高中数学必修二第二章点直线平面间的位置关系

§1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质

1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：

⎭

⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．简单说成，不共线的三点确定一个平面． (1)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．

(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

用符号表示为：

⎭

⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ．

一、填空题

1．下列命题：

①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确的是________．

2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．

3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．

4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．

①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β； ②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；

③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ； ④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．

5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)

①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．

6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．

7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．

(1)AD/∈α，a ⊂α________． (2)α∩β＝a ，PD/∈α且PD/∈β________．

(3)a ⊄α，a ∩α＝A________． (4)α∩β＝a ，α∩γ＝c ，β∩γ＝b ，a ∩b ∩c ＝O________．

8．已知α∩β＝m ，a ⊂α，b ⊂β，a ∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________．

9．下列四个命题：

①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面； ④在空间两两相交的三条直线必共面． 其中正确命题的序号是________．

二、解答题

10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

1．2．2空间两条直线的位置关系

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．

2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．

3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角____ 或____．4．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

若两条直线所成的角是直角，则两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．

一、填空题

1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．

2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．

3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．

4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．

5．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是________．

6．有下列命题：

①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．

其中正确命题的序号为________．

7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．

8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

以上结论中正确结论的序号为________．

二、解答题

10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．

求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1．

11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

1.2.3 直线与平面的位置关系

1．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：

位置关系直线a在

平面α内

直线a与

平面α相交

直线a与

平面α平行

公共点有无数个公共点有且只有一个

公共点

没有公共点

符号

表示

a⊂αa∩α＝A a∥α

图形

表示

2．直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．

一、填空题

1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．