径向基函数及其应用

径向基函数及其应用
近年来国际上比较认可的处理多元问题的函数基有两种：楔形基（ｒｉｄｇｅ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）和径向基（ｒａｄｉａｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．这两种基有一个共同的特点：就是用事实上的一 元函数来描述多元函数．用它们在计算机里表现多元函数就有明显的储存及运算简单的 优点．楔形基较多地应用在发展型方程、动力系统的求解上．径向基则利用一个一元函数 作用在欧几里得距离上，然后作平移，从而比较适用于物理上各向同性的问题．
Ｓｃｈａｂａｃｋ，Ｗｅｎｄｌａｎｄ，Ｐｏｗｅｌｌ，Ｂｅａｓｔｏｎ ａｎｄ Ｚｏｎｇ．ＭｉｌｌⅥ，ｕ ｅｔ ａ１．
Ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｆｉｔｔｉｎｇ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｏｃｕｓｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ，ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ＲＢＦ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｉｔｔｉｎｇ． Ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ—ｕｓｅｄ Ｇａｕｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅｉｒ
本文共分四章。第一章介绍了研究径向基函数的背景。第二章介绍径向基函数的基 本理论。其中包括径向基函数的基本概念，几种常用的径向基函数，径向基函数插值理 论，以及径向基函数的应用。第三章介绍Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｅ函数插值及其拟插值算子理论。 对已有的四种Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｃ拟插值算子做出了详细的介绍。第四章给出了径向基函数在 散乱数据拟合中的应用实例。利用ＭＱ函数与Ｇａｕｓｓ函数进行散乱数据插值、拟插值， 以及数值微分与数值积分实验，对结果进行分析与比较。
学位论文题目： 弛茎垫型叠匿美乞！强
作者签名 导师签名
日日期期： ：递五罩西年二Ｕ月Ｌ月上—上坐日日
大连理工大学学位论文独创性声明
作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｅｘａｍｐｌｅｓ Ｕｓｉｎｇ Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｃ ａｎｄ Ｇａｕｓｓ
ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，ｑｕａｓｉ．ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，
ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ｏｆ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ
散乱数据拟合一直是计算几何研究的焦点内容之一，本文主要介绍径向基函数的基 本理论及其在散乱数据插值与拟合中的应用．对常用的Ｇａｕｓｓ函数与Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ函数 列举大量实例，对其参数进行分析与比较．并对径向基函数拟插值在数值积分与数值微 分中的应用进行了尝试。
大连理工大学硕士学位论文
２ 径向基函数的基本理论
由于大量科学和工程问题的数学模型都归结为偏微分方程的定解问题，而且问题复 杂，计算量巨大，所以对偏微分方程数值方法的研究已经成为当前计算数学的主流方向， 它也是大规模科学与工程计算中具有前沿性的主要东西．偏微分方程数值解方法按离散 时是否使用有规则的网格分为网格方法和无网格方法．近一二十年来，人们的主要目标是 寻找各种各样的无网格方法，其原因是无网格方法对于边界条件和初始条件有很强的适 应性．利用径向基函数解微分方程的方法就是一种近年来受到普遍关注的无网格方法．径 向基函数除在大地测量学，地球物理学，测绘学等诸多反面有应用外，在神经网络，材 料科学等方面也有应用．总之，随着研究的进一步深入，径向基函数的应用越来越广泛．
用函数描述实际对象首先需要一个函数空间．我们最熟悉的是多项式函数空间和三 角多项式函数空间．人们经常使用这两个函数空间，不仅因为它们的函数形式十分简单， 具有本质上只用一个简单函数来生成函数空间的特点，更重要的是这两个函数空间都可 以逼近几乎所有的函数，也就是说它有非常强的函数表现能力．
如何选取这个空间的一组基是当一个函数空间取定以后十分重要的问题．早期采用 古典函数空间，在不同应用中采用不同的基．如多项式函数空间可以有一般的单项式基 底｛，），也可以选取正交多项式基底如切比契夫多项式．在计算机辅助几何设计中，人 们更多地采用伯恩施坦函数基．这些古典的函数空间也有一些缺点，一般认为上述两个 函数空间都刚性太强，一个地方的小的扰动会在远处产生非常大的影响．所以在上世纪的 六、七十年代样条函数开始逐渐流行起来，并被应用界广泛地接受．简单地说，样条函数 就是分段或分片多项式．它既有多项式表达简单并且可以逼近几乎所有函数的优点，又改 正了多项式刚性太强的缺点．一般地说，我们可以在样条函数空间找到Ｂ．样条基，它是 局部支撑的，从而它是样条函数空间中的一个较好的函数基．在偏微分方程数值解中的有 限元方法就是把偏微分方程的解用分片的多项式逼近，或者说在样条函数空间中找近似 解．事实上，有限元法是样条函数基在偏微分方程数值解中的一个最好的应用．
大连理工大学硕士学位论文
大连理工大学学位论文版权使用授权书
本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ ｓｅｔｔｉｎｇ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｓｔｏｒａｇｅ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｕｓｅ Ｉ氇Ｆｓ ｉＩｌ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｔｏ ｏｐｅｒａｔｅ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＲＢＦｓ ｈａｖｅ ａ ｗｉｄｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉＯｉｌＳ ｉｎ ｔｈｅ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｆｉｔｔｉｎｇ，ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓ．ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＲＢＦ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ ｂｙ
若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。
学位论文题目：盈鱼生迄：数丑是色２豁
作者签名： 茎整ｒＪ
日期：—珥年—≯月－１世日
大连理工大学硕士学位论文
１ 引言
人们经常用函数来定量化地描述应用或工程中所考察的实际对象，而用方程来描述 各对象之间的关系．一个非常重要的任务就是如何用合适的函数来描述实际的对象和如 何解这些方程．
同样样条函数基也有一些缺点，特别针对多元（多于４个变元）散乱数据问题，关于 散乱数据的三角剖分就是一个非常复杂的拓扑问题，如果还要求这个三角剖分上的样条 函数基有高阶连续性，那么其构造是非常困难的．这正是人们很难看到用有限元解高于４ 个变量的高阶偏微分方程问题的根木原因．国际上最近非常流行的还有小波基，它是样条
关键词：径向基函数；Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｅ；插值；拟插值；散乱数据拟合
径向基函数及其应用
Ｒａｄｉａｌ Ｂａｓｉｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍａｎｙ ｖａｒｉａｂｌｅｓ．ｒａｄｉａｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ
ｕｓｅｆｕｌ ｔｏｏｌｓ．Ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｎｌｅ ｆｏｒｍ妒（０ｘ一州Ｉ，）ｆｏｒ ｖｅｃｔｏｒｓ ｘ，ｙ∈Ｒ“ｗｉｔｈ ａ ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ妒ｄｅｆｉｎｅｄ ｏｎ【ｏ，∞）ａｎｄ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｎｏｒｍ№ｏｎ Ｒ ｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｌｏｗｓ ｔｏ ｗｏｒｋ
ｅ衔ｃｉｅｎｔｌｙ ｆｏｒ １ａｒｇｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ反ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｏｉｌｓ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｓｅｔｔｉｎｇ ｄｏｗｎ ｔｏ ａ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ．
田６ＬｉＳ ｔｈｅｓｉｓ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｆｏｕｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ Ｃｈａｐｔｅｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ＲＢＦ．
Ｃｈａｐｔｅｒ ２ ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ＲＢＦ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ＲＢＦ．ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ＲＢＦＳ．ＲＢＦ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉＯＩＩＳ ｏｆ ＲＢＦ．Ｃｈａｐｔｅｒ
２．１径向基函数
据Ｅ．Ｍ．Ｓｔｅｉｎ和Ｇ．Ｗｅｉｓｓ的定义，径向函数（ｒａｄｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）就是满足（［２】）：如果 ＩＩ而１１４１ ｘ２¨，那么妒（而）＝妒（而）的函数驴．即，仅依赖于产ｌＩ ｘＩＩ的函数．（注：本文中的范数皆 为Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数１
函数的一个发展，样条小波是小波基的一个重要的组成部分小波基一般说来也只适用于
网格数据的情形，而很难处理多元散乱数据问题．
在实际应用中，我们经常会碰到高维的问题．譬如股票走势模拟就可能是一个几百个 变元的问题．如果这个问题还是散乱数据的，对函数空间及函数基来说都是一个非常困难 的问题．
如何在多元情形下选取函数空间及其基底呢？
大连理工大学 硕士学位论文 径向基函数及其应用 姓名：李艳 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：朱春钢
20090625
大连理工大学硕士学位论文
摘要
径向基函数（Ｒａｄｉａｌ Ｂａｓｉｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ）是处理多元问题的～种有效方法。实质上，它是
通过定义在【ｏ，栅）上的一元函数驴与ＲＪ上的欧几里德范数№来表示ｄ元函数 ≯（忙一川，），其中ｘ，Ｙ∈Ｒｄ。因此用径向基函数来处理多元问题具有效率高，以及在计
算机中储存方便与运算简单的wenku.baidu.com点。径向基函数在计算几何、微分方程数值解、神经网 络等方面有着广泛的应用。近年来，Ｓｃｈａｂａｃｋ，Ｗｅｎｄｌａｎｄ，ＰｏｗｅＵ。Ｂｅａｓｔｏｎ，吴宗敏等国内 外学者对径向基函数的理论与应用进行了系统的研究。
散乱数据拟合一直是计算几何研究的焦点内容之一，本文主要介绍径向基函数的基 本理论及其在散乱数据插值与拟合中的应用。对常用的Ｇａｕｓｓ函数与Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｃ函数 列举大量实例，对其参数进行分析与比较，并对Ｍｕｌｔｉ．Ｑｕａｄｒｉｅ函数拟插值在数值积分与 微分中的应用进行了尝试。
３ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ．．Ｑｕａｄｒｉｃ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｇ ｑｕａｓｉ．．ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ
ｏｌ，ｅｍｔｏｒｓ．１１１ｅ ４．ｔｈ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｄｅｖｏｔｅｄ ｔＯ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ＲＢＦ ｉｎ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｆｉｔｔｉｎｇ．
ａｎｄ ｔｈｅ ｑｕａｓｉ．ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｒａｄｉａｌ Ｂａｓｉｓ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；Ｍｕｌｔｉ—Ｑｕａｄｒｉｃ；Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｑｕａｓｉ—ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ； Ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｄａｔａ ｆｉｔｔｉｎｇ