椭圆与双曲线

椭圆与双曲线

椭圆与双曲线

一、知识网络

二、高考考点

1、椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；

2、有关圆锥曲线的轨迹的探求；

3、直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；

4、圆锥曲线的探索性问题或应用问题；

5、以圆锥曲线为主要内容的综合问题；

6、数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。

三、知识要点椭圆Ⅰ 定义与推论

1、定义1的的认知设M

为椭圆上任意一点，

分别为椭圆两焦点，

分别为椭圆长轴端点，则

有

明朗的等量关系：

隐蔽的不等关系：

，

2、定义2的推论

根据椭圆第二定义，设

为椭圆

上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：由此导出椭圆的焦点半径公式：

Ⅱ 标准方程与几何性质

1、椭圆的标准方程

中心在原点，焦点在x

轴上的椭圆标准方程①

中心在原点，焦点在y

轴上的椭圆标准方程

②

标准方程①、②中的a、b、c

具有相同的意义与相同的联系：

标准方程①、②统一形式：

2

、椭圆的几何性质

范围：

对称性：关于x轴、y轴及原点对称

顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义），长轴2a，短轴2b离心率：

刻画椭圆的扁平程度

准线：左焦点

对应的左准线

右焦点

对应的右准线

椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为；

中心到准线的距离为

Ⅲ 挖掘与引申

；焦点到相应准线的距离为、

1、具特殊联系的椭圆的方程

共焦距的椭圆的方程

且

同离心率的椭圆的方程

且

2、弦长公式：

设斜率为k的直线l

与椭圆交于不同两点

则

；

，

或

双曲线Ⅰ、定义与推论

1、定义1的认知

。

设M

为双曲线上任意一点，点，则有：

明朗的等量关系：

隐蔽的不等关系：

2、定义2的推论

分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端，

设右焦点，则有

为双曲线

上任意上点，分别为双曲线左、

，其中，为焦点

到相应准线li

的距离

推论：焦点半径公式当点M

在双曲线右支上时，当点M

在双曲线左支上时，

Ⅱ、标准方程与几何性质

3、双曲线的标准方程

；

。

中心在原点，焦点在x

轴上的双曲线标准方程为

①

中心在原点，焦点在y

轴上的双曲线标准方程为

标准方程①、②中的a、b、c

具有相同的意义与相同的联系：

标准方程①、②的统一形式：

②

或：

椭圆与双曲线标准方程的统一形式：4

、双曲线范围：

的几何性质

对称性：关于x轴、y轴及原点对称顶点与轴长：顶点

离心率：

准线：左焦点

对应的左准线

；右焦点

对应的右准线

双曲线共性：准线垂直于实轴；

两准线间距离为；

中心到准线的距离为

；

焦点到相应准线的距离为

渐近线：双曲线的渐近线方程：Ⅲ、挖掘与延伸

1、具有特殊联系的双曲线的方程或：

椭圆与双曲线标准方程的统一形式：4

、双曲线范围：

的几何性质

对称性：关于x轴、y轴及原点对称顶点与轴长：顶点

离心率：

准线：左焦点

对应的左准线

；右焦点

对应的右准线

双曲线共性：准线垂直于实轴；

两准线间距离为；

中心到准线的距离为

；

焦点到相应准线的距离为

渐近线：双曲线的渐近线方程：

Ⅲ、挖掘与延伸

1、具有特殊联系的双曲线的方程

对于双曲线

当λ+μ为定值时，为共焦点的双曲线方程：c2=λ+μ;当

为定值时，为共离心率亦为共淅近线的双曲线方程：

；

以直线为渐近线的双曲线方程为：

特别：

与双曲线

2、弦长公式

设斜率为k的直线l

与双曲线交于不同两点

共渐近线的双曲线的方程为：

则

经典例题

1、

若椭

圆。

的一个焦点是，则a等于

已知椭圆

的焦点为F

1、F2，点P

是其上的动点，当

为钝角时，

点P的横坐标的取值范围为。分析：

从此椭圆的标准方程切入。

由题设知已知得：

这里

由此解得

这里a=3, b=2, c=

①

∴以线段F1F2

为直径的圆的方程为

设

又由∴

，则由点P

在椭圆上得：

为钝角得：

②

由①、②联立，解得：

∴ 所求点P

横坐标的取值范围为

点评：注意到点P对

的大小的影响可用点P

与圆

推出

相对位置关系来反

的范围，请同学们尝试和比

映，故选择这一解法。当然，本题亦可由较。

2、

已知

为椭圆的两个焦点，过

的直线交椭圆于P、Q

两点，

且

，求椭圆的离心率。

分析：不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意

到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。

解：设椭圆方程为