椭圆与双曲线
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
椭圆与双曲线的性质对比
椭圆与双曲线的性质对比椭圆和双曲线是二次曲线的两种重要形式。
它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将对椭圆和双曲线的性质进行比较分析。
一、定义与基本方程1. 椭圆椭圆可以由平面上到两个给定点的距离之和恒定于常数的点构成。
这两个点称为椭圆的焦点。
椭圆的基本方程为：(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
2. 双曲线双曲线可以由平面上到两个给定点的距离之差恒定于常数的点构成。
这两个点也称为双曲线的焦点。
双曲线的基本方程为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。
二、形状与图像椭圆和双曲线在几何形状上有明显的差异。
1. 椭圆椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于椭圆形。
所有椭圆上的点到椭圆的两个焦点的距离之和始终等于常数。
因此，椭圆的图像是有界的。
2. 双曲线双曲线是一个开放的曲线，其形状类似于双曲线形。
所有双曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之差始终等于常数。
因此，双曲线的图像是无界的。
三、焦点与离心率1. 焦点椭圆和双曲线都有焦点，但它们在位置上有一定的差异。
对于椭圆而言，焦点位于椭圆的中心轴上。
而对于双曲线而言，焦点位于双曲线的中心轴之外。
2. 离心率离心率是衡量椭圆或双曲线扁平程度的指标。
离心率的计算公式为：e = √(a² - b²) / a在椭圆中，离心率的值介于0和1之间（0≤ e < 1）。
离心率越接近0，椭圆的扁平程度越高。
而在双曲线中，离心率的值大于1（e > 1）。
离心率越大，双曲线的扁平程度越高。
四、对称性与渐近线1. 对称性椭圆和双曲线都具有对称性。
双曲线和椭圆知识点汇总
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆与双曲线知识点集合
椭圆与双曲线知识点集合椭圆和双曲线是平面内的两种点的轨迹。
椭圆是指与两个定点F1和F2的距离的和等于常数（大于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为椭圆的焦点。
双曲线是指与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值等于常数（大于且小于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为双曲线的焦点。
椭圆和双曲线的定义中，参数2a的范围限制符号不同。
对于椭圆，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；对于双曲线，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。
标准方程是表示椭圆和双曲线的一种方式。
在求标准方程时，一定要考虑焦点位置，即焦距|F1F2|=2c。
椭圆和双曲线的长轴和短轴的长度关系为a2=b2+c2和c2=a2+b2.几何含义是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。
椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，椭圆没有渐近线，双曲线有两条渐近线。
椭圆和双曲线的顶点和长轴、短轴的长度可以通过求解标准方程得到。
长轴和短轴分别被称为实轴和虚轴，实轴的长度为2a，虚轴的长度为2b。
离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个参数，其取值范围为c∈(0,1)和c∈(1,∞)。
离心率越大，椭圆或双曲线越扁，离心率越小，椭圆或双曲线越圆（椭圆）或开口越小（双曲线）。
在平面内，对于一个点到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e。
这是第一定义。
第二定义是，对于平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（<e<1）的点的轨迹是椭圆，其中F在l外。
F是椭圆的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
同样地，当常数（ee1）时，点的轨迹是双曲线。
F是双曲线的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。
焦点可以在x轴上或y轴上。
椭圆的准线在两侧，而双曲线的准线在两支之间。
准线方程如下：左准线x a2/c，右准线x a2/c下准线y c2/b，上准线y c2/b左焦半径|PF1|a ex，右焦半径|PF2|a ex下焦半径|PF1|a ey，上焦半径|PF2|a ey左焦半径|PF1||a ex|，右焦半径|PF2||a ex| 下焦半径|PF1||a ey|，上焦半径|PF2||a ey| 焦准距p b2/c焦半径公式是焦半径取值范围[a-c,a+c]左焦点弦|AB|2a e(x1x2)，右焦点弦|AB|2a e(x1x2)下焦点弦|AB|2a e(y1y2)，上焦点弦|AB|2a e(y1y2)左|AB||2a e(x1x2)|，右|AB||2a e(x1x2)|下|AB||2a e(y1y2)|，上|AB||2a e(y1y2)|焦点弦为长轴时最长，长为2a；焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；同侧焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；异侧焦点弦为实轴时最短，长为2a。
椭圆和双曲线的标准方程
椭圆和双曲线的标准方程椭圆和双曲线是解析几何中常见的曲线，它们在数学和物理学中有着重要的应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的标准方程，帮助读者更好地理解和运用这两种曲线。
首先，让我们来看看椭圆的标准方程。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
通过这个标准方程，我们可以推导出椭圆的各种性质和特点，进而进行相关的数学推导和计算。
接下来，让我们转而来看看双曲线的标准方程。
双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\]同样地，a和b分别表示双曲线的长半轴和短半轴。
通过这个标准方程，我们也可以推导出双曲线的各种性质和特点，进行相关的数学推导和计算。
椭圆和双曲线作为解析几何中的重要内容，其标准方程的推导和运用都是数学学习中的重点和难点。
通过本文的介绍，相信读者对椭圆和双曲线的标准方程有了更清晰的认识，能够更好地应用于相关的数学问题中。
总结一下，椭圆和双曲线的标准方程分别为\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]和\[\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\]。
通过这些标准方程，我们可以推导出椭圆和双曲线的各种性质和特点，帮助我们更好地理解和运用这两种曲线。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，也希望大家能够在学习和工作中善于运用数学知识，不断提升自己的数学水平。
谢谢大家的阅读！。
椭圆与双曲线的基本概念
椭圆与双曲线的基本概念椭圆与双曲线是数学中重要的曲线形状，它们在几何学、物理学以及工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆与双曲线的基本概念，并讨论它们的特性和性质。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
椭圆的形状由焦距和椭圆上各点到两个焦点的距离之和确定。
椭圆还有一个重要的参数，即椭圆的长轴和短轴。
长轴是椭圆上距离两个焦点最远的两个点之间的距离，而短轴是椭圆上距离长轴两端点最近的两个点间的距离。
椭圆还具有一个重要的特性，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴。
这一性质称为椭圆的焦点定理，它是椭圆的基本定律之一。
二、双曲线的基本概念双曲线是平面上一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
这两个给定点也称为焦点，它们之间的距离称为焦距。
双曲线的形状由焦点和椭圆上各点到两个焦点的距离之差确定。
与椭圆类似，双曲线也有长轴和短轴。
长轴是双曲线上距离两个焦点最远的两个点之间的距离，而短轴是双曲线上距离长轴两端点最近的两个点间的距离。
双曲线的一个重要特性是横轴上的两个顶点到两个焦点的距离之和等于双曲线的长轴。
这一性质与椭圆的焦点定理类似，是双曲线的基本定律之一。
三、椭圆与双曲线的相似之处椭圆与双曲线在形状与性质上有相似之处。
它们都是由两个焦点和一条关于这两个焦点的几何规则确定的曲线。
椭圆和双曲线都有焦点定理，它们上的任意一点到两个焦点的距离之和都有相应的关系。
四、椭圆与双曲线的不同之处椭圆与双曲线在形状与性质上也存在一些差异。
首先，它们的焦点定理所涉及的距离条件不同，椭圆是求和，而双曲线是求差。
其次，椭圆与双曲线的长轴和短轴之间的关系也不相同，椭圆的长轴大于短轴，而双曲线的长轴则小于短轴。
五、应用领域椭圆和双曲线在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
在天文学中，行星轨道的形状可以用椭圆来描述；在无线通信中，天线的信号覆盖范围常常采用双曲线模型来表示。
椭圆与双曲线
椭圆与双曲线椭圆与双曲线是数学中重要的曲线类型，它们在几何学、物理学等领域拥有广泛的应用。
椭圆和双曲线的定义以及特性是我们接下来要探讨的主题。
一、椭圆的定义与特性椭圆是由一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
该常数2a被称为椭圆的长轴，2b被称为椭圆的短轴，且b^2 = a^2 - c^2。
其中，焦距c等于椭圆的长轴与短轴之间的距离。
椭圆具有以下的特性：1. 椭圆上的任意一点到焦点F及到另一个焦点F'的距离之和相等，等于常数2a。
2. 椭圆的离心率等于焦距与长轴之比，即e = c/a，且e < 1。
3. 椭圆的中点为原点O，对称轴为x轴和y轴。
4. 椭圆可以通过参数方程(x = a cosθ, y = b sinθ) 来表示。
二、双曲线的定义与特性双曲线是由一个固定点F（焦点）和到该点的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
该常数2a被称为双曲线的距离差，也是双曲线的长轴。
双曲线具有以下的特性：1. 双曲线上的任意一点到焦点F及到另一个焦点F'的距离之差相等，等于常数2a。
2. 双曲线的离心率大于1，即e = c/a，且e > 1。
3. 双曲线的中点为原点O，对称轴为x轴和y轴。
4. 双曲线可以通过参数方程(x = a secθ, y = b tanθ) 来表示。
三、椭圆与双曲线的应用椭圆与双曲线在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 天体的轨道：行星、彗星等天体的轨道大多为椭圆或双曲线。
椭圆轨道表示行星等天体绕着太阳运动，而双曲线轨道表示彗星等天体从远离太阳的地方接近太阳，然后再远离。
2. 天体测量：椭圆和双曲线在测量天体的位置、速度和质量等方面有着广泛的应用。
例如，通过观测行星轨道的椭圆形状和参数，可以计算出行星的质量和轨道周期等信息。
3. 摄影测量：在航空摄影和卫星影像解译中，椭圆与双曲线用于描述地球表面的特征、地物形态和地形测量等。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
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椭圆与双曲线椭圆与双曲线一、知识网络二、高考考点1、椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2、有关圆锥曲线的轨迹的探求；3、直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4、圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5、以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6、数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点椭圆Ⅰ 定义与推论1、定义1的的认知设M为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则有明朗的等量关系：隐蔽的不等关系：，2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：由此导出椭圆的焦点半径公式：Ⅱ 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程①中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程②标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：标准方程①、②统一形式：2、椭圆的几何性质范围：对称性：关于x轴、y轴及原点对称顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义），长轴2a，短轴2b离心率：刻画椭圆的扁平程度准线：左焦点对应的左准线右焦点对应的右准线椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为；中心到准线的距离为Ⅲ 挖掘与引申；焦点到相应准线的距离为、1、具特殊联系的椭圆的方程共焦距的椭圆的方程且同离心率的椭圆的方程且2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点则；，或双曲线Ⅰ、定义与推论1、定义1的认知。
设M为双曲线上任意一点，点，则有：明朗的等量关系：隐蔽的不等关系：2、定义2的推论分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端，设右焦点，则有为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、，其中，为焦点到相应准线li的距离推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，当点M在双曲线左支上时，Ⅱ、标准方程与几何性质3、双曲线的标准方程；。
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为①中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：标准方程①、②的统一形式：②或：椭圆与双曲线标准方程的统一形式：4、双曲线范围：的几何性质对称性：关于x轴、y轴及原点对称顶点与轴长：顶点离心率：准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为渐近线：双曲线的渐近线方程：Ⅲ、挖掘与延伸1、具有特殊联系的双曲线的方程或：椭圆与双曲线标准方程的统一形式：4、双曲线范围：的几何性质对称性：关于x轴、y轴及原点对称顶点与轴长：顶点离心率：准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为渐近线：双曲线的渐近线方程：Ⅲ、挖掘与延伸1、具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线当λ+μ为定值时，为共焦点的双曲线方程：c2=λ+μ;当为定值时，为共离心率亦为共淅近线的双曲线方程：；以直线为渐近线的双曲线方程为：特别：与双曲线2、弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点共渐近线的双曲线的方程为：则经典例题1、若椭圆。
的一个焦点是，则a等于已知椭圆的焦点为F1、F2，点P是其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围为。
分析：从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得：这里由此解得这里a=3, b=2, c=①∴以线段F1F2为直径的圆的方程为设又由∴，则由点P在椭圆上得：为钝角得：②由①、②联立，解得：∴ 所求点P横坐标的取值范围为点评：注意到点P对的大小的影响可用点P与圆推出相对位置关系来反的范围，请同学们尝试和比映，故选择这一解法。
当然，本题亦可由较。
2、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于P、Q两点，且，求椭圆的离心率。
分析：不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解：设椭圆方程为，则由为等腰得：又由椭圆第一定义得∴∴即注意到∴∴即的周长为4a① 为，② ②′因此，①代入②′得由此解得∴点评：这里对条件运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出①，第二项用于导出②；两次运用用为条件：第一次利用为等腰表示出，第二次利导出②′。
充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。
3、已知双曲线，成等比数列且的左、右两个焦点为，求双曲线方程。
，P为双曲线上的点，又分析：这里要求b的值。
注意到的方程或不等式。
由题设得，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。
因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。
解：这里∵，即，∴ 点P在双曲线右支上设点，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得又由题设得∴①代入②得再注意到由∴∴即于是③、④得而①②③得，④⑤，所以由⑤得b=1因此，所求双曲线方程为：点评：这里对已知条件的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P 导出点P横坐标存在的在双曲线右支上；第二次“细”用，利用范围：。
粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。
4、设椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，的最大值为。
求椭圆的离心率；设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。
分析：中的最大值为的最小值为，循着特殊的最小值切与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。
解：设则在= ，中由余弦定理得，中运用余弦定理推导，即①∴的最小值为又由题设知的最大值，即的最小值为∴∴即 a=2b∴由已知椭圆方程为②由题设知直线l不垂直于x轴设直线l 的方程为设则由直线l与圆将③代入②得：∴④代入⑤得相切得：⑤④③∴ 直线l与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得：∴，⑥∴∴ 由题设得）⑦∴ a=2b=4 ⑧进而由④得，即⑨因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为直线l的方程为或，点评：这里导出的①式为此类问题的共同基础：设P为椭圆上任意一点，，则最小值为据此若的最大值为，则；若的最大值为，则；若的最大值为，则。
5、已知斜率为1的直线l与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R，且的双曲线，交于P、Q，求直线和双曲线方程。
分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。
解：由得，①，直线l的方程为②∴ 双曲线方程为设将②代入①得对于方程③，③ 恒成立由韦达定理得∵∴即④ ⑤由此得又由题设得，故得⑥∴由④、⑥联立解得将⑦代入⑤得再注意到∴将⑦、⑧代入⑨得解得∴，⑦⑧ 得⑨⑩因此，由①，②得所求双曲线方程为所求直线方程为点评：，关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。
于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。
在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。
这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式→转化→代入→结论⑧；）→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。
求点P的轨迹C的轨迹方程；若直线试求m的取值范围。
分析：对于，从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于，此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解：由已知得∴由得，与曲线C交于A、B两点，D，且有，，得∴ 所求点P的轨迹C的方程为：设则将l的方程代入①得，弦AB的中点①，②由题意得③且④∴即中点M的坐标为注意到点D在弦AB的垂直平分线上∴∴于是将⑤代入③得）⑤ 或⑥此时再注意到由⑤得⑦于是由⑥、⑦所求m的取值范围点评：认知已知条件，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里，为k的二次函数，又由这里，故。
因此可解关于k的二次函数m的取值范围：知这一些，便会导出。
这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认的错误结果。
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