大物上海交大课后答案第七章

习题7

7-1 ?如图所示的弓形线框中通有电流

I ，求圆心o 处的磁感应强度 B 。

d B

(2)因为Bf,随x 变化，变化率为

，若此变化率在x = 0处的变化最缓慢，则 O 点处的

dx

磁场最为均匀，下面讨论0点附近磁感应强度随 x 变化情况，即对B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数:

(1 )左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：

B

0I R 2

B p1

3 ?

2[R 2 (| x)2] 2

2 右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：

B

UR 2

B P2

3 ，

2[R 2 (<-x)2]2

2

B P1和B P2方向一致，均沿轴线水平向右,

3

解：圆弧在0点的磁感应强度:

B i

吐，方向： ；

"_ 6R

直导线在0点的磁感应强度：B 2

%I 4 Rcos60°

[sin 60° - sin(-600)]二

，方向：：;

7-2 ?如图所示，两个半径均为 R 的线圈平行共轴放置，其圆心 O i 、。2相距为a ，在两线圈

中通以电流强度均为I 的同方向电流。

(1)以0i 02连线的中点0为原点，求轴线上坐标为 x 的任 意点的磁感应强度大小；

(2)试证明：当a =R 时，0点处的磁场最为均匀。

解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式:

SIR 2 2(R 2 z 2)'2

4 I R 2 "

<[R 2

+(x+a

)2]^+[R 2+(x-?)2「2 >;

? P 点磁感应强度:

B p = B P1 B P2 : 2

dB d x

3^0 I R 2 5 2 5 2 5 2 5 2

-2-[(X

+2)[R

+(x

+2)]2+(x v [R +(x L )]2

j

5 a _ 2 , a 、2 -2 5 a __ 2 , a 、2 *

???总场

方向：。

当x = 0时，

dx=0，可见在0点，磁感应强度B有极值。对B求二阶导数:

强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的 N 匝线圈，相对距离等于线圈 半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场， 比长直螺线管产生的磁场方便实验， 这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

7-3?无限长细导线弯成如图所示的形状，其中 C 部分是在xoy

7-4?在半径R - 1cm 的无限长半圆柱形金属片中， 有电流I - 5A 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点 P 处的磁感应强

F ?

度的大小。 q j : 解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为 dl =RdT 的长直电流，］| : dl d

日

有: di =竺=J ，利用 y S B di =%瓦 I 。

二 R

S

d dx dB

(贰

d 2B dx 2 =

d 2 B 当X =°时，d?

a 2 5

(X 2

)

5 -

7 ■

2

a n 2 a n 2 a 2 [R

(X 2)]2 [R

(X -) ]2

[R (x-2)]2

2 a 2 — R

2 X ^ = 3丄0 I R

7

，

-

[R 2

+€)2

F

a 2

5(X -2)

5 _ 7

2

[R 2+(x —号)2『

可见，当a R 时,

d 2B dx

2 Xz0

0 , O 点的磁感应强度 B 有极小值,

当a ::: R 时,

d 2B

dx^

d 2B

dx 2 X 卫：：：0 , O

点的磁感应强度 B 有极大值,

X^二0,说明磁感应强度 B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，

可看成匀

平面内半径为R 的半圆，试求通以电流 解：??? a 段对O 点的磁感应强度可用 Q I 时O 点的磁感应强度。

B dt = I 求得,

有: B a

b 段的延长线过O 点，B b =0 ,

卩0I

卩0I d %I = c 段产生的磁感应强度为：

B c

-

-，二B c

- k 4R

4R

4-1 ■卩0 I ■

则：O 点的总场强：B O

j + k ,方向如图。

在P点处的磁感应强度为:

A0dl 40ld 日

??? dB x二dBsin 叮sin 知，而因为对称性，0

2兀2R

卩I 兀[-1 I

那么，B =B x 二dB x 02厂n sinrd 二'2 6.37 10~T。

2 兀R 0JT R

7-5.如图所示，长直电缆由半径为R i的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小(0 ：：：

r ：：：：:)o

解：利用安培环路定理「S& d^ I分段讨论。

(1 )当0汀时，有: 二r2|

? B i

SIr ；

2 二

R2；

t叫

I

(2)当R—r—R?时，有：B22「：r-」0I , ? B2二0;

2兀r 算r2-

兀R；(3 )当R2 乞心R3 时，有：B3 2 二r 二J0(I 2 2I )，

兀R3一兀R2…B3

(4)当r R3 时，有：B4 2二 ^ -0 (I - I) ,? B^0 o

则:

fAlr

2

2兀R i

严

B= 2二r

「r 2 2

%l R3 -r

2 兀r R2 -R2

(0 ::: r

(R i ^r ER?)

(R2岂r乞只

3)

(r R3)

l=0.i5m的立方体如图放置在均匀磁场

7-6 . 丁边长为

B=(6i 3j i.5k)T中，计算(i)通过立方体上阴影面积的磁通量；

(2 )通过立方体六面的总磁通量。

解：(i)通过立方体上(右侧)阴影面积的磁通量为

H H N N N 亠

：：扁=B dS 二(6i 3j i.5k) dSi =6 . dS = 6 0.i52 = 0.i35Wb

2

(2)由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理, 上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为 0。

7-7.—根很长的直导线，载有电流 10A ，有一边长为1m 的正方形平面与 直导线共面，相距为1m ,如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。

解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条， 对距离直导线为x 宽度 为dx 的窄条，通过的磁通量为

d ：'；'：m = Bldx

01

1 dx 01 dx 2x

2 二x

通过整个正方形平面的磁通量为

2 卩

I k I 6 0

dx 二 0 In 2 =1.4 10」Wb 1

2nx 2 兀

7-8.如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流

I^20A ，线

圈中通有电流|2 =10A ,已知d=1cm,b=9cm,l=20cm ,求矩形线圈上所受到的 合力是多少？

解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。 矩形线圈左边所受的磁力为 F^ = 12IB^ = 12I 口 =8 10 *N 方向向左

2兀d

II

矩形线圈右边所受的磁力为

矩形线圈上所受到的合力为

—I 2 lB^ — I 2〔

2二（d b ）

=8 10 ^N 方向向右 F = F 1 - F 2 = 7.2 10* N 方向向左

7-9 .无限长直线电流 丨1与直线电流丨2共面，几何位置如图所示, 试求直线电流I ?受到电流丨1磁场的作用力。 解：在直线电流I 2上任意取一个小电流元I 2dl , 此电流元到长直线的距离为 x ，无限长直线电流I 1 在小电流元处产生的磁感应强度为：

%I

d x

再利用dF = I Bdl ，考虑到dl

0，有: cos600

dF

I 1I dx cos600

^l 0

I 1I

2

dx -a 2 x

cos600

II

7-12.截面积为S 、密度为「的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴

OO ?转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为 I 时，导线离开原来

的竖直位置偏转一个角度二而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为 a ，质量为m , m aS 。 平衡时重力矩等于磁力矩：

由 M 二 p m B ，磁力矩的大小： M 二 Bia 2 sin(90° -)) = Bia 2 cos^ ；

a 重力矩为： M = mga sin 2mg —sin )- 2mga sinT

7-10. 一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。 解：设半圆柱面导体的线电流分布为

i =上，

兀R

如图，由安培环路定理，i 电流在0点处产生的磁感应强度为:

dB — Rdr ，

2JT R

亠仆

％iR 兀 ％I i

可求得：B O 二 dB y - si nr dr 二

? ,y 2兀 R

兀 2R

又??? dF =I d^ B ,

故 d F 二 B O l 2dl 二 J

-I i I

dl ,

有：f

dF %I i I

dl 7：2R

，而I

所以：f

dF dl

n 2R

7-ii ?有一根U 形导线，质量为 m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为 B 的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时， U 导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度

h 计算电流脉冲的电荷量 q 。

解：接通电流时有 F =Bll = m dV

-BIl ,而I

,

dt

dt

则：mdv = Bl dq ，积分有:

v

m , mv q

dv = 0

Bl Bl

又由机械能守恒:

mv 2 二 mgh ，有:

X| X X X I M X

X X

X X X X X X

2

平衡时：BI a 2 COST -2mgasin 二,

7-13 .在电子显像管的电子束中，电子能量为 12000eV ，这个显像管的取向使电子水平地由

南向北运动。该处地球磁场的竖直分量向下，大小为 5.5 lO^T 。问：

（1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？

思考题

7-1 .在图（8）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路 L 1、L 2，圆周内有电流丨1、丨2， 其分布相同，且均在真空中，但在（ b ）图中L 2回路外有电流I 3, R 、P 2为两圆形回路 上的对应点，则： la I

（2 ）电子的加速度是多少？

（3 ）电子束在显像管内在南北方向上通过 20cm 时将偏离多远?

解：（1）根据f 二qV B 可判断出电子束将偏向东。 利用E = 1 mv 2 2

(2)

=qvB = ma ，

(3)

= 6.28 1014m S

北 电子束方向

U

B

7-14?如图所示，一个带有电荷 q （q ?0）的粒子，以速度 V 平行于均匀 带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为 丸（乙＞0），并载有传导 电流I 。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离 为d 的平行线上？

解：由安培环路定律 C B ?dF 二 J 0I 知: 、 亠 、、 、

电流I 在q 处产生的磁感应强度为：

B 一，方向：川；

2兀d

qv?0l

运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小： 冃各=qv B

—， 2兀 d

同时由于导线带有线电荷密度为

■，在q 处产生的电场强度可用高斯定律求得为:

E

， q 受到的静电场力方向向右，大小:

2二；0 d

2二；0d

欲使粒子保持在一条与导线距离为 d 的平行线，需F 洛=F 电,

即:

qv%I

2 - d

q ， 2二；

可得

(A )Q B d l 二］B d l,B P =B P 2 ； (B)^’ B d l 鼻［I? B d l,B p = B ;

O