,...,1,0||,)(02σ (14)

3. 伪随机序列在通信加密中的应用

加密的基本思想是：用m 序列将携带信息的数字信号在统计结构上随机化，即“白化”，以达到隐藏信息的目的，对于0，1序列，在实现时只要用m 序列与元信号进行异或，得到的密文是类似于白噪声的伪随机序列。将这种加密序列在信道里传输，被他人窃听也无法理解其内容。解密时只有用完全相同的m 序列对密文再次进行异或，才能还原出原信号。

图1 加密的原理框图

3.1 m 序列产生器

用线性反馈移位寄存器构成m 序列产生器，关键是由特征多项式来确定反馈线的状态。图2为4级m 序列产生的逻辑框图。