径向基函数神经网络
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用传统的神经网络模型在处理非线性问题时存在一定的限制，而径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）模型则能够有效地处理这类问题。
本文将介绍径向基函数神经网络模型的基本原理，并探讨其在预测系统中的应用。
1. 径向基函数神经网络模型的基本原理径向基函数神经网络模型是一种三层前馈神经网络，包含输入层、隐含层和输出层。
该模型通过将输入向量映射到高维特征空间，并利用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
其基本原理如下：1.1 输入层：输入层接收原始数据，并将其传递给隐含层。
1.2 隐含层：隐含层中的神经元使用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
径向基函数通常采用高斯函数，其形式为：φ(x) = exp(-(x-c)^2/2σ^2)其中，x为输入向量，c为径向基函数的中心，σ为径向基函数的宽度。
隐含层神经元的输出由径向基函数计算得到，表示了输入数据距离每个径向基函数中心的相似度。
1.3 输出层：输出层根据隐含层的输出和相应的权值进行计算，并生成最终的预测结果。
2. 径向基函数神经网络模型在预测系统中的应用径向基函数神经网络模型在各种预测系统中具有广泛的应用，包括金融预测、气象预测、股票价格预测等。
2.1 金融预测径向基函数神经网络模型能够对金融市场进行有效预测，例如股票价格、外汇汇率等。
通过输入历史数据，可以训练神经网络模型，利用其中的非线性变换能力来预测未来的价格走势。
实验表明，基于径向基函数神经网络模型的金融预测系统能够提供较高的准确度和稳定性。
2.2 气象预测径向基函数神经网络模型在气象预测中的应用也取得了良好的效果。
通过输入历史气象数据，神经网络模型可以学习到不同变量之间的关系，并预测未来的天气情况。
与传统的统计模型相比，径向基函数神经网络模型能够更好地捕捉到非线性因素对气象变化的影响，提高了预测的准确性。
径向基神经网络RBF介绍
径向基神经网络RBF介绍径向基神经网络（Radial Basis Function Neural Network，以下简称RBF神经网络）是一种人工神经网络模型。
它以径向基函数为激活函数，具有快速学习速度和较高的逼近能力，被广泛应用于函数逼近、模式识别、时间序列预测等领域。
下面将详细介绍RBF神经网络的基本原理、结构和学习算法。
1.基本原理：RBF神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。
输入层接收外部输入数据，隐藏层由一组径向基函数组成，输出层计算输出值。
其基本原理是通过适当的权值与径向基函数的线性组合，将输入空间映射到高维特征空间，并在该空间中进行线性回归或分类。
RBF神经网络的关键在于选择合适的径向基函数和隐藏层节点的中心点。
2.网络结构：隐藏层是RBF神经网络的核心，它由一组径向基函数组成。
每个径向基函数具有一个中心点和一个半径。
典型的径向基函数有高斯函数和多项式函数。
高斯函数的形式为：φ(x) = exp(-β*，x-c，^2)其中，β为控制函数衰减速度的参数，c为径向基函数的中心点，x为输入向量。
隐藏层的输出由输入向量与每个径向基函数的权值进行加权求和后经过激活函数得到。
输出层通常采用线性激活函数，用于输出预测值。
3.学习算法：RBF神经网络的学习算法包括两个步骤：网络初始化和权值训练。
网络初始化时需要确定隐藏层节点的中心点和半径。
常用的方法有K-means 聚类和最大极大算法。
权值训练阶段的目标是通过输入样本和对应的目标值来调整权值，使得网络的输出尽可能接近目标值。
常用的方法有最小均方误差算法（Least Mean Square，LMS）和最小二乘法。
最小均方误差算法通过梯度下降法修改权值，使网络输出的均方误差最小化。
最小二乘法则通过求解线性方程组得到最优权值。
在训练过程中，需要进行误差反向传播，根据输出误差调整权值。
4.特点与应用：RBF神经网络具有以下特点：-输入输出非线性映射能力强，可以逼近复杂的非线性函数关系；-学习速度较快，只需通过非线性映射学习输出函数，避免了反向传播算法的迭代计算；-具有较好的泛化能力，对噪声和异常数据有一定的鲁棒性。
径向基函数（RBF）神经网络
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
RBF神经网络概述
RBF神经网络概述RBF（径向基函数）神经网络是一种基于径向基函数的神经网络模型。
它由两部分组成：输入层和输出层。
输入层接收外部输入信号，然后通过径向基函数层将输入映射到隐含层。
隐含层采用径向基函数来计算输入向量与各个隐含单元的距离，并输出给输出层。
输出层根据隐含层的输出计算最终的输出结果。
1.非线性映射能力：径向基函数作为非线性映射函数，可以将输入空间映射到高维特征空间，从而可以处理非线性问题。
2.局部处理和全局处理：隐含层的每个隐含单元都对输入向量进行局部处理，隐含单元之间相互独立运算。
然后输出层将各个隐含单元的输出结果进行全局处理，得到最终的输出结果。
3.高维特征空间：由于径向基函数的作用，RBF神经网络可以将输入空间映射到高维特征空间，从而提高网络的抽象能力和判别能力。
4.可解释性：RBF神经网络中的隐含单元具有一定的物理意义，例如高斯函数的中心表示样本的分布情况，标准差表示隐含单元的灵敏度。
这样的特点使得RBF神经网络具有较好的可解释性。
1. 中心确定：通过聚类算法（如K-means算法）确定隐含层的中心，中心可以看作是样本的代表点。
2.方差确定：针对每个隐含单元，计算样本与该隐含单元中心的距离，并计算方差。
方差越大，隐含单元对距离远的样本的响应越强，方差越小，隐含单元对距离近的样本的响应越强。
3.权值确定：根据中心和方差计算得到每个隐含单元的权值。
通常采用最小二乘法或者广义逆矩阵法。
4.输出计算：根据隐含层的输出和权值，计算输出层的输出。
5.网络训练：使用样本数据进行网络训练，通过调整权值来减小网络的误差。
常用的方法有梯度下降法、遗传算法等。
RBF神经网络在模式识别、函数逼近、数据挖掘等领域有着广泛的应用。
它具有较好的非线性映射能力和逼近能力，能够处理高维特征空间的模式识别问题。
同时，RBF神经网络具有较好的可解释性，能够提供有关样本分布和网络响应的有效信息。
然而，RBF神经网络也存在一些问题。
径向基函数神经网络课件
小批量梯度下降算法
01
总结词
小批量梯度下降算法是一种折中的方法，每次使用一小批 样本来更新模型参数，既保持了计算量小的优点，又提高 了模型的稳定性。
02 03
详细描述
小批量梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选 择一小批样本来计算损失函数，并使用梯度下降法或其他 优化方法来更新模型参数。这种方法可以平衡计算量和训 练时间的关系，同时提高模型的稳定性。
径向基函数神经网络课件
目 录
• 径向基函数神经网络概述 • 径向基函数神经网络的基本结构 • 径向基函数神经网络的学习算法 • 径向基函数神经网络的优化策略 • 径向基函数神经网络的实现细节 • 径向基函数神经网络的实例展示 • 总结与展望
01
径向基函数神经网络概述
神经网络简介
神经网络的定义
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型，通过学习样 本数据来自动提取特征和规律，并完成分类、回归等任务。
02 03
详细描述
随机梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选择一个样本来计 算损失函数，并使用梯度下降法或其他优化方法来更新模型参数。这种 方法可以大大减少计算量和训练时间。
优缺点
随机梯度下降算法的优点是计算量小，训练时间短，适用于大规模数据 集。但是，由于只使用一个样本进行更新，可能会造成模型训练的不稳 定，有时会出现训练效果不佳的情况。
2
输出层的节点数通常与输出数据的维度相等。
3
输出层的激活函数通常采用线性函数或softmax 函数。
训练过程
01
神经网络的训练过程是通过反向 传播算法实现的。
02
通过计算损失函数对网络权重的 梯度，更新权重以减小损失函数
RBF神经网络
的权向量为：W = [w , w
1
b j为节点的基宽度参数 ， 且为大于零的数 。 网络 为节点的基宽度参数， 且为大于零的数。
2
⋯wj ⋯wm ]
k时刻网络的输出为： 时刻网络的输出为：
y m ( k )=wh = w1h1+w 2 h2+ ⋯⋯ +w m hm
设理想输出为y(k)， 设理想输出为y(k)，则性能指标函数为：
∂y (k ) ∂ym (k ) ≈ = ∂u (k ) ∂u (k )
m
∑w h
j =1
c1 j − x1 b2 j
j j
其中取 x1 = u(k) 。
6 RBF网络逼近仿真实例 RBF网络逼近仿真实例
使用RBF网络逼近下列对象：
y (k ) = u (k ) +
3
y ( k − 1) 1 + y ( k − 1)
Ii
wij
I
j
I1
. . .
R1
. . .
. .u .
u ..
R
j
. . .
1
1
.
V1
C1
. . .
j
j
.
Vj
.
u ..
Cj
i
i
.V
i
Ri
.
Ci
Hopfield网络模型 Hopfield网络模型
RBF神经网络 RBF神经网络
信息工程学院 Alen Fielding
1 RBF神经网络 RBF神经网络
径向基函数(RBF径向基函数(RBF-Radial Basis Function)神经网络 Function)神经网络 是由J Moody和 Darken在80年代末提出的一种神经 是由J.Moody和C.Darken在80年代末提出的一种神经 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。 网络,它是具有单隐层的三层前馈网络。由于它模拟 了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野了人脑中局部调整、相互覆盖接收域（或称感受野Receptive Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 Field）的神经网络结构，因此，RBF网络 是一种局部逼近网络， 是一种局部逼近网络 ， 它能够以任意精度逼近任意 连续函数，特别适合于解决分类问题。 连续函数，特别适合于解决分类问题。
径向基神经网络
径向基神经网络1985年，Powell提出了多变量插值的径向基函数（Radical Basis Function,RBF）方法。
1988年，Moody和Darken提出了一种神经网络结构，即RBF神经网络，属于前向神经网络类型，它能够以任意精度逼近任意连续函数，特别适合于解决分类问题。
RBF网络的结构与多层前向网络类似，它是一种三层前向网络。
输入层由信号源节点组成；第二层为隐含层，隐单元数视所描述问题的需要而定，隐单元的变换函数RBF是对中心点径向对称且衰减的非负非线性函数；第三层为输出层，它对输入模式的作用做出响应。
从输入空间到隐含层空间的变换是非线性的，而从隐含层空间的输出层空间变换是线性的。
RBF网络的基本思想是：用RBF作为隐单元的“基”构成隐含层空间，这样就可以将输入向量直接映射到隐空间。
当RBF的中心点确定以后，这种映射关系也就确定了。
而隐含层空间到输出空间的映射是线性的，即网络的输出是隐单元输出的线性加权和。
此处的权即为网络可调参数。
由此可见，从总体上看，网络由输入到输出的映射是非线性的，而网络的输出对可调参数而言却是线性的。
这烟大哥网络的权就可由线性方程直接解出，从而大大加快学习速度并避免局部极小问题。
一、RBF神经元模型径向基函数神经元的传递函数有各种各样的形式，但常用的形式是高斯函数（radbas）。
与前面介绍的神经元不同，神经元radbas的输入为输入向量p和权值向量ω之间的距离乘以阈值b。
径向基传递函数可以表示为如下形式：二、RBF网络模型径向基神经网络的激活函数采用径向基函数，通常定义为空间任一点到某一中心之间欧氏距离的单调函数。
径向基神经网络的激活函数是以输入向量和权值向量之间的距dist为自变量的。
径向神经网络的激活函数一般表达式为随着权值和输入向量之间距离的减少，网络输出是递增的，当输入向量和权值向量一致时，神经元输出1。
b为阈值，用于调整神经元的灵敏度。
利用径向基神经元和线性神经元可以建立广义回归神经网络，该种神经网络适用于函数逼近方面的应用；径向基神经元和竞争神经元可以组件概率神经网络，此种神经网络适用于解决分类问题。
径向基函数神经网络的训练与预测
径向基函数神经网络的训练与预测近年来，人工智能技术的快速发展使得神经网络成为了热门的研究领域之一。
径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，简称RBFNN）作为一种非常有效的神经网络模型，被广泛应用于各种领域的训练与预测任务中。
RBFNN是一种前向反馈神经网络，其神经元模型的激活函数采用径向基函数。
径向基函数是一种基于距离的非线性函数，常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数等。
RBFNN的训练与预测过程相对简单，但却能够提供较高的准确性和泛化能力。
在RBFNN的训练过程中，首先需要确定网络的结构。
网络结构包括输入层、隐藏层和输出层。
输入层接收外部数据，并将其传递给隐藏层。
隐藏层中的神经元使用径向基函数计算输入数据与神经元中心之间的距离，并将计算结果作为激活函数的输入。
输出层根据隐藏层的输出进行计算，并产生最终的预测结果。
确定网络结构后，接下来需要进行权重的训练。
权重的训练过程可以通过最小二乘法、梯度下降法等方法进行。
最小二乘法是一种常用的训练方法，它通过最小化预测结果与实际结果之间的误差来调整权重。
梯度下降法则是一种迭代的优化算法，通过不断调整权重来最小化损失函数。
RBFNN的预测过程相对简单，只需要将输入数据传递给网络，并根据输出层的结果进行预测。
由于RBFNN具有较强的非线性拟合能力，因此在许多实际应用中取得了良好的效果。
例如，在股票市场的预测中，RBFNN能够根据历史数据和市场情况准确预测未来的股价走势。
除了股票市场预测外，RBFNN还被广泛应用于其他领域，如医学诊断、图像识别、语音识别等。
在医学诊断中，RBFNN可以根据患者的病历数据和临床特征，准确预测患者是否患有某种疾病。
在图像识别中，RBFNN可以通过学习大量图像数据，实现对图像内容的准确分类和识别。
在语音识别中，RBFNN可以根据语音信号的频谱特征，实现对语音内容的准确识别和理解。
径向基神经网络的介绍及其案例实现
径向基神经网络的介绍及其案例实现径向基（RBF）神经网络是一种常用的人工神经网络模型，它以径向基函数作为激活函数来进行模式分类和回归任务。
该网络在模式识别、函数逼近、数据挖掘等领域都具有良好的性能，并且具有较好的泛化能力。
引言：径向基（RBF）神经网络最早是由Broomhead和Lowe于1988年引入的，它是一种前馈式神经网络。
RBF神经网络的主要思想是以输入向量与一组高斯函数的基函数作为输入层，然后再通过隐藏层进行特征映射，最后通过输出层进行模式分类或回归。
1.RBF神经网络的结构：RBF神经网络包括输入层、隐藏层和输出层三层。
输入层负责接收输入向量，隐藏层负责特征映射，输出层负责输出结果。
输入层：输入层接收具有所要分类或回归的特征的数据，通常使用欧几里德距离计算输入层的神经元与输入向量之间的距离。
隐藏层：隐藏层是RBF神经网络的核心部分，它通过一组径向基函数来进行特征映射。
隐藏层的神经元数量通常和训练样本数量相同，每个神经元负责响应一个数据样本。
输出层：输出层根据隐藏层的输出结果进行模式分类或回归预测，并输出网络的最终结果。
2.RBF神经网络的训练：RBF神经网络的训练主要包括两个步骤：聚类和权值调整。
聚类：首先通过K-means等聚类算法将训练样本划分为若干个类别，每个类别对应一个隐藏层神经元。
这样可以将输入空间划分为若干个区域，每个区域中只有一个样本。
权值调整：通过最小化残差误差或最小化目标函数来优化隐藏层和输出层的权值。
常用的优化算法有最小二乘法、梯度下降法等。
3.RBF神经网络的案例实现：案例1：手写数字识别案例2：股票市场预测RBF神经网络也可以应用于股票市场的预测。
该案例中，RBF神经网络接收一组与股票相关的指标作为输入，通过隐藏层的特征映射将指标转化为更有意义的特征表示，最后通过输出层进行未来股价的回归预测。
该系统的训练样本为历史股票数据以及与之对应的未来股价。
结论：径向基（RBF）神经网络是一种应用广泛且效果良好的人工神经网络模型。
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用概述：径向基函数神经网络(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)是一种基于神经网络的非线性模型，具有广泛的应用领域。
在预测系统中，RBFNN能够准确预测未知输入与输出之间的关系，从而为预测问题的解决提供了有效的方法。
一、径向基函数神经网络模型的基本原理1.1 RBFNN的结构径向基函数神经网络由输入层、隐含层和输出层构成。
输入层接受原始数据，隐含层通过径向基函数对输入数据进行转换，输出层将转换后的数据映射到期望的输出。
1.2 径向基函数的选择径向基函数的选择对RBFNN的性能有重要影响。
常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数和细分函数等。
根据问题的需求和特点选择合适的径向基函数，以提高模型的预测能力。
1.3 模型的训练与优化通过使用已知输入与输出的训练数据，结合误差反向传播算法，可以对RBFNN的参数进行学习和优化。
训练的目标是使得模型的输出与实际输出之间的误差最小化，从而提高预测的准确性。
二、径向基函数神经网络模型在预测系统中的应用2.1 股票市场预测股票市场价格的预测一直是金融领域的研究热点。
RBFNN通过学习历史价格与因素的关系，能够预测未来的股票价格走势。
通过准确的预测，投资者可以做出更明智的决策，提高投资回报率。
2.2 污染物浓度预测环境污染是当今社会面临的严重问题之一。
RBFNN可以利用区域内的环境数据，如气象数据、监测数据等，预测出某个时刻某地区的污染物浓度。
这有助于预警系统的建立，提前采取措施避免污染的扩散。
2.3 交通流量预测交通流量的预测在城市交通管理中具有重要意义。
通过收集历史交通流量和相关影响因素的数据，RBFNN能够准确预测未来某个时间段某条道路的交通流量。
这有助于交通规划和拥堵疏导的决策。
2.4 预测市场需求在制造业和零售业等领域，准确预测市场的需求对企业决策具有重要影响。
RBFNN可以通过学习历史销售数据和市场因素的关系，预测未来某段时间内产品的需求量。
RBF神经网络概述
RBF 神经网络概述1RBF 神经网络的基本原理2RBF 神经网络的网络结构3RBF 神经网络的优点1RBF 神经网络的基本原理人工神经网络以其独特的信息处理能力在许多领域得到了成功的应用。
它不仅具有强大的非线性映射能力，而且具有自适应、自学习和容错性等，能够从大量的历史数据中进行聚类和学习，进而找到某些行为变化的规律。
径向基函数(RBF)神经网络是一种新颖有效的前馈式神经网络，它具有最佳逼近和全局最优的性能，同时训练方法快速易行，不存在局部最优问题，这些优点使得RBF 网络在非线性时间序列预测中得到了广泛的应用。
1985年，Powell 提出了多变量插值的径向基函数(Radial-Basis Function,RBF)方法。
1988年，Broomhead 和Lowe 首先将RBF 应用于神经网络设计，构成了径向基函数神经网络，即RBF 神经网络。
用径向基函数(RBF)作为隐单元的“基”构成隐含层空间，对输入矢量进行一次变换，将低维的模式输入数据变换到高维空间内，通过对隐单元输出的加权求和得到输出，这就是RBF 网络的基本思想。
2RBF 神经网络的网络结构RBF 网络是一种三层前向网络：第一层为输入层，由信号源节点组成。
第二层为隐含层，隐单元的变换函数是一种局部分布的非负非线性函数，他对中心点径向对称且衰减。
隐含层的单元数由所描述问题的需要确定。
第三层为输出层，网络的输出是隐单元输出的线性加权。
RBF 网络的输入空间到隐含层空间的变换是非线性的，而从隐含层空间到输出层空间的变换是线性。
不失一般性，假定输出层只有一个隐单元，令网络的训练样本对为{,}(1,2,...,)n n X d n N =，其中12[,,...,],(1,2,...,)T n n n nM X x x x n N ==为训练样本的输入，(1,2,...,)n d n N =为训练样本的期望输出，对应的实际输出为(1,2,...,)n Y n N =;基函数(,)i X t ϕ为第i 个隐单元的输出12[,,...,,...,](1,2,...,)i i i im iM t t t t t i I ==为基函数的中心;(1,2,...,)i w i I =为第i 个隐单元与输出单元之间的权值。
径向基（Radialbasisfunction）神经网络、核函数的一些理解
径向基（Radialbasisfunction）神经⽹络、核函数的⼀些理解径向基函数(RBF)在神经⽹络领域扮演着重要的⾓⾊，如RBF神经⽹络具有唯⼀最佳逼近的特性，径向基作为核函数在SVM中能将输⼊样本映射到⾼维特征空间，解决⼀些原本线性不可分的问题。
本⽂主要讨论：1. 先讨论核函数是如何把数据映射到⾼维空间的，然后引⼊径向基函数作核函数，并特别说明⾼斯径向基函数的⼏何意义，以及它作为核函数时为什么能把数据映射到⽆限维空间。
2.提到了径向基函数，就继续讨论下径向基函数神经⽹络为什么能⽤来逼近。
再看这⽂章的时候，注意核函数是⼀回事，径向基函数是另⼀回事。
核函数表⽰的是⾼维空间⾥由于向量内积⽽计算出来的⼀个函数表达式(后⾯将见到)。
⽽径向基函数是⼀类函数，径向基函数是⼀个它的值(y)只依赖于变量(x)距原点距离的函数，即；也可以是距其他某个中⼼点的距离，即. . 也就是说，可以选定径向基函数来当核函数，譬如SVM⾥⼀般都⽤⾼斯径向基作为核函数，但是核函数不⼀定要选择径向基这⼀类函数。
如果感觉这段话有点绕没关系，往下看就能慢慢体会了。
为什么要将核函数和RBF神经⽹络放在⼀起，是希望学习它们的时候即能看到它们的联系⼜能找到其差别。
⼀.由⾮线性映射引⼊核函数概念，之后介绍⾼斯径向基及其⼏何意义。
预先规定是⼀个⾮线性映射函数,能够把空间中任⼀点,映射到空间中。
下⾯先⽤⼀个例⼦说明这种映射的好处。
例：假设⼆维平⾯上有⼀些系列样本点,他们的分布近似是⼀个围绕着原点的圆（见图1）。
那么在这个⼆维的样本空间⾥，这些样本点满⾜的曲线⽅程为：如果设⾮线性映射为：那么在映射后的的空间⾥，曲线⽅程变成了：这意味着在新空间⾥，样本点是分布在⼀条近似直线上的，⽽不是之前的圆，很明显这是有利于我们的。
图1.左图为原来的x所在的⼆维空间，右图为映射后的新的y空间继续这个例⼦，我们已经知道了映射关系，那么在y空间中的向量内积会是什么样⼦的呢？注意公式⾥的各种括号。
rbf神经网络原理
rbf神经网络原理
RBF神经网络，即径向基函数神经网络，是一种常用的神经网络模型。
它的核心思想是通过选择合适的基函数来近似非线性函数关系，从而实现对复杂模式的学习与分类。
RBF神经网络由三层组成：输入层，隐含层和输出层。
输入层接收外部输入的数据，每个输入节点对应一个特征。
隐含层是RBF神经网络的核心，其中的每个神经元都是一个径向基函数。
在隐含层中，每个神经元都有一个中心向量和一个标准差，用于确定其基函数的形状和大小。
通过计算输入向量与神经元中心之间的距离，再经过基函数的转换，即可得到神经元的输出。
输出层是整个神经网络的分类器，它通常采用线性组合来产生最终的输出。
常见的方法是采用最小均方误差（MSE）准则函数来训练神经网络，通过调整神经元中心和标准差的参数，以最小化实际输出与期望输出之间的误差。
RBF神经网络具有以下优点：
1. 相较于传统的前馈神经网络，RBF神经网络对线性可分和线性不可分问题的逼近能力更强。
2. RBF神经网络的训练速度较快，且容易实现并行计算。
3. 网络结构简单，参数少，不容易出现过拟合问题。
4. 对于输入输出空间中的噪声和干扰具有较强的鲁棒性。
总而言之，RBF神经网络通过径向基函数的选取，能够有效地近似非线性函数，并在模式分类等任务中取得较好的结果。
径向基函数神经网络
RBF神经网络两种模型
正规化网络RN 通用逼近器
基本思想： 通过加入一个含有解的先验知识的约束来 控制映射函数的光滑性，若输入一输出映射 函数是光滑的，则重建问题的解是连续的， 意味着相似的输入对应着相似的输出。
题。 局部逼近网络（MLP是全局逼近网络)，这意味着逼近一个输
入输出映射时，在相同逼近精度要求下，RBF所需的时间要比 MLP少。 具有唯一最佳逼近的特性，无局部极小。 合适的隐层节点数、节点中心和宽度不易确定。
径向基函数（RBF）
1.
Gauss（高斯）函数：r
exp
r2
2 22. 3.反演 Nhomakorabea型函数： r
中即计心为算Rc各Bi ，F个神如聚经果类网新集络的合最聚终p类中的中训基心练函不样数再本中发的心生平，变均否化值则，，返则即回所新（得的2到）聚的，类ci
进入下一轮的中心求解。
➢2.求解方差
RBF神经网络的基函数为高斯函数时，方差可由下式求解：
i
cmax 2h
,i
1,2,L
h
式中 cmax 为中所选取中心之间的最大距离。
局部逼近网络 学习速度快，有可能满足有实时性要求的应用
对网络输入空间的某个局 部区域只有少数几个连接 权影响网络的输出，则称
该网络为局部逼近网络
RBF网络的工作原理
函数逼近： 以任意精度逼近任一连续函数。一般函数都可表示成一组 基函数的线性组合，RBF网络相当于用隐层单元的输出构 成一组基函数，然后用输出层来进行线性组合，以完成 逼近功能。
6.第7章 径向基函数网络
>> rand('state',pi); >> w=rand(3,2); % 3个向量 >> p=rand(2,4); >> Z=dotprod(w,p) % 4个向量 % 计算内积
6.径向基神经网络相关函数详解
netprod——乘积网络输入函数 N=netprod({Z1,Z2,...,Zn}) 返回Z1，Z2，。。。对应元素的乘积 求三个2*3矩阵的积 >> rand('state',pi); >> a=rand(2,3) >> b >> c=rand(2,3) >> d=netprod({a,b,c}) >> a.*b.*c % 验算 % 第一个矩阵
隐含层是非线性的，采用径向基函数作为基函数，从而将 输入向量空间转换到隐含层空间，使原来线性不可分的问题 变得线性可分，输出层则是线性的。
1.径向基神经网络的两种结构
径向基函数：有多种形式，其中 最为常用的，是高斯函数
( X -X i )
x1 Ф1 x2 w1J wi1 wiJ wNJ w11 wN1 y1
扩充性能好。网络的学习过程简单，增加或减少类别模式时 不需要重新进行长时间的训练学习
5.广义回归神经网络
广义回归神经网络（General Regression Neural Network，GRNN）是 径向基网络的另外一种变形形式
广义回归网络以径向基网络为基础，因此具有良好的非线性逼近性能， 与径向基网络相比，训练更为方便
广义回归神经网络尤其适合解决曲线拟合的问题
在MATLAB中newgrnn函数可以方便的实现GRNN网络
RBF神经网络学习算法
RBF神经网络学习算法RBF（径向基函数）神经网络是一种常用的神经网络模型，其学习算法主要分为两个步骤：网络初始化和参数优化。
本篇文章将详细介绍RBF 神经网络学习算法的原理和步骤。
1.网络初始化（1）选择隐藏层神经元的个数隐藏层神经元的个数决定了网络的复杂度。
一般情况下，隐藏层神经元的个数越多，网络的拟合能力越强。
但是隐藏层神经元个数的选择也受限于样本的数量和特征维度。
（2）选择径向基函数径向基函数用于将输入样本映射到隐藏层，常用的径向基函数有高斯函数、多项式函数等。
高斯函数是最常用的径向基函数，其具有良好的非线性映射性质。
选择合适的径向基函数如高斯函数可以提高网络的拟合能力。
（3）确定径向基函数的参数高斯函数有一个重要参数σ，控制了函数的宽度。
确定适当的σ值可以使得网络在训练过程中收敛更快，提高网络的学习效率。
2.参数优化（1）梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，通过不断迭代网络参数来最小化误差函数。
具体步骤如下：a.随机初始化网络的权值和偏置。
b.使用前向传播计算网络的输出。
d.根据误差计算参数的梯度。
e.根据梯度和学习率更新参数。
f.重复b-e直到满足停止准则。
（2）最小二乘法最小二乘法是一种基于最小化误差平方和的优化方法。
具体步骤如下：a.设置误差函数为平方和。
b.对误差函数求偏导，并令导数为0，得到参数的闭式解。
c.使用闭式解更新参数。
3.网络训练与预测（1）网络训练（2）网络预测网络预测是指使用训练好的网络来进行新样本的预测。
给定新样本的特征向量，通过前向传播计算网络的输出，即为网络对该样本的预测结果。
总结：本文首先介绍了RBF神经网络的基本原理和结构，然后详细描述了RBF神经网络的学习算法。
网络初始化包括选择隐藏层神经元个数、径向基函数和参数的确定。
参数优化主要通过梯度下降法和最小二乘法来优化网络的参数。
最后，本文介绍了网络训练和预测的过程。
通过合理选择网络结构和参数，RBF神经网络可以有效地处理非线性问题，具有很好的拟合能力和预测能力。
径向基函数网络
RBF：组合线性 GRNN：纯线性
PNN：竞争
可以实现函数逼近、系统建模和分类功能 可直接创建，速度快
GRNN 隐藏层 W1 B1 线性层 W2 P 0.8326 /srpead T RBF 可调 0.8326 /srpead 可调
B2
无
可调
GRNN的构建
函数：net
实现：
隐藏层权值置为P 隐藏层阈值置为0.8326/srpead 线性层权值置为T
= newgrnn(P,T,SPREAD)
径向基神经网络结构
两层前馈网络 隐藏层为径向基神经元层 输出层为线性层
径向基神经网络特点分析
对于单个神经元，输入与权值的距离越近
输出越大，即只对某个局部有响应 半衰距离spread：调节响应局部的衰减特性
n w p b
阈值b调整响应局部的映射（范围） a radbas (n) 隐藏层径向基神经元的个数确定了响应局
第七章 径向基函数网络
径向基函数
Radial Basis Function－RBF 径向基函数又称为辐射基函数 常用形式：高斯函数－radbas 关键参数：半衰期
radbas(n) e
n2
径向基神经元
特殊的功能：输入矢量p和权值w之间的距离乘以 阈值b
n w p b a radbas (n)
通过LW×a1＝n2进行合并 a1（Q×1）；LW（K×Q）；n2（K×1）
比较n2中的各个分量，认为属于样本属于最
大分量所对应的那个类
PNN的构建
函数：net 实现：
隐藏层权值置为P
= newpnn(P,T,SPREAD)
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径向基函数神经网络
内容提要
• 6.1 概述
• 6.2 径向基函数数学基础 • 6.3 径向基函数网络结构 • 6.4 RBF网络算法分析
RBF神经网络
• 径向基函数神经网络（radial basis function neural network，RBFNN） • RBF神经网络是基于人脑的神经元细胞对外界 反应的局部性而提出的新颖的、有效的前馈式 神经网络，具有良好的局部逼近特性。它的数 学理论基础成形于1985年由Powell首先提出的 多变量插值的径向基函数，1988年被 Broomhead和Lowe应用到神经网络设计领域 ，最终形成了RBF神经网络。
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RBFNN的结构
RBFNN的Matlab实现
clear all clc x=0:0.1:5; y=sqrt(x); net=newrb(x,y); t=sim(net,x); plot(x,y-t,'+-') figure x1=5:0.1:9; y1=sqrt(x1); t1=sim(net,x1); plot(x1,y1-t1,'*-')
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RBF神经网络的学习算法
RBF神经网络的学习算法分为两步：
第一步是确定隐含层神经元数目、中心和 宽度，第二步是确定隐含层和输出层之间的连 接权值。 径向基函数中心的选取方法主要有随机选 取法、K-均值聚类算法、梯度训练方法和正交 最小二乘法等。隐含层和输出层之间的连接权 值的训练方法主要包括最小均方差、递推最小 方差、扩展卡尔曼滤波等方法。
4
RBFNN的结构
图8.1 RBF神经网络的结构
5常用的Biblioteka 向基函数• 高斯函数（Gaussian Function）
2 • 多二次函数（Multiquadratic Function）
2 i
i ( x) exp(
x ci
2
)
i 1, 2,
,h
• 逆二次函数（Reciprocal Multiquadratic Function）
9
RBF神经网络的Matlab实现
• newrb
[net,tr]=newrb(P,T,goal,spread,MN,DF) 建立一个径向基RBF神经网络。 参量P为Q组输入向量组成的R*Q维矩阵。 T为Q组目标向量组成的S*Q维的矩阵。 goal为标量，表示均方误差目标，缺省为0.0。 spread也为标量，表示径向基函数的扩展速度，即分布密度，缺省为1.0。 MN为指定神经元的最大数目，缺省为Q。 DF指定两次显示之间所添加的神经元数目，缺省为25。 函数返回创建的径向基RBF网络net。 tr为返回的训练记录。
8
RBF神经网络性能和应用
理论上已经证明，RBF神经网络具有良好 的全局逼近特性。若RBF神经网络的隐含层神 经元足够多，它可以在一个紧集上一致逼近任 何连续函数。 RBF神经网络是一种性能良好的前馈网络 ，不仅具有最佳逼近性能，同时训练方法快速 易行，不存在局部极小问题。这些优点给RBF 神经网络的应用奠定了良好的基础，使其在函 数逼近、模式识别和信号处理等领域都有广泛 的应用。
i ( x) x ci log( x ci )
2
i ( x) ( x ci
2
2 )1/2
i 1, 2,
,h
i 1, 2,
,h
6
式中， 称为该基函数的扩展常数或宽度 i ， 越小，径向基函数的宽度就越小，基 i 函数就越具有选择性；为第 i 个径向基函 ci 数的中心；h表示隐层神经元的个数。
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RBFNN的结构
RBF神经网络是一种三层前馈神经网络。第 一层为输入层，由信号源节点构成，将网络与 外界环境连结起来，节点数由输入信号的维数 确定；第二层为隐含层（径向基层），其节点 由径向基函数构成，实现输入空间到隐层空间 的非线性变换；第三层为输出层（线性层）， 对输入模式做出响应，其节点由隐含层节点给 出的基函数的线性组合来计算。