量子力学周世勋第三章习题

−∞
∞
−∞
2 2 2 ∫ ψ ( x ) ⋅ μω x dx = μω ⋅ 2
1 2
1 2
α π
∞
−∞
∫xe
2 −α 2 x 2
dx
=
1 α 1 π 1 2 1 1 2 = 1 ⋅ = μω 2 = μω ⋅ = =ω μω 2 ⋅ 2 α 4 μω 4 π 2 α3 4
(2) 动量的几率分布函数
1 C ( p ) = ∫ ψ ( x )ψ ( x ) dx = 2π = −∞
同样地,有
e4 ∂E1 1 1 =− 2 2= ∂μ T =
μ e4
2= 2
=
e2 2a0
ˆ ∂H 2e 2 =− = U ∂e r e ∂E1 4 μ e3 =− ∂e 2= 2
这样根据费曼的方法,有
⎛ 4 μ e3 ⎞ 4 μ e3 1 ⎜− 1 = − 2 ⎟ 2= 2 ⎝ 2= ⎠ μ e4 4 μ e3 e2 ⎛2 ⎞ ⇒ = − = − 1⎜ U⎟1 =− , U =2 2= 2 a0 ⎝e ⎠ 1
(e )
imϕ *
= e −imϕ
另外球坐标中的梯度算符为
∇ = er
∂ 1 ∂ 1 ∂ + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
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则电流密度的径向分量 J r 为：
Jr = = − =
⎫ i= ⎧ m m − imϕ ⎡ dRnl (r ) ⎤ N lm Pl (cos θ )e imϕ ⎬ ⎨ Rnl (r )N lm Pl (cos θ )e ⎢ ⎥ 2μ ⎩ ⎣ dr ⎦ ⎭
⎛ 1 2 ⎞ ⎜ 2− ⎟ dr ⎝ a0 a0 r ⎠
15
∞ a0 ∞ − x ⎤ 2= 2 ⎡ a0 2 − x − x e dx xe dx ⎥ 2 ⎢ ∫ 2 ∫ μ a0 0 ⎣8 0 ⎦ 2 2 2 2= ⎛ a a ⎞ = e =− 2⎜ 0 − 0⎟= = 2 μ a0 ⎝ 4 2 ⎠ 2μ a0 2a0
⎫ i= ⎧ m m imϕ ⎡ dRnl (r ) ⎤ N lm Pl (cos θ )e −imϕ ⎬ ⎨ Rnl (r )N lm Pl (cos θ )e ⎢ ⎥ 2μ ⎩ ⎣ dr ⎦ ⎭
i= ⎛ ∂ * ∂ ⎞ * ⎜ψ nlm ψ nlm − ψ nlm ψ nlm ⎟ 2μ ⎝ ∂r ∂r ⎠
∞
2
−∞
∫e
2
−
α2 ⎛
ip ⎞ ⎜ x+ ⎟ 2 ⎝ =α 2 ⎠
ip ⎞ ⎛ d⎜x+ ⎟ =α 2 ⎠ ⎝
= =
所以
− α e 2= α 32 2π = p
2
2
2
i − ωt 2
∞
⋅
α
−∞
∫e
− y2
dy
1
πα =
2
e
−
p2 i − ωt 2 = 2α 2 2
C( p) =
(3) 动能的平均值 T =
1
π α=
e
−
p2
α 2=2
p2 2μ
∞ ∞ p2
− 2 2 2 1 2 1 1 1 T = p = C ( p ) p 2 dp = ⋅ e α = p 2 dp ∫ ∫ 2μ 2μ −∞ 2 μ πα = −∞
=
2 α 2 =2 π 1 1 1 ⋅ ⋅ α 3 =3 ∫ y 2 e − y dy = = =ω 2 μ πα = 4 2μ π 2 −∞
* px
∞
∞
−∞
∫ ψ ( x) e
dx dx
2
i − px =
dx
1 = ⋅ 2π = 1 = ⋅ 2π =
α π
∞
−∞
∫e
−
α 2 x2 i
2
i − ω t − px 2 =
e
∞ − i ωt ⎜x α −2 2 ⎝ e e ∫ π −∞ p2
2
α2 ⎛
2
+2
ip ⎞ x⎟ =α 2 ⎠
i − − ωt α 2 = e ⋅ e 2= α 32 2π =
3.2. 氢原子处在基态ψ (r ,θ ,ϕ ) = (1) r 的平均值;
1 =ω 2
1
3 πa0
e
−
r a0
,求:
e2 的平均值; (2) 势能 − r
(3) 最可几半径; (4) 动能的平均值; (5) 动量的几率分布函数. 解: (1) r 的平均值:
− 1 r = ∫∫∫ψ ( r ) r ⋅ r drd Ω = 4π ⋅ 3 ∫ r 3e a0 dr π a0 0
2rΒιβλιοθήκη −x ∫ xe dx = − 0
e2 a0
电子在半径为 r 的球面上的几率为
W (r ) = ψ (r )
求上式对 r 的导数
2
1 − r = 3 e a0 r 2 πa0
2
2r
2r
d 1 ⎛ 2r 2 ⎞ − a0 W ( r ) = 3 ⎜ 2r − ⎟e dr a0 ⎠ π a0 ⎝
令上式等于零, 则可求得最可几半径为:
r ⎧ 1 − ⎪ a0 = 4π ∫ ⎨ e 3 π a 0⎪ 0 ⎩ ∞
r − ⎫ ⎡ =2 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞⎤ 1 a0 ⎪ 2 e ⎬ r dr ⎢ − 2 μ r 2 ∂r ⎜ r ∂r ⎟ ⎥ 3 ⎝ ⎠ ⎦ π a0 ⎣ ⎪ ⎭ 2r
∞ 1 ⎛ = 2 ⎞ 2 − a0 = 4π − ⎟∫r e 3 ⎜ π a0 ⎝ 2μ ⎠ 0
根据费曼方法, 有
0
这样, 便有
∂E0 2 ˆ 1 0 = ω T 0 = 0 = ∂= 2 ˆ 0 = 1 =ω T = 0T 4
从以上两例, 可以看到:利用费曼方法,可以非常简捷地得到所要的结果.这种方法,在后面
14
还会用到. 此外,根据(1)与(3)两道小题,有
H = T +U = T +U =
ˆ , E , n 含有一参数 λ , 那么, 便有 其中 H n
ˆ n =E n H n
ˆ ∂H ˆ ∂ n = ∂En n + E ∂ n n +H n ∂λ ∂λ ∂λ ∂λ
于是有
n ˆ = n E , 得到 再根据 n H n
ˆ ∂H ˆ ∂ n = n ∂En n + n E ∂ n n + n H n ∂λ ∂λ ∂λ ∂λ n ˆ ∂En ∂H n = n n . ∂λ ∂λ
2 2
求解. 费曼方法求动能势能平均值. 动能平均值:
ˆ 2 e2 ˆ = p − H 2μ r
e2 μ e4 E1 = − =− 2 2a0 2=
于是有:
16
ˆ ˆ ˆ2 ∂H p T =− 2 =− ∂μ 2μ μ ∂E1 e4 =− 2 ∂μ 2=
这样根据费曼的方法,有
ˆ ˆ⎞ ⎛ T ∂H 1 1 = 1 ⎜− ⎟ 1 , ∂μ ⎝ μ⎠ ˆ⎞ ⎛ T e4 1 ⎜− ⎟ 1 = − 2 , ⇒ 2= ⎝ μ⎠
2
ω
U 0 = 0
∂E0 1 0 = = 2 ∂ω
(3) 因而
1 =ω 4 2 2 ˆ = − = d + 1 μω 2 x 2 . H 2 μ dx 2 2 U= 0U 0 =
ˆ ∂H = d 2 2 ⎛ =2 d 2 ⎞ 2 ˆ =− = ⎜− ⎟= T . μ dx 2 = ⎝ 2 μ dx 2 ⎠ = ∂=
解: 电流密度
2
而 J 为电子的几率流密度
J e = −eJ i= J= ψ∇ψ * −ψ *∇ψ ) ( 2μ
在球坐标系中电子运动状态函数为
ψ nlm = N lm Rnl ( r ) Pl m ( cos θ ) eimϕ
其中 Rnl , P l
m
( cos θ ) 均为实数， N lm 是实数，只有 e imϕ 是非实数，而
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态
ψ ( x) =
1 μω 2 x 2 ; 2
p2 . 2μ
∞
α π
1 2
e
−
α 2 x2 i
2
− ωt 2
,求
(1) 势能的平均值
U =
(2) 动量的几率分布函数; (3) 动能的平均值
T =
解: (1) 势能的平均值:
ˆψ ( x ) dx = U = ∫ ψ * ( x )U
当然有
ˆ ∂H ⎛2 ⎞ 1 = 1⎜ U⎟1 , ∂e ⎝e ⎠
H = T +U = T + U =
是自洽的. *3.3.
e2 e2 e2 − =− 2a0 a0 2a0
证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分量是
J er = J eθ = 0 e=m J eφ = − ψ nlm μ r sin θ
=−
(5) 动量的几率分布函数 欲求动量的几率分布,必须先将波函数按动量的本征函数展开.即
ψ (r ) =
C ( p )e 32 ∫ ( 2π = ) −∞
C ( p) =
1
∞
i p⋅r =
dp
其中
C ( p) =
ψ ( r )e 32 ∫ ( 2π = ) −∞
1
∞
i − p⋅r =
dτ
将氢原子的基态波函数代入得:
i= ⎛ m d m m d m ⎞ Rnl N lm Pl − Rnl N lm Pl Rnl N lm Pl ⎟ = 0 ⎜ Rnl N lm Pl 2μ ⎝ dr dr ⎠ 电流密度 θ 方向的 J θ 分量为 ⎫ i= ⎧ ⎡ d ⎤ m m imϕ Jθ = Pl (cos θ )⎥ e −imϕ ⎬ ⎨ Rnl (r )N lm Pl (cos θ )e Rnl (r )N lm ⎢ 2μ ⎩ ⎣ rdθ ⎦ ⎭ ⎫ i= ⎧ ⎡ d ⎤ m m −imϕ − Rnl (r )N lm ⎢ Pl (cos θ )⎥ e imϕ ⎬ = 0 ⎨ Rnl (r )N lm Pl (cos θ )e 2μ ⎩ ⎣ rdθ ⎦ ⎭ ∂ ∂ imϕ − imϕ 其实 J r = J θ = 0 是很显然的，因为 和 对 e ,e 不起作用，所以状态函数与实函数的 ∂r ∂θ