中考复习数学 圆、三角函数、相似的综合应用(含答案)
中考数学圆与相似综合题含详细答案
中考数学圆与相似综合题含详细答案一、相似1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD；（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP)（2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°∴tan∠CPQ= ,由①得AP=CQ,又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ，由②得∠CBQ=∠CPQ，∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= .【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答案.2．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线的解析式为（）∵，∴解得∴直线的解析式为∵抛物线经过点，∴解得∴（2）解：∵轴，则，∴，∵点是的中点∴∴解得，（不合题意，舍去）∴（3）解：∵，，∴，∴∵∴当与相似时，存在以下两种情况：∴解得∴∴ ,解得∴【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。
2020-2021中考数学 圆与相似 综合题附答案
2020-2021中考数学圆与相似综合题附答案一、相似1．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M 从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝ EM；（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.【答案】（1）证明：：∵ °, ° ,∴ °∵ ,∴∵∥ ,∴∴ °,∴过点作于点 ,则 .在中，∴∴（2）解：在中，，∴∵a.当点在线段上时，过点作于点 ,在中，由（1）可知：,∴∴∴b.当点在线段延长线上时，过点作于点在中， ,在中， ,∴ ,∴（3）解：连接 ,交于点 .∵为的中点∴ ,∴ .∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ .∵∥∴ ,∴ ,,∵ ,∴ ,又∵ ,∴∽ ,∴，即 ,∴【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H ,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I ,结合（1）中的结论MN=EM即可求解；②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点I '，解RtΔNI′M 和可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N'，由（2）中的计算可得MN、CD、MC的长，解直角三角形CDM可得∠DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=，根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN′=MD；则NC的长可求，由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,2．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P 是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标.【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴．∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2＋3m＋4）．①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴（舍去）或．当时，﹣m2＋3m＋4＝，此时点P的坐标为（）；②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m，由△AQP∽△AOC得：，即：，∴＝0（舍去）或＝，此时P点坐标为（）．综上所述：点P的坐标为（）或（）．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）．【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。
中考数学压轴专练专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题(教师版)
【典例分析】例 1 如图， AD 是△ABC 的外接圆⊙ O 的直径，点 P在 BC 延长线上，且满足∠ PAC=∠B．（1）求证： PA是⊙O 的切线；（ 2）弦 CE⊥AD 交 AB 于点 F，若 AF?AB=12 ，求 AC 的长．思路点拨（1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出∠CAD +∠ D=90°，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得∠ CAD + ∠PAC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；2）先判断出∠ B=∠ ACF ，进而判断出△ABC∽△ ACF，得出比例式即可得出结论．满分解答（ 2），，［来，DP，使∠ PDA＝∠ ADC．（1）求证： PD是⊙ O的切线；（2）若 AC＝3， tan∠ PDC ＝，求 BC 的长．思路点拨（1）求出∠ ODA+ ∠PDA=∠ADC+ ∠ DAO=9°0 ，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠ PDC= ∠DOC ，解直角三角形求出 = ，设 DC=4x ， OC=3x ，求出 3x+3=5x ，求出 x，即可得出答案．满分解答（ 1）证明：连接 OD∵OD=OA∴∠ ODA= ∠ OAD∵CD⊥AB 于点 C∴∠ OAD+∠ ADC=90°∴∠ ODA+∠ADC= 90°∵∠ PDA=∠ ADC ∴∠ PDA+∠ ODA =90° 即∠ PDO=90° ∴PD ⊥OD∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙ O 的切线例3已知：如图①，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点 D ，且AB=5，AD=4 ，在AD 上取一点 G ，点P 是折线 CB ﹣BA 上一动点，以 PG 为直径作⊙ O 交AC 于点E ，连结PE ． 1）求 sinC 的值；使 AG=（2）当点 P 与点B 重合时如图②所示，⊙ O 交边AB 于点F ，求证：∠ EPG=∠FPG ；（3）点 P 在整个运动过程中：①当 BC 或AB 与⊙ O 相切时，求所有满足条件的 DE 长；②点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P ′，当P ′恰好落在 AB 边上时，求 △OPP ′与△OGE 的（3）①⊙ O 与AB 相切有两种情况，与 BC 相切有一种情况，如图 3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函 数与勾股定理分别求解即可；②如图 3中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转 90°得到 P ， 当 P 恰好落在 AB 边上时，此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比满分解答 = × × ： ×× × 如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时， 连接 PE ，利用相似三角形的性质求得 7.AE= ，PE= ，即 GE=AE=25： 24 ；× × ×（2）如图 2 中，连接 GF,在 Rt△ABD 中， BD= =3 ，∵ BG 是直径，∴∠ BFG=∠ AFG=90° ，∴ FG= ，∵DG=AD ﹣AG=4 ﹣ = ，∴GD=GF ，∴∠ EPG= ∠FPG；（3）①如图 3中，当⊙ O与 BC相切时，作 OH⊥AB 于H，∴ GPC=∠ABC=90° ，∴GP∥AB，∴∠ CGP=∠ A，∴ sin ∠A=sin ∠ PGC，∴PC= ，∴ PG= =3，OH=PB=∴此时⊙ O 与 AB 相切，连接 PE，∵PG是⊙O 的直径，∴∠ PEC=∠CDB=9°0 ，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB ：BC，∴DE= ；如图 4中，当点 P 在 AB 上，⊙O 与 BC 相切时，设切点为 T ，连接 OT ， GH ，延长 TO 交GH 于N ，连接易证四边形 BTNH 是矩形，∴ AE= ， ∴DE=AD ﹣ AE=4﹣ = ；如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， GP ⊥ AB ，连接PH，∴ PA=PH+AH= ， [ 来源 :]PE ，∵PE ∥BD，当 P 恰好落在 AB 边上时，如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，满足条件；连接 PE ，∵PH=GH= ，AH=2 ，∴ PA= ，OP=OH= ， ∵PE ∥BD ， ∴PA ：AB=AE ：AD=PE ：BD ，=× × ： × × × =25 ：24；此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比 5=AE ： 4=PE ：3， ②如图 3 中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到 P ，∴ GE=AE ﹣ AG= ，∴△ OPP ′与△OGE 的面积之比 = × × ： × × × =25： 7； 综上所述，满足条件的 △OPP ′与△OGE 的面积之比为 25：24 或 25：7．例 4 如图，已知在 中， ， ， 是边 上一点，以 为圆心， 为半径的⊙ 与边 的另一个交点为 ，连结 、 ．1) 求△ABC 的面积；2) 设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；3) 如果 是直角三角形，求 的长．(1) 分别求出 BC 和BC 上的高； (2)作DM ⊥ AB 垂足为 M ，用含 x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ ADP ＝90° 和∠ PAD ＝ 90°两种情况求解 .满分解答(2) 如图，作 DM ⊥AB 垂足为 M ，（3） ∠ APD < 90 °，过 C 作CE ⊥AB 交 BA 的延长线于 E ，可得 cos ∠ CAE ＝. ∴ AE= ， PE= ，[ 来源:ZXXK]①当∠ ADP＝ 90°时，cos∠APD ＝cos∠CAE＝，则，解得 x＝；②当∠ PAD ＝ 90°时，，解得 x＝ .所以 PB 的值为或 .例 5 已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点， CP 切⊙ O 于 P，弦 PD⊥ AB 于 E ，过点 B 作 BQ⊥CP于Q，交⊙ O于 H，（1）如图 1，求证： PQ＝ PE；（2）如图 2，G是圆上一点，∠ GAB ＝ 30°，连接 AG交PD于F，连接 BF，若tan∠BFE＝3 ，求∠C的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下， PD＝6 ，连接 QC交BC于点M，求 QM的长．思路点拨（1）连接 OP，PB，由已知易证∠ OBP= ∠ OPB= ∠QBP，从而可得 BP平分∠ OBQ，结合BQ⊥CP于点Q， PE⊥AB 于点 E 即可由角平分线的性质得到 PQ=PE；（2）如下图 2，连接 OP，则由已知易得∠ CPO=∠PEC=90°，由此可得∠ C=∠ OPE，设 EF=x，则由∠ GAB=3°0 ，∠ AEF=90°可得 AE= ，在 Rt△BEF 中，由 tan∠ BFE= 可得BE= ，从而可得 AB= ，则OP=OA= ，结合 AE= 可得 OE= ，这样即可得到 sin∠ OPE= ，由此可得∠ OPE=30°，则∠C=30°；满分解答（1）如下图 1，连接 OP，PB，∵ CP切⊙ O于 P，∴OP⊥CP于点 P，又∵ BQ ⊥CP 于点 Q，∴OP∥BQ，∴∠ OPB=∠ QBP，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠ OBP，∴∠ QBP=∠OBP，又∵ PE⊥ AB 于点 E，在 Rt 中 ,tan∠ B FE=3 ∴∴∴∴∴在 Rt PEO 中,∴30°；∴在 Rt 中，，∴，∴ QB=9 ，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴ AGB=9°0 ，∵ BAG=3°0 ，∴BG=6 ， ABG=6°0 ，过点 G作 GN ⊥QB交QB的延长线于点 N，则∠ N=90°，∠ GBN=18°0 -∠ CBQ- ∠ABG=6°0 ，∴BN=BQ· cos∠GBQ=3 ，GN=B·Q sin∠GBQ= ，∴ QN=QB+BN=12 ，∴在 Rt△QGN 中， QG= ，∵∠ ABG= ∠ CBQ=6°0 ，∴ BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴ QM= .点睛：解本题第 3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、 BG的长及∠ CBQ= ∠ABG=6°0 ；（2）再过点 G作GN⊥QB并交 QB的延长线于点 N，解出 BN和GN的长，这样即可在 Rt△QGN 中求得 QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得 QM 的长了 .例 6已知如图，抛物线与轴相交于 B（1，0），C（5，0）两点，与 y轴的正半轴相交于 A 点，过 A，B，C 三点的⊙ P与 y轴相切于点 A，M 为轴负半轴上的一个动点，直线 MB 交抛物线于N，交⊙ P 于 D ．（1）填空:A 点坐标是___________________ ，⊙ P半径的长是 __ _ ， = ， = ， = ；（2）若 S△BNC :S△AOB ＝ 48:5，求 N 点的坐标；（3）若△AOB与以 A，B，D为顶点的三角形相似，求 MB·MD 的值．思路点拨1）先将 B、C 两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；2）根据 S△BNC ：S△AOB=48 ：5求出 N点的 y坐标，将 yN 代入抛物线方程即可求得MB?MD 的值．N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得满分解答（1）⊙ P 的半径 =3, = , = , = ；（3）过点 A 作直径 AQ 联接 BQ ，∴∠ ABQ=90o,∠BAO+ ∠AOB=90o,∵MA 与⊙ P相切于点 A，∴∠ OAB+∠BAO=90o, ∴∠ OAB= ∠AOB,而∠ AQB= ∠ADB,∴∠ OAB= ∠ADB, 而∠ AMB=AMD,∴△ MAB ∽△ MDA,,当△AOB ∽△ DBA 时，∠ ABD= ∠ AOB=90o,易证△AOB ∽△ BOM,则∴OM=∴; ⅱ当△AOB ∽△ DAB 时，∠ BAD= ∠AOB=90o,【变式训练】1．如图，直线 l 1∥l 2，⊙O 与 l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ．点 M 和点 N 分别是 l 1和l 2上的动点， MN 沿若∠ MON=9°0 ，则 MN 与⊙ O 相切；④ l 1和l 2的距离为 2，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1 个答案】 B解析】分析】 首先过点 N 作NC ⊥AM 于点C ，直线 l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ，⊙O 的半径为 1，易求l 1和 l 2平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1=60 °．有下列结论：① MN=；②若 MN 与⊙ O 相切，则 AM= ；③得 MN= = ，l1和 l2的距离为 2；若∠ MON=90° ，连接 NO并延长交 MA 于点 C，易证得CO=NO ，继而可得即 O到MN 的距离等于半径，可证得 MN 与⊙ O相切；由题意可求得若 MN 与⊙ O相切，则AM= 或．【详解】如图 1，如图 3，若∠ MON=9°0 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则△AOC ≌△ BON，故 CO=NO ，△MON ≌△ MOM′ ，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．故③正确；如图 2，2．如图， AB ，BC 是⊙ O 的弦，∠ B=60°，点 O 在∠ B 内，点 D 为 上的动点，点 M ，N ，P 分别是 AD ，DC ，CB 的中点．若⊙ O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（ ）A ．【答案】 D 【解析】 【分析】连接 OC 、OA 、 BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【详解】 解：连接 OC 、OA 、BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．【点睛】B ．C ．本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则 AB 的值是（）A ．3 B．C．6 D．【答案】 B【解析】【分析】连接 OD ，由圆周角定理可得∠ DOC ＝ 60°，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB 的长．【详解】连接 OD ，【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键．4．如图，已知 AD ＝ 30，点B ，C 是 AD 的三等分点，分别以 AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为 E 、F 、N ，则弦 MN 的长是 答案】 8解析】连接 PG 、MF ，过 F 作 FQ ⊥MN 于点 Q ，根据 AP 是⊙G 的切线，可证明 △AFQ ∽△AGP ，利用相似比，可求得 FQ=3，连接 F M ，在直角 △FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4 ，则 MN=8 ．【详解】分析】[来源 :Z §X§X § K]G ，AP 切⊙ G 于点 P ，交⊙ F 于 M 、∴ FQ= PG=3，在直角△FQM 中， MQ== =4 ，则 MN=2MQ=8 ．故答案为： 8【点睛】本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5 ，BC=10 ，连接 AC 、 BD ，以 BD为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3 ，则 AD 的长为.【答案】 2【解析】【分析】先证明△ADF ∽△ CAB，利用相似三角形的性质可得.再证明△DEF ∽△ DBA，利用相似三角形的性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD 的值 .详解】如图所示，过点 D作DF ⊥AC于点 F，在 Rt △ABD 中，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ DEF=∠ DBA，又∵∠ DFE=∠ DAB =90°，∴ △DEF ∽△ DBA，即∴DF=2，∴AD=2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 .6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________答案】解析】分析】先证明 AG=AF ，由 SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ ODH= ∠ODE=5°4 ，证出∠ B=∠C=72°，设 GB=xcm ，由△DHB ∽△ GBD ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x 的值，即可得出结果．详解】连接 DG ，如图所示：∵BC 是⊙ O 的切线，∴OD⊥BC，∴∠ BFO=∠ CFO=9°0 ，在△OHD 与△OED 中，∴△ OHD≌△ OED （ SSS），∴∠ ODH= ∠ ODE=5°4 ，∴∠ HDB= ∠ EDC=3°6 ，∴∠ B=∠ C=72°，∴ BD=DH=DE=DC=GF ，∴GF= BC ，设 GB=x ，∵∠ BDH= ∠BGD ，∠ B=∠B，∴△ DHB∽△ GBD，∴ ，即，整理得： x2-2x-4=0 ，解得： x=1± （负值舍去），∴ AG=GB=1+ ，∴ AB=2+2 ；故答案为： 2+2 ．【点睛】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．如图，已知在⊙ O中，直径 AB＝ 4，点 E是OA上任意一点，过 E作弦 CD⊥AB，点 F是上一点，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 AC，CF，BD， OD.（1）求证： △ACH ∽△ AFC ；（2）猜想： AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点 E 位于何处时， S △AEC ∶ S △BOD ＝ 1∶4？并加以说明．【答案】（ 1）详见解析；（ 2）AH ·AF ＝ AE ·AB ，证明详见解析； （3）当 OE ＝ （或 AE ＝ ）时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4.解析】分析】 （1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD ，再根据圆周角定理的推论得到∠ F=∠ACH ，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（ 2）连接 BF ，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质 证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE ：OB ，进一步转化为 AE ：AO 的比，再根据半径的长求得 OE 的长．详解】(3)解：当 OE ＝ (或 AE ＝ )时， S △AEC ∶S △BOD ＝ 1∶ 4.∵直线 AB ⊥CD ，∴ CE ＝ED ，又∵ S △AEC ＝ AE ·CE ，【点睛】 能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图， 是 的直径， 是 上一点， ，S △BOD ＝ OB ·ED ，∴ ＝ ＝ ∵⊙ O 的半径∴ OE（2）若，，求的长 .【答案】（1）详见解析；（ 2） 2【解析】【分析】（1）连接 OC，由 AB 是直径可得∠ ACB=90° ，由 OA=OC 可得∠ BAC=OCA ，根据∠ ACD=∠B，∠B+∠ BAC=90°，通过等量代换可得∠ OCD=90°，即可得答案；根据∠ ACD= ∠B，∠ BAC=∠ADC=90°，可证明△ABC ∽△ ACD ，根据相似三角形的性质即可求出AC 的长.【详解】∴∴∴ 是的切线；【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键 . 9．如图所示，△ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，点 D是劣弧 AB的中点，过点D作直线 BC的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙ O的半径．【答案】（1）证明见解析；（ 2） .【解析】【分析】（1）连接 OD 交 AB 于点 G，依据垂径定理的推论可以得出OD ⊥ AB，结合题意易得 AB∥ EF ，进而不难得到 OD⊥ EF，即可证明结论；（2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（ 1）知 OD∥CE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出⊙ O 的半径 .【详解】（1）证明：连结 OD，∵ D 是的中点，∴OD⊥AB.又∵ AC 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AB ，∴ OD ∥ CE.又∵ C E ⊥EF ，∴ OD ⊥ EF ， 即 EF 是⊙ O 的切线．本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理 条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连 结过此点的半径，再证其与直线垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂 线，再证垂足到圆心的距离等于半径 .10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D ，连接 ∠BCD ＝∠ CAB ． E 是⊙ O 上一点，弧 CB ＝弧 CE ，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F ． （1）求证： DC 是⊙O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 3， sin ∠ D ＝ ，求线段 AF 的长．答案】 （1）见解析；（ 2） .解析】分析】 （1）连接 OC ，BC ，由 AB 是⊙ O 的直径，得到∠ ACB=90° ，即∠ 1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到 ∠1=∠2．得到∠ DCB+ ∠3=90°．于是得到结论；.证明一AC ，BC ，（2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8 ．根据弧 CB＝弧 CE得到∠ 2=∠4．推出 OC∥AF ．根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（2）解：在 Rt△OCD 中， OC＝ 3， sinD ＝∴ OD ＝ 5，AD ＝ 8．∵弧 CB ＝弧 CE，∴∠ 2＝∠ 4．∴∠ 1＝∠ 4．∴OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．=本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图， AB 是半圆 O的直径，点 P在 BA的延长线上， PD切⊙O于点 C，BD⊥PD，垂足为 D，连接 BC.（1）求证： BC 平分∠ PBD；（2）求证： PC2＝PA·PB；（3）若 PA＝ 2，PC＝ 2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） S阴影＝2 －π.【解析】【分析】（1）连接 OC，由 PD切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠ DBC= ∠BCO ，根据的预计实现的性质得到∠ OCB= ∠OBC ，等量代换得到∠ OBC= ∠ CBD ，于是得到即可；（2）连接 AC，由 AB 是半圆 O的直径，得到∠ ACB=90° ，推出∠ ACP= ∠ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据图形的面积公式即可得到结果．【详解】（ 1）连接 OC，∵PD切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD，∵BD ⊥PD，∴BD ∥OC，∴∠ DBC＝∠ BCO，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ CBD，∴BC 平分∠ PBD ；（3）∵ PC2＝PA·PB， PA＝2，PC＝2 ，∴PB＝6，∴ AB ＝ 4 ，∴O C＝2，PO＝4，∴∠ POC＝60°，∴ S阴影＝S△POC－ S扇形＝×2 ×2－＝2 －π.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图， AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB＝10，CD＝ 4，求 BC 的长．【答案】(1)证明见解析； ( 2) BC＝2 或 4 ．【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由 AC 平分∠ DAB 得到∠ DAC= ∠CAB ，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA= ∠CAB ，接着利用平行线的判定得到 AD ∥CO，而 CD⊥AD ，由此得到 CD ⊥ AD ，最后利用切线的判定定理即可证明 CD 为⊙ O 的切线；(2)证明△DAC ∽△ CAB ，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可 .【详解】∴AD ∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙ O直径且 C在半径外端，∴CD 为⊙ O 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .13．如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径， AE是弦， OG⊥AE于点 G，交⊙O 于点D，连结BD交AE 于点F，延长 AE 至点 C，连结 BC．（1）当 BC=FC 时，证明： BC是⊙O 的切线；（2）已知⊙ O的半径，当tanA= ，求 GF 的长．答案】（1）见解析；（2）1解析】分析】1）由 OD⊥AE 可知∠ D + ∠ GFD =90°，由等腰三角形的性质可得∠ BFC=∠ FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠ OBC =90°；(2)连接 BE，在 Rt△AOG 中，可求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FEB，可求出 GF 的长 .【详解】∵⊙ O 半径， tanA= ，∴ sinA= ,cosA= ．∴在Rt△AOG 中，OG=OA sinA=5× =3，AG=OA cosA=5× =4=GE ．△FGD ∽△【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质熟记切线的判定定理是解（ 1）的关键，证明△FGD∽△ FEB是解（ 2）的关键 . 14．如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点 P在⊙ O上，弦 PB与CD交于点 F，且 FC＝FB．（1）求证： PD∥CB ；（2）若 AB＝26，EB＝8，求 CD 的长度．答案】（1）证明见解析；（2）CD ＝24．解析】分析】1）欲证明 PD∥ BC，只要证明∠ P＝∠ CBF 即可；2）由△ACE ∽△ CBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题详解】2）连接 AC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∵AB ⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠ CEB ＝ 90°，∵∠ CAE+ ∠ ACE ＝90°，∠ ACE+∠BCE＝90°，∴∠ CAE ＝∠ BCE ，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图⊙ O的内接△ABC中，外角∠ ACF 的角平分线与⊙ O相交于 D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为 H.问：（1） ∠PDC 与∠ HDC 是否相等，为什么？（2）图中有哪几组相等的线段？（3）当△ABC 满足什么条件时， △CPD ∽△ CBA ，为什么？答案】（ 1）相等，理由详见解析； （ 2）PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，ADACB ＝ 60 °时， △CPD ∽△ CBA.【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明△CDH ≌△ CDP 即可； （2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；（3）根据其中一个是直角三角形得到 AC 必须是直径． 再根据另一对角对应相等，＝∠ DCF ＝∠ ACB=60°才可．【详解】又∵ CD=CD ，∴△ CDH ≌△ CDP ，∴∠ PDC ＝∠ HDC .(2) ∵△ CDH ≌△ CDP ， ∴PC ＝HC ，DP ＝DH ，∵∠ DAP=∠ DBH ，∠ APD =∠BHD =90°， ∴△ADP ≌△ BDH ， ∴AP ＝BH ，AD ＝BD.BD ；(3)∠ ABC ＝ 90°且∠ 结合利用平角发现∠ PCD综上可得： PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，AD ＝BD.【点睛】 本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的 推论等知识 .掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答 本题的关键．16．如图 ,AB 是⊙ O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D,DE ⊥ AC.求证: △BDA ∽△ CED.【答案】证明见解析 .【解析】【分析】不难看出 △BDA 和△CED 都是直角三角形，证明 △BDA ∽△ CED ，只需要另外找一对角相等即可，由于 是△ABC 的中线，又可证 AD ⊥BC ，即 AD 为 BC 边的中垂线，从而得到∠ B=∠C ，即可证相似． 【详解 】【点睛】 本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙ O ，交BC 于点D ，连接 AD ．过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）当⊙ O 半径为 3，CE ＝ 2 时，求 BD 长．AD【答案】（1）证明见解析；（2）BD ＝2 ．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙ 0的直径得∠ ADB=90° ，由AB=AC ，根据等腰三角形性质得 AD平分BC，即DB=DC ，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC，则 OD ⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90° ，得出△DEC∽△ ADB ，得出，从而求得 BD?CD=AB?CE ，由 BD=CD ，即可求得 BD2=AB?CE ，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 OD ，如图，∵AB 为⊙ 0 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥BC，∵AB ＝AC，∴AD 平分 BC，即 DB ＝DC，∵OA ＝OB，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙ 0 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．18．如图，为的直径，，为上一点，且 AC=BC ，为 BC 上的一动点，延长至，使得，连接．1）求证：直线是的切线；2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是_______ ．（结果保留）答案】（1）见解析；（2）解析】分析】1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题 ,（ 2）作出图像得 S 阴影=S△ABQ -S△AOC -S扇形BOC,即可解题 .【详解】（ 1）证明：连接．，即．是的直径，直线是的切线．[来源 :ZXXK]【点睛】本题考查了三角形的相似 ,切线的证明 ,不规则图形求面积 ,中等难度 ,证明切线是解题关键 . 19．如图，⊙ O是△ABC 的外接圆， AB 是⊙ O的直径，经过点 A作AE⊥OC，垂足为点 D，AE 与BC交于点 F，与过点 B 的直线交于点 E，且 EB＝ EF．（1）求BE 是⊙ O 的切线；答案】（1）见解析；解析】分析】1）由 OB ＝ OC可得∠ OBC ＝∠ OCB ，由EB ＝ EF可知∠ EBC ＝∠ EFB，根据∠ AFC+ ∠OCB＝ 90°可知∠EBC+ ∠OBC＝90°，即可得结论；（2）由（ 1）可知∠ AEB+ ∠ EAB ＝ 90°，由∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°即可证明∠ AOD ＝∠ AEB ，设⊙ O 的半径为 r，根据 cos∠ AOD ＝ cos∠ AEB ＝可求出 r 的值，即可得 AB 的值，根据cos∠ AEB ＝＝可得 AE＝ BE，利用勾股定理求出 BE 的长即可 .【详解】（2）设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝OC＝r，又 CD＝ 1，∴OD＝r﹣1，∵∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°，∠ AEB+ ∠ EAB ＝90°，∴∠ AOD＝∠ AEB，∴cos∠ AOD ＝ cos∠AEB ＝，∴在 Rt△AOD 中， cos∠ AOD ＝＝，即＝解得： r＝，∵AB 是⊙ O 的直径，∴ AB ＝ 5 ，在 Rt △AEB 中，∴AE ＝ BE ，又 AE 2＝AB 2+BE 2，即（ BE ）2＝ BE 2+52， 解得： BE ＝ ．20．如图，已知 Rt △ACE 中，∠ AEC=90°，CB 平分∠ ACE 交AE 于点 B ，AC 边上一点 O ，⊙O 经过点 B 、C ，与 AC 交于点D ，与 CE 交于点F ，连结 BF 。
圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)
圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； 图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH． 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。
中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升练习题及答案(人教版)
中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升练习题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且∠=∠AOD EOD．(1)求证：AB是O的切线；(2)若10BC=，AC=8，求O的半径．2．如图，AB是O的直径，点F在O上，BAF∠的平分线AE交O于点E，过点E作ED AF⊥，交AF 的延长线于点D，延长DE AB、相交于点C．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为5，1tan2EAD∠=求BC的长．3．如图，ABC 中，AB=BC ，点A 在O 外，BC 是O 的弦DO BC ⊥，连接OD ．若AC 交OD 于点E ，交OB 于点F ，满足OE OF =．(1)求证：AB 与O 相切；(2)若5OB =，3CD DE =求AF 的长．4．如图1，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是AC 上一点，延长AG ，DC 交于点F ，连结AD ，GD ，GD 与AB 交于点H ．(1)若BAD ∠=α，用含α的代数式表示AGD ∠．(2)如图2，连结AC ，CG 若AC GD ⊥，求证：DH CG =．(3)如图3，在（2）的条件下，作DM AF ⊥于点M ，DM 与AB 交于点N ，EN OB =，2CG =求AF 的长．5．如图 ABC 中 以AB 为直径的O 交BC 于点D DE 是O 的切线 且DE AC ⊥ 垂足为E 延长CA 交O 于点F ．(1)求证：AB AC =；(2)若3AE = 5DE = 求AF 的长．6．如图 在ABC 中 AB AC = AD 平分BAC ∠ 交BC 于点D 以AD 为直径作O 交AB 于点E 交AC 于点F 连接EF 交AD 于点G 连接OB 交EF 于点P 连接DF ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若3OG = 4EG = 求：①tan DFE 的值；①线段PG 的长．7．如图 ABC 内接于O BC 是O 的直径 tan 2ACB ∠= 过点A 作AD BC ⊥ 交O 于点E 点F 是AB 上一点 连接EF 交BC 于点G 连接CF 交AD 于点H ．(1)求证：AFC HFE ∽△△．(2)若10BC = 8=CF 求EF 的长．(3)设OG x OC = AHy AD = 求y 关于x 的函数表达式．8．如图 AB 是O 的直径 点D 在O 上 连接AD 过点O 作OE AD ∥ 交O 于点E连接BE 并延长 交AD 的延长线于点C 过点B 作O 的切线 交OE 的延长线于点F ．(1)求证：AC AB =；(2)若10AB = 6AD = 求BF 的长的长．9．已知O 的半径为2cm P 是O 外一点 4m PO = 点A B 在O 上 在PAB 中 BP BA =．(1)如图① PB 是O 的切线 当PA PB =时 求证：PA 是O 的切线；(2)如图① PA PB 分别交O 于点C D 当点C 为PA 中点时 求PD 的长；(3)线段PA 的取值范围是______．10．如图 在O 的内接四边形ABCD 中 AB BC = 直径AE CD ⊥ 垂足为点F ．(1)当BC CD =时 求D ∠的度数；(2)当5AB = 8AD =时 求CD 的长．11．如图 以AB 为直径的O 经过点C 过点C 作O 的切线DE 交AB 的延长线于点D EF AB ⊥ 垂足为F 交AC 于点G ．(1)求证：ECG 为等腰三角形；(2)若16BD AD ⋅= 求CD 的值．12．如图 在ABC 中 AB AC = 以AC 为直径的O 交AB 于点D 交BC 于点E ．(1)求证：DE CE =；(2)若23BD BE ==， 求AD 的长．13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1） 其原理是利用流动的河水 推动水车转动 水斗舀满河水 将水提升 等水斗转至顶空后再倾入接水槽 水流源源不断 流入田地 以利灌溉．如图（2） 筒车圆O 与水面分别交于点A B 筒车上均匀分布着若干盛水筒 P 表示筒车的一个盛水筒 接水槽MN 所在的直线是圆O 的切线 且与直线AB 交于点M 当点P 恰好在MN 所在的直线上 P O C 三点共线 PC 是圆O 的直径时 解决下面的问题：(1)求证：BAP MPB ∠=∠；(2)求证：2MP MA MB =⋅；(3)若AB AP = 8MB = 12MP = 求BP 的长．14．已知AB CD 是圆O 的直径 BE CD ⊥于E 连接BD ．(1)如图1 求证：2AOC DBE ∠∠=．(2)如图2 F 是OC 上一点 2DF CE = 求证：CAF ABE ∠=∠．(3)如图3 在（2）的条件下 连接BC AF 的延长线交BC 于H 若2CF = 210BC =．求HF 的长．15．如图1 O 是ABC 的外接圆 且满足AB AC = CE 平分ACB ∠交AB 于点D 交O 于点E ．(1)求证：ACD ECB ∽；(2)如图2 若点B 是CE 的中点 求ADE ∠的度数；(3)如图3 连接AE 若2AD BD = ①求ADE BDC S S ∶的值；①若O 半径为r 则ACD S=_______．（用含r 的代数式表示）参考答案： 1．（1）证明：在AOB 和EOB 中AO EO AOB EOB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS AOB EOB ≌①OAF OEF ∠=∠①BC 与O 相切①OE BC ⊥①90OAB OEB ∠=∠=︒即OA AF ⊥①OA 是O 的半径①AB 是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，， ①22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==①8OC r =-①,AOB EOB ≌①6BE AB ==①10,BC =①1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=①()22248r r +=-解得3r =．①O 的半径为3．2．（1）解：连接OE①OA OE =①OAE OEA ∠=∠①AE 平分BAF ∠是O的切线．是O的直径90=︒=∠=∠DAE BAE∽△ADE AEBAE DE=AB BE解得25BE =则45AE =①45104525ADDE==解得8AD = 4DE =．①OE AD ∥①COE CAD ∽①CO OECA AD =设BC x =①55108x x +=+ 解得：103x =经检验：103x =是原方程的解故BC 的长为103．3．1）证明：OE OF =OEF OFE ∴∠=∠OEF CED ∠=∠ OFE AFB∠=∠ ∴∠=∠CED AFBAB BC =C A ∴∠=∠DO BC ⊥90ODC ∴∠=︒90A AFB C CED ∴∠+∠=∠+∠=︒()18090ABO A AFB ∴∠=︒-∠+∠=︒OB 是O 的半径 且AB OB ⊥AB ∴与O 相切．（2）解：DO BC ⊥ 3CD DE =5OB =90ODB ∴∠=︒ 3BD CD DE ==26AB BC BD DE ∴===ABF ∠=ABF ∴①CDEAB BF CD DE ∴= 3AB CD BF DE∴== 36AB BF DE ∴==2BF DE ∴=2BF = AF ∴=AF ∴的长是4．（1）解：CD AB ⊥AC AD ∴=ADC ∠BAD ∠=90AGD ADC ∴∠∠=（2）AC GD ⊥GAC α∠=AC AD =AC AD ∴=ACG ADH ∠=∠AGC ∴△≌DH CG ∴=（3）如图GAC BAD α∠=∠=CG BD ∴=CG BD DH ∴==CD AB ⊥EH EB ∴=222()AB OB EN NH EH ===+22AH BH NH EH ∴+=+2AH NH ∴=DM AF ⊥90HDN AGD α∴∠=︒-∠=HDN HAD ∴∠=∠ DHN AHD ∠=∠ HDN HAD ∴△∽△HNHDHD HA ∴=设HN x = 2HA x =2DH CG ==可得：2xHDHD x =解得：1x =AGC AHD △≌△2AG AH ∴==GAC GDC α∠=∠=EDH EAD ∴△∽△EH EDED EA ∴=222ED EH EA DH EH ∴=⋅=-AGD∠=∴△∽△GADAD∴=AFAG5．（1）如图所示①以AB为直径的O交BC是O的切线①1CE CD EF BD== ①253EF EC == ①2516333AF EF AE =-=-= 6．（1）证明：①AB AC = AD 平分BAC ∠ ①AD BC ⊥①OD 是O 的半径 ①BC 是O 的切线； （2）解：①连接DE DF OE①AD 为O 的直径 ①90AED AFD ∠=∠=︒ ①AD 平分BAC ∠①∠∠EAD FAD =①ADE ADF ∠=∠①AE AF =①AG EF ⊥①3OG = 4EG = ①22345OE =+= ①8AG = 10AD = ①2DG =由垂径定理可得4GF EG ==①OPG是等腰直角三角形=PG OG．（1）BC是O的直径CA CE=∴∠=∠AFC CFE∠和AEFACF∠是AF所对圆周角∴∠=∠ACF AEF△AFC∴∽（2）如图BC是O的直径90BAC ∴∠=︒tan 2ACB ∠=2AB AC ∴=222AB AC BC += 10BC = 25AC ∴=AD BC ⊥90ADC ∴∠=︒tan 2ACB ∠=2∴=AD CD222AD CD AC +=2CD ∴=4AD ∴=4ED AD ∴==BC 是O 的直径90BFC ∴∠=︒10BC = 8=CF6BF ∴=90BFC HDC ∠=∠=︒ FCB DCH ∠=∠ BFC HDC ∴∽△△BF CF HD CD∴= 1.5HD ∴=5.5HE ED HD ∴=+= AFC HFE ∽△△AC CF HE EF∴= 2255EF ∴=． （3）设OC r = 则2BC r = tan 2ACB ∠=2∴=AD CD 2BD AD =OG x OC= OG xr ∴=过点G 作∠GMC ∠=GM BF ∴∥CG CM GB MF ∴=2CG CM GB ∴=又CM CD GM HD =2CD CG HD GB=(15(1HD +=-AH AD =①如图 当点G 在线段OB 上时同理可求得3544x y x +=+． 8．（1）解：OB OE =∴OBE OEB ∠=∠OE AC ∥∴C OEB ∠=∠∴ABC C ∠=∠∴AC AB =．（2）解：如图 连接BD 则90ADB ∠=︒10AB = 6AD =∴5BO = 22BD AB AD 8=-=．BF 是O 的切线∴90OBF ADB ∠=∠=︒OE AC ∥∴BOF A ∠=∠∴BOF DAB ∽△△∴BO BF DA BD=是O的切线90PBO=︒在PBO与PAO中, PB PAOB OAPO PO===()SSS PBO PAO∴≌90 PAO PBO∴∠=∠=①OA是O的半径①OA是O的切线；（2）连接,,BC AD OD BA BP=BC AP⊥①AB是O的直径设圆心为O连接OP①O的半径为2cm4cm BA BP ∴==,OB OD PO PB ==,OBD ODB OBP POB ∴∠=∠∠=∠OBD POB ∴∽OD BD PO BO ∴= 即 242BD = ①1BD =413cm PD PB BD ∴=-=-=；（3）4cm OP =①P 的运动轨迹为以O 为圆心 半径为4cm 的圆 如图:①,,P O A 三点共线时 PA 最大, 此时426cm PA PO OA =+=+= ,,BP AB PA BP AP =<+即 2PA BP <①当BP 最小时 PA 最小 如图:此时,,P B O 共线 422PB PO OB =-=-= 2cm PB AB OA OB ∴====作AH OB ⊥于H 则 112BH OB == 222221AH AB BH ∴=-=- 3= 3cm PH PB BH =+= ()22223323cm PA PH AH ∴=+=+=236PA ∴≤≤25①AHO AFC ∽ ①AO OH AC CF = 即5625AC OH CF AO ⋅== ①112225CD CF ==．11．（1）证明：连接OCOA OC =A ACO ∴∠=∠2COD A ACO A ∠∠∠∠∴=+=DE 是O 的切线90OCD ∴∠=︒90902D COD A ∴∠=︒-∠=︒-∠90GCE A D A ∴∠=∠+∠=︒-∠EF AB ⊥90A AGF ∴∠+∠=︒①90AGF A ∠=︒-∠90EGC AGF A ∴∠=∠=︒-∠EGC GCE ∴∠=∠ECG ∴为等腰三角形；（2）解：连接BCAB 是O 的直径90ACB ∴∠=︒OCD∠=∴∠+∠OCB=OC OB∴∠=OCB∴∠=∠A BCD∠=BDC∴∽BCD CADCD BD∴=AD CD216∴=⋅=CD BD ADCD∴=．412．（1）证明：①AC为O的直径∽①BED BAC①BE BA =BD BC 即326BA = ①9BA =①927AD =-=．13．（1）证明：①PC 是O 的直径,①90PBC ∠=︒①90BPC BCP ∠+∠=︒①MN 所在的直线是O 的切线 点P 恰好在NM 所在的直线上 ①MP PC ⊥①90MPC ∠=︒①90MPB BPC ∠+∠=︒①MPB BCP ∠=∠①BCP BAP ∠=∠①BAP MPB ∠=∠．（2）证明：①MAP MPB ∠=∠ M M ∠=∠, ①∽MPA MBP .①MA MP MP MB= 即2MP MA MB =⋅．（3）解：由（2）可知MA MP AP MP MB PB== ①812AB AP MB MP ===，，，2212188MP MA MB ∴=== ①18810AP AB MA MB ==-=-=121020183MP AP BP MA ⨯⨯===∴． 14．（1）证明：如图1 连接ADAB 是O 的直径 90ADB ∴∠=︒90ADC CDB ∴∠+∠=︒BE DC ⊥90BED ∴∠=︒90DBE CDB ∴∠+∠=︒DBE ADC ∴∠=∠2AOC ADC ∠=∠2ADC DBE ∴∠=∠；（2）证明：如图2 延长BE 交O 于G 连接AG AD DGOE BG ⊥①BE EG = DC 是BG 的中垂线①BD DG =AO BO =2AG OE ∴=①OA OB OC OD ===①四边形ADBC 是矩形①BD AC =①DG AC =①2DF CE =①()222DF DO OF OC OF OC OE OC OE =+=+=-=- ①2OE OC OF CF =-=①CF AG =①AD AD =①ACF DGA ∠=∠①()SAS ACF DGA ≌ ①CAF GDA ∠=∠ AF AD = ①GBA GDA ∠=∠①CAF ABE ∠=∠；（3）解：如图3 连接AD 设EF x =①2CF =①1OE =①3OB OC OE EF CF x ==++=+ ①BE CD ⊥①2222OB OE BC CE -=+ 即()()()2222312102x x +-=-+ 整理得25140x x +-=解得7x =-（舍去） 或2x = ①2EF =①235OB OC ==+= 5128DF =++= AOD BOC ∠=∠210AD BC AF ∴===DAO OBC ∠=∠①AD CH ∥ADF HCF ∴∽∴AF DF FH FC= ∴210842FH ==102FH ∴=． 15．（1）证明：如图CE 平分ACB ∠ ACD ECB ∴∠=∠ BC BC = A E ∴∠=∠ ACD ECB ∴； （2）解：如图CE 平分ACB ∠ AE BE ∴= 点B 是CE 的中点 CB BE ∴=AE BE BC ∴== 设A α∠= 则E ABE ECB ACE α∠=∠=∠=∠= ①2ACB ACE ECB α∠=∠+∠=； AB AC =①2ABC ACB α∠=∠=； 在ABC 中 则有180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒ 即22180ααα++=︒ ①36α=︒, ①272ADE ABE E α∠=∠+∠==︒；（3）解：①如图设BD x =2AD BD =①2AD x = 3AB AC x ==①CAD BED ∠=∠ ADC EDB ∠=∠①ACD EBD △△∽①AC AD CD BE DE BD == 即32x x CD BE DE x == ①2223DE CD DE x BE =⋅=，； 设DE a = 则32BE a =①ACE BCE ∠=∠①32AE BE a ==； ①ACE BCE DAE ∠=∠=∠ AED CEA ∠=∠ ①ACE DAE ∽①3322CE AC x AE AD x === ①3924CE AE a == ①9544CD CE DE a a a =-=-=； ①22CD DE x ⋅=①22524a x = ①285a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即285DE DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭；①ADE CDB ∽285ADEBDC S DE S DB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．②如图 连接AO 并延长交AB AC OB OC ==，AF 是线段BC 的垂直平分线ACD BCD SS=ACDBCDSS =2AC =①知 Rt AFB 中 OF AF OA =-Rt OFB △中解得：41727x =ACDBCD S S =ACD =△ABC S =ACD S =217 9r．故答案为：2。
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案一、相似1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF交 BE、DE、DC分别于点 G、H、I．1）求证： AF⊥ BE；2）求证： AD=3DI．答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45，°∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△ CDE沿直线 BC翻折到△CDF，∴△ CDE≌ △CDF，∴CF=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，° ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°在△ ABE与△ACF中，∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），∴∠ ABE=∠FAC，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE2）证明：作 IC的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠DEC=∠ECF=∠ CFD=90°∴四边形 DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠ EAH=∠HFD，AE=DF，在△ AEH与△FDH中∴△ AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°∴∠ AGB=90 ，°∴AF⊥BE，∵M 是 IC的中点， E 是 AC的中点，∴EM∥AI，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和 SAS 证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=9°0 ，可证得结论。
（2）作 IC 的中点 M ，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。
中考数学 圆与相似 综合题含答案
中考数学圆与相似综合题含答案一、相似1．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，∴CD平分∠ACB，∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∴PG=PH，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴ =1（2）（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，易证△PMH∽△PGN，∴，∵，∴，∵DT∥PG，DK∥PH，∴，∴，∴【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM∽△PGN，∴，∵△PHC∽△ACB，PG=HC，∴，故答案为：；【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。
（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ，由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。
中考数学圆与相似的综合复习附详细答案
中考数学圆与相似的综合复习附详细答案一、相似1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【答案】（1）；（2）解：如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴（3）解：①如图3，，∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC= ．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，∴AD= ，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE= =2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD= ．综上所述，BD的长为或．【解析】【解答】（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC= ，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴ ,BD=8÷2=4，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。
（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。
2020-2021中考数学 圆与相似综合试题及答案
2020-2021中考数学圆与相似综合试题及答案一、相似1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+ OE．【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°，∵∠AEB=90°，∴A，B，E，O四点共圆，∴∠OAE=∠OBE（2）证明：在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，∴，∠FBE=45°，∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴∠ABO=45°，∴∠ABF=∠OBE，∵，∴，∴△ABF∽△BOE，∴ = ，∴AF= OE，∵AE=AF+EF，∴AE=BE+ OE．【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。
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人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习（含答案）圆与三角函数1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．3．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．4．如图，在矩形ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．5．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．6． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．7．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在 CD的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．9．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC 为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．10．如图，已知在△ ABP 中， C 是 BP 边上一点，∠ PAC=∠PBA，⊙ O 是△ ABC的外接圆，AD 是⊙ O 的直径，且交 BP于点 E．（1）求证： PA是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长；（3）在满足（ 2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙ O 的半径及 sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB交⊙ O 于点E．（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交 AC的延长线于点 F．①若 CF=CD时，求 sin∠CAB的值；②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以 BC为直径的⊙ O 交斜边 AB 于点 M，若 H 是 AC的中点，连接 MH．（1）求证： MH 为⊙ O 的切线．（2）若 MH=，tan∠ ABC=，求⊙ O的半径．（3）在（ 2）的条件下分别过点 A、 B 作⊙ O 的切线，两切线交于点 D，AD 与⊙ O 相切于 N 点，过 N 点作 NQ⊥BC，垂足为 E，且交⊙ O 于 Q 点，求线段 NQ 的长度．13．如图，⊙ O 的半径 r=25，四边形 ABCD内接于圆⊙ O，AC⊥ BD 于点 H，P 为 CA延长线上的一点，且∠ PDA=∠ ABD．（1）试判断 PD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tan∠ ADB= ，PA=AH，求 BD的长；（3）在（ 2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图， PA为⊙ O 的切线， A 为切点，直线 PO 交⊙ O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙ O 与点 B，延长 BO 与⊙ O 交与点 C，连接 AC，BF．（1）求证： PB与⊙ O 相切；（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若 AC=12，tan∠F= ，求 cos∠ ACB的值．15．如图，在⊙ O 中，弦 AB 与弦 CD相交于点 G， OA⊥ CD于点 E，过点 B 的直线与 CD的延长线交于点 F，AC∥BF．（1）若∠ FGB=∠ FBG，求证： BF 是⊙ O 的切线；（2）若 tan∠ F= ，CD=a，请用 a 表示⊙ O 的半径；（3）求证： GF2﹣GB2=DF?GF．16．如图，在⊙ O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC上， AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠ 1=∠2，连结 CB与 DG 交于点 N．（1）求证： CF是⊙ O 的切线；（2）求证：△ ACM∽△ DCN；（3）若点 M 是 CO的中点，⊙ O 的半径为 4，cos∠BOC= ，求 BN 的长．17．如图所示，在 Rt△ABC与 Rt△OCD中，∠ ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中点．（1）求证：∠ B=∠ACD．2．（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC=AB?BE（i）若 tan∠ACD= ， BC=10，求 CE的长；（i i ）试判定 CD与以 A 为圆心、 AE 为半径的⊙ A 的位置关系，并请说明理由．18．如图， AB 为⊙ O 的直径，直线 CD 切⊙ O 于点 M，BE⊥ CD于点 E．（1）求证：∠ BME=∠ MAB；（2）求证： BM2=BE?AB；（3）若 BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙ O 的半径 r 的长度；（2）求 sin∠CMD；（3）直线 BM 交直线 CD于点 E，直线 MH 交⊙ O 于点 N，连接 BN 交 CE于点 F，求 HE?HF 的值．20．已知 AB、CD 是⊙ O 的两条弦，直线 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，连接 AC，过点 B 作BF⊥AC，垂足为 F，直线 BF交直线 CD于点 M ．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AD，AM， BD，求证： AD=AM；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 外时，连接 AD，AM，求证： AD=AM；（3）如图 3，当点 E 在⊙ O 外时，∠ABF的平分线与 AC交于点 H，若 tan ∠C= ，求 tan∠ABH 的值．2018 年 01 月 10 日金博初数 2 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25 小题）1．已知，如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点， OF⊥BC 于点 F，交⊙ O 于点 E，AE 与 BC交于点 H，点 D 为 OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证： BD 是⊙ O 的切线；（）求证：22CE=EH?EA；（3）若⊙ O 的半径为 5，sinA= ，求 BH 的长．【分析】（ 1）由圆周角定理和已知条件证出∠ ODB=∠ ABC，再证出∠ ABC+∠ DBF=90°，即∠ OBD=90°，即可得出 BD 是⊙ O 的切线；（2）连接 AC，由垂径定理得出，得出∠ CAE=∠ECB，再由公共角∠ CEA=∠HEC，证明△CEH∽△ AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接 BE，由圆周角定理得出∠ AEB=90°，由三角函数求出 BE，再根据勾股定理求出 EA，得出 BE=CE=6，由（ 2）的结论求出 EH，然后根据勾股定理求出 BH 即可．【解答】（ 1）证明：∵∠ ODB=∠AEC，∠ AEC=∠ABC，∴∠ ODB=∠ ABC，∵OF⊥ BC，∴∠ BFD=90°，∴∠ ODB+∠ DBF=90°，∴∠ ABC+∠DBF=90°，即∠ OBD=90°，∴BD⊥ OB，∴BD 是⊙ O 的切线；（2）证明：连接 AC，如图 1 所示：∵OF⊥ BC，∴，∴∠ CAE=∠ECB，∵∠ CEA=∠HEC，∴△ CEH∽△ AEC，∴，∴2CE =EH?EA；（3）解：连接 BE，如图 2 所示：∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AEB=90°，∵⊙ O 的半径为 5，sin∠BAE= ，∴AB=10， BE=AB?sin∠ BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵2CE =EH?EA，∴EH= =，在 Rt△ BEH中， BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ 2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上任一点（不与 A，B 重合），AB⊥CD于 E，BF为⊙O 的切线， OF∥AC，连结 AF， FC，AF 与 CD交于点 G，与⊙ O 交于点 H，连结 CH．（1）求证： FC是⊙ O 的切线；（2）求证： GC=GE；（3）若 cos∠ AOC= ，⊙ O 的半径为 r，求 CH的长．【分析】（ 1）首先根据 OF∥AC， OA=OC，判断出∠ BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ BOF≌△ COF，推得∠ OCF=∠OBF=90°，再根据点 C 在⊙ O 上，即可判断出 FC 是⊙ O 的切线．（2）延长 AC、 BF交点为 M ．由△ BOF≌△ COF可知： BF=CF然后再证明： FM=CF，从而得到BF=MF，因为 DC∥BM，所以△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为 cos∠AOC= ，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以 EG=．由（2）可知△ AEG∽△ ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ ABF中，由勾股定理可求得 AF=3r．然后再证明△ CFH∽△ AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（ 1）证明：∵ OF∥ AC，∴∠ BOF=∠OAC，∠ COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠ OAC=∠ OCA，∴∠ BOF=∠COF，在△ BOF和△ COF中，，∴△ BOF≌△ COF，∴∠ OCF=∠OBF=90°，又∵点 C 在⊙ O 上，∴FC是⊙ O 的切线．（2）如下图：延长 AC、BF 交点为 M．由（ 1）可知：△ BOF≌△ COF，∴∠ OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥ OF，∴∠ M=∠OFB，∠ MCF=∠ CFO．∴∠ M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥ BM，∴△ AEG∽△ ABF，△ AGC∽△ AFM．∴，．∴又∵ BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵c os∠AOC= ，∴OE= ，AE= ．在 Rt△ EOC中， EC==．在 Rt△ AEC中， AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△ AEG∽△ ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在 Rt△ ABF中， AF===3r．∵CF是⊙ O 的切线， AC为弦，∴∠ HCF=∠HAC．又∵∠ CFH=∠ AFC，∴△ CFH∽△ AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3 ．已知：⊙ O上两个定点A ， B和两个动点 C ， D ， AC 与BD 交于点E．（1）如图 1，求证： EA?EC=EB?ED；（2）如图 2，若=，AD是⊙ O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图 3，若 AC⊥BD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图 2，连接 CD，OB 交 AC 于点 F 由 B 是弧 AC 的中点得到∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△ CBF∽△ ABD．即可得到结论；（3）如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF 得到 AF 为⊙ O 的直径于是得到∠ ADF=90°，过 O 作 OH⊥AD 于 H，根据三角形的中位线定理得到 DF=2OH=4，通过△ ABE∽△ ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（ 1）证明：∵∠ EAD=∠EBC，∠ BCE=∠ADE，∴△ AED∽△ BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）证明：如图 2，连接 CD， OB 交 AC于点 F∵B 是弧 AC 的中点，∴∠ BAC=∠ADB=∠ ACB，且 AF=CF=0.5AC．又∵ AD 为⊙ O 直径，∴∠ ABD=90°，又∠ CFB=90°．∴△ CBF∽△ DAB．∴，故 CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；（3）解：如图 3，连接 AO 并延长交⊙ O 于 F，连接 DF，∴AF 为⊙ O 的直径，∴∠ ADF=90°，过O 作 OH⊥AD 于 H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥ BD，∴∠ AEB=∠ADF=90°，∵∠ ABD=∠ F，∴△ ABE∽△ ADF，∴∠ 1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC的外接圆， OD∥BC 交⊙ O 于点 D，交 AC 于点 E，连接AD、 BD，BD 交 AC于点 F．（1）求证： BD 平分∠ ABC；（2）延长 AC到点 P，使 PF=PB，求证： PB是⊙ O 的切线；（3）如果 AB=10， cos∠ ABC= ，求 AD．【分析】（1）先由 OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠ D=∠CBD，由 OB=OD，根据等边对等角得出∠ D=∠ OBD，等量代换得到∠ CBD=∠ OBD，即 BD 平分∠ ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ CFB+∠CBF=90°．再由 PF=PB，根据等边对等角得出∠ PBF=∠CFB，而由（ 1）知∠ OBD=∠ CBF，等量代换得到∠PBF+∠ OBD=90°，即∠ OBP=90°，根据切线的判定定理得出 PB是⊙ O 的切线；（ 3）连结AD．在 Rt△ ABC 中，由cos∠ABC= = =，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由 OD∥ BC，得出△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么 DE=OD﹣ OE=2，然后在 Rt△ ADE中根据勾股定理求出 AD==2．【解答】（ 1）证明：∵ OD∥ BC，∴∠ D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠ D=∠OBD，∴∠ CBD=∠OBD，∴BD 平分∠ ABC；（2）证明：∵⊙ O 是以 AB为直径的△ ABC的外接圆，∴∠ ACB=90°，∴∠ CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠ PBF=∠CFB，由（ 1）知∠ OBD=∠CBF，∴∠ PBF+∠OBD=90°，∴∠ OBP=90°，∴PB 是⊙ O 的切线；（3）解：连结 AD．∵在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AB=10，∴c os∠ABC= = = ，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△ AOE∽△ ABC，∠ AED=∠OEC=180°﹣∠ ACB=90°，∴= =，= =，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（ 2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图 1，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC 的平分线交⊙ O 于点 D，交 BC 于点 E（BE＞ EC），且BD=2 ．过点 D 作 DF∥BC，交 AB 的延长线于点 F．（1）求证： DF 为⊙ O 的切线；（2）若∠ BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结 OD，如图 1，由角平分线定义得∠ BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥ BC，由于BC∥EF，则 OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙ O 的切线；（2）连结 OB， OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，先证明△ OBD为等边三角形得到∠ODB=60°， OB=BD=2，易得∠ BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到 PD= BD=，PB= PD=3，接着在 Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于 OP⊥BC，则 BP=CP=3，所以 CE=1，然后利用△ BDE∽△ ACE，通过相似比可得到 AE=，再证明△ ABE∽△ AFD，利用相似比可得 DF=12，最后根据扇形面积公式，利用 S 阴影部分△ BDF=S﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣ S△BOD）进行计算；（3）连结 CD，如图 2，由= 可设 AB=4x，AC=3x，设 BF=y，由 = 得到 CD=BD=2，先证明△ BFD∽△ CDA，利用相似比得到 xy=4，再证明△ FDB∽△ FAD，利用相似比得到 16﹣4y=xy，则 16﹣4y=4，然后解方程易得 BF=3．【解答】证明：（1）连结 OD，如图 1，∵AD 平分∠ BAC交⊙ O 于 D，∴∠ BAD=∠ CAD，∴= ，∴OD⊥BC，∵BC∥ EF，∴OD⊥DF，∴DF 为⊙ O 的切线；（2）连结 OB，连结 OD 交 BC于 P，作 BH⊥DF 于 H，如图 1，∵∠ BAC=60°，AD 平分∠ BAC，∴∠ BAD=30°，∴∠ BOD=2∠BAD=60°，∴△ OBD 为等边三角形，∴∠ ODB=60°，OB=BD=2，∴∠ BDF=30°，∵BC∥ DF，∴∠ DBP=30°，在Rt△ DBP中， PD= BD= ，PB= PD=3，在Rt△ DEP中，∵ PD= ，DE= ，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△ BDE∽△ ACE，∴AE： BE=CE：DE，即 AE：5=1：，∴AE=∵BE∥ DF，∴△ ABE∽△ AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△ BDH中， BH= BD= ，∴S 阴影部分 =S△BDF﹣S 弓形BD=S△BDF﹣（ S 扇形BOD﹣S△BOD）= ?12? ﹣+ ?（2）2=9 ﹣2π；（3）连结 CD，如图 2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵= ，∴CD=BD=2，∵∠ F=∠ABC=∠ADC，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC，∴△ BFD∽△ CDA，∴=，即=，∴x y=4，∵∠ FDB=∠DBC=∠ DAC=∠ FAD，而∠ DFB=∠AFD，∴△ FDB∽△ FAD，∴=，即=，整理得 16﹣ 4y=xy，∴16﹣ 4y=4，解得 y=3，即 BF的长为 3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形 ABCD中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ ACB=∠ DCE．（1）判断直线 CE与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 tan∠ ACB=，BC=2，求⊙ O的半径．【分析】（ 1）连接 OE．欲证直线 CE与⊙ O 相切，只需证明∠ CEO=90°，即 OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC 中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知 DE=1；方法一、在 Rt△COE中，利用勾股定理可以求得222，即2CO=OE+CE=r +3，从而易得r 的；方法二、点 O 作 OM⊥AE 于点 M ，在 Rt△AMO 中，根据三角函数的定可以求得r 的．【解答】解：（1）直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 1 分）理由如下：∵四形 ABCD是矩形，∴BC∥ AD，∠ ACB=∠DAC；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴∠ DAC=∠DCE；接 OE，∠ DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠ DCE+∠DEC=90°∴∠ AE0+∠DEC=90°∴∠ OEC=90°，即 OE⊥ CE．又 OE是⊙ O 的半径，∴直 CE与⊙ O 相切．⋯（ 5 分）（2）∵ tan∠ACB= =，BC=2，∴AB=BC?tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ ACB=∠ DCE，∴t an ∠DCE=tan∠ACB= ，∴D E=DC?tan∠DCE=1；方法一：在 Rt△CDE中， CE==，222，即2接 OE，⊙ O 的半径 r，在 Rt△COE中， CO =OE+CE=r +3解得： r=方法二： AE=AD DE=1，点 O 作 OM⊥AE 于点 M ， AM= AE=在 Rt△ AMO 中， OA==÷=⋯（9分）【点】本考了的合：的切垂直于切点的半径；利用勾股定理算段的．7．如，在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，AC 的垂直平分分与 AC，BC 及 AB 的延相于点 D， E，F，且 BF=BC，⊙ O 是△ BEF的外接，∠ EBF的平分交 EF于点 G，交⊙ O 于点H，接 BD， FH．（1）求：△ ABC≌△ EBF；（2）判断 BD 与⊙ O 的位置关系，并明理由；（3）若 AB=1，求 HG?HB的．【分析】（ 1）由垂直的定义可得∠ EBF=∠ ADF=90°，于是得到∠ C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB 证得∠ DBO=90°，即可得到 BD 与⊙ O 相切；（3）如图 2，连接 CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于 DF垂直平分 AC，得到 AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得 BF=，有勾股定理解出EF=，推出△ EHF 是等腰直角三角形，求得HF= EF=，通过△ BHF∽△ FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（ 1）证明：∵∠ ABC=90°，∴∠ EBF=90°，∵DF⊥ AC，∴∠ ADF=90°，∴∠ C+∠A=∠ A+∠AFD=90°，∴∠ C=∠BFE，在△ ABC与△ EBF中，，∴△ ABC≌△ EBF；（2）BD 与⊙ O 相切，如图 1，连接 OB证明如下：∵ OB=OF，∴∠ OBF=∠OFB，∵∠ ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠ C=∠DBC，∵∠ C=∠BFE，∴∠ DBC=∠OBF，∵∠ CBO+∠ OBF=90°，∴∠ DBC+∠CBO=90°，∴∠ DBO=90°，∴BD 与⊙ O 相切；（3）解：如图 2，连接 CF，HE，∵∠ CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF 垂直平分 AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ ABC≌△ EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH 平分∠ CBF，∴，∴EH=FH，∴△ EHF是等腰直角三角形，∴HF= EF=，∵∠ EFH=∠HBF=45°，∠ BHF=∠ BHF，∴△ BHF∽△ FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图， AB是⊙ O 的直径， D、 E为⊙ O 上位于 AB 异侧的两点，连接B D 并延长至点 C，使得CD=BD，连接 AC交⊙ O 于点 F，连接 AE、DE、DF．（1）证明：∠ E=∠ C；（2）若∠ E=55°，求∠ BDF的度数；（3）设 DE交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ，E 是的中点，求EG?ED的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出 AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出 AB=AC，即可得出∠ E=∠ C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠ AFD=180°﹣∠ E，进而得出∠ BDF=∠ C+∠ CFD，即可得出答案；（3）根据 cosB= ，得出 AB 的长，即可求出 AE 的长，再判断△ AEG∽△ DEA，求出 EG?ED 的值．【解答】（ 1）证明：连接 AD，∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∵CD=BD，∴AD 垂直平分 BC，∴AB=AC，∴∠ B=∠C，又∵∠ B=∠E，∴∠ E=∠C；（2）解：∵四边形 AEDF是⊙ O 的内接四边形，∴∠ AFD=180°﹣∠ E，又∵∠ CFD=180°﹣∠ AFD，∴∠ CFD=∠E=55°，又∵∠ E=∠C=55°，∴∠ BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接 OE，∵∠ CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ ABD中， cosB= ，BD=4，∴AB=6，∵E 是的中点，AB是⊙ O的直径，∴∠ AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E 是的中点，∴∠ ADE=∠EAB，∴△ AEG∽△ DEA，∴=，即 EG?ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出 AE， AB 的长是解题关键．9． AB，CD是⊙ O 的两条弦，直线 AB，CD互相垂直，垂足为点 E，连接 AD，过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，直线 BF 交直线 CD于点 G．（1）如图 1，当点 E 在⊙ O 外时，连接 BC，求证： BE平分∠ GBC；（2）如图 2，当点 E 在⊙ O 内时，连接 AC，AG，求证： AC=AG；（3）如图 3，在（ 2）条件下，连接 BO 并延长交 AD 于点 H，若 BH 平分∠ ABF，AG=4， tan ∠D= ，求线段 AH 的长．【分析】（ 1）利用圆内接四边形的性质得出∠ D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠ GBE=∠EBC，进而求出即可；（ 2）首先得出∠ D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△ BGE（ASA），则 CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出 CO的长，再求出tan∠ ABH= = =，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（ 1）证明：如图 1，∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ D+∠ABC=180°，∵∠ ABC+∠EBC=180°，∴∠ D=∠EBC，∵GF⊥ AD， AE⊥DG，∴∠ A+∠ABF=90°，∠ A+∠D=90°，∴∠ ABF=∠D，∵∠ ABF=∠GBE，∴∠ GBE=∠EBC，即BE平分∠ GBC；（2）证明：如图 2，连接 CB，∵AB⊥ CD， BF⊥AD，∴∠ D+∠BAD=90°，∠ ABG+∠ BAD=90°，∴∠ D=∠ABG，∵∠ D=∠ABC，∴∠ ABC=∠ABG，∵AB⊥ CD，∴∠ CEB=∠GEB=90°，在△ BCE和△ BGE中，∴△ BCE≌△ BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥ CG，∴AC=AG；（3）解：如图 3，连接 CO并延长交⊙ O 于 M，连接 AM，∵CM 是⊙ O 的直径，∴∠ MAC=90°，∵∠ M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴= ，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO= ，过点 H 作 HN⊥AB，垂足为点 N，∵t anD= ， AE⊥DE，∴t an ∠BAD= ，∴= ，设NH=3a，则 AN=4a，∴AH==5a，∵HB 平分∠ ABF，NH⊥AB，HF⊥ BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠ BAF= = = ，∴AB==10a，∴NB=6a，∴t an ∠ABH= = = ，过点 O 作 OP⊥AB 垂足为点 P，∴PB= AB=5a， tan∠ABH= =，∴OP= a，∵OB=OC= ， OP2+PB2=OB2，∴25a2+ a2=，∴解得： a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出 tan∠ ABH= = 是解题关键．10．如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， BP 是⊙ O 的弦，弦 CD⊥AB 于点 F，交 BP 于点 G，E 在CD 的延长线上， EP=EG，（1）求证：直线 EP为⊙ O 的切线；（2）点 P 在劣弧 AC上运动，其他条件不变，若BG2 =BF?BO．试证明 BG=PG；（3）在满足（ 2）的条件下，已知⊙ O 的半径为 3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（ 1）连结 OP，先由 EP=EG，证出∠ EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠ EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结 OG，由 BG2=BF?BO，得出△ BFG∽△ BGO，得出∠ BGO=∠ BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结 AC、 BC、OG，由 sinB=，求出OG，由（2）得出∠ B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以 2 得出 CD长度．【解答】（ 1）证明：连结 OP，∵EP=EG，∴∠ EPG=∠EGP，又∵∠ EGP=∠ BGF，∴∠ EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠ OPB=∠OBP，∵CD⊥ AB，∴∠ BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠ EPG+∠OPB=90°，∴直线 EP为⊙ O 的切线；（2）证明：如图，连结OG， OP，∵BG2=BF?BO，∴= ，∴△ BFG∽△ BGO，∴∠ BGO=∠ BFG=90°，由垂径定理知： BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵s inB= ，∴= ，∵OB=r=3，∴OG=，由（ 2）得∠ EPG+∠OPB=90°，∠B+∠ BGF=∠ OGF+∠BGF=90°，∴∠ B=∠OGF，∴s in∠ OGF= =∴OF=1，∴BF=BO﹣ OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△ BCA中，2，CF=BF?FA∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°，AO 是△ ABC的角平分线．以 O 为圆心， OC为半径作⊙O．（1）求证： AB 是⊙ O 的切线．（2）已知 AO 交⊙ O 于点 E，延长 AO 交⊙ O 于点 D，tanD=，求的值．（3）在（ 2）的条件下，设⊙ O 的半径为 3，求 AB 的长．【分析】（ 1）由于题目没有说明直线 AB 与⊙ O 有交点，所以过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，然后证明 OC=OF即可；（2）连接 CE，先求证∠ ACE=∠ODC，然后可知△ ACE∽△ ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2，所以可求出AE 和AC的长度，由（）可知，△∽△，=AE?AD1OFB ABC 所以，然后利用勾股定理即可求得AB 的长度．【解答】（ 1）如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，∵AO 平分∠ CAB，OC⊥ AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB 是⊙ O 的切线；（2）如图，连接 CE，∵ED 是⊙ O 的直径，∴∠ ECD=90°，∴∠ ECO+∠OCD=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACE+∠ECO=90°，∴∠ ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠ OCD=∠ ODC，∴∠ ACE=∠ODC，∵∠ CAE=∠CAE，∴△ ACE∽△ ADC，∴，∵t an ∠D= ，∴ = ，∴ = ；（3）由（ 2）可知：=，∴设 AE=x， AC=2x，∵△ ACE∽△ ADC，∴，∴AC2=AE?AD，∴（ 2x）2=x（ x+6），解得： x=2 或 x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（ 1）可知： AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠ B=∠B，∴△ OFB∽△ ACB，∴= ，设BF=a，∴BC= ，∴BO=BC﹣ OC=﹣3，在Rt△ BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得： a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ ACE∽△ ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，对角线 AC为⊙ O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE的中点，连接 DB，DC，DF．（1）求∠ CDE的度数；（2）求证： DF 是⊙ O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan∠ABD 的值．【分析】（ 1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（ 2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+ ∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出 tan∠ABD 的值．【解答】（ 1）解：∵对角线AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADC=90°，∴∠ EDC=90°；（2）证明：连接 DO，∵∠ EDC=90°，F 是 EC的中点，∴DF=FC，∴∠ FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ OCD=∠ ODC，∵∠ OCF=90°，∴∠ ODF=∠ ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙ O 的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则 AC=2，由AC2=AD× AE∴20=AD（ AD+1）∴AD=4 或﹣ 5（舍去）∵DC2=AC2﹣ AD2∴DC=2，∴t an ∠ABD=tan∠ACD= =2；方法二：如图所示：可得∠ ABD=∠ ACD，∵∠ E+∠DCE=90°，∠ DCA+∠DCE=90°，∴∠ DCA=∠ E，又∵∠ ADC=∠CDE=90°，∴△ CDE∽△ ADC，∴= ，∴DC2=AD?DE∵AC=2DE，∴设 DE=x，则 AC=2x，则AC2﹣AD2=AD?DE，期（ 2 x）2﹣AD2=AD?x，整理得： AD2+AD?x﹣ 20x2=0，解得： AD=4x或﹣ 5x（负数舍去），则 DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD= = =2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出 AD，DC的长是解题关键．。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
2022年中考数学复习：三角函数与圆的综合解答题
2022年中考数学复习:三角函数与圆的综合解答题1．如图，Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 是O 的直径，BC 与O 交于点D ，连接AD ，点F 是圆上任意一点，连接AF ，延长线交BC 于点E ，CAE EBF ∠=∠．(1)求证：AB BE =；(2)若3tan 4C =，5AB =，求EF 的长．2．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AD 是△O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，CF ，且△DCF ＝△CAD ．(1)求证：CF 是△O 的切线；(2)若cos B ＝35，AD ＝2，求AC 和FD 的长．3．如图，在Rt △ABC 中，△C ＝90°，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的圆O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接EF ．(1)求证：BC是圆O的切线；(2)求证：2AD AF AB=⋅；(3)若BE＝16，5sin13B=，求圆的半径．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的△O交BC于D，过D点作△O的切线DE交AC于E．(1)求证：DE△AC；(2)若AB＝10，3cos5ABC∠＝，求DE的长；(3)在（2）的条件下，若P为线段BD上一动点，过P点作BC的垂线交AB于N，交CA的延长线于M，求证：PN＋PM是定值，并求出定值是多少？5．如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B 重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交ACB，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记△ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．(3)当θ＝45°时，将扇形OAC 剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．6．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A 、D 的O 分别交AB 、AC 于点E 、F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8BE =，5sin 13B =，求O 的半径； (3)求证：2AD AB AF =⋅．7．如图，AB 是△O 的直径，C 是△O 上一点，过C 作△O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC 、BC ，过O 作OF △AC ，交BC 于G ，交DC 于F ．(1)求证：△DCB ＝△DOF ；(2)若tan△A ＝12，BC ＝4，求OF 、DF 的长．8．如图，在△ABC中，AB AC=，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过B点的圆的切线交AC的延长线于点F．(1)求证：△FBC=12△BAC；(2)若3tan4BFA∠=，AD=6，求O的半径的长．9．如图，AB为△O的直径，C为BA延长线上一点，CD与△O相切于点D．(1)求证：△CAD△△CDB；(2)若sinC＝13，BD＝6，求△O的半径．10．如图，在Rt ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知CAD B∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线．(2)若112,tan 3BC B ==，求O 的半径．11．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的△O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．(1)求证：AE 平分△BAC ；(2)若△B ＝30°，CE ＝3，求△ABE 的面积；(3)在（2）的条件下，求DE 的长．12．如图，在ABC 中，点E 是BC 的中点，连接AE ，以AB 为直径作O ，O 交BE 于点D ，AC 为O 的切线．(1)求证：2AEB C ∠=∠；(2)若8AC =，4sin 5B =，求DE 的长．13．如图，D是以AB为直径的△O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC△DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．(1)求证：AB＝BC；(2)若△O的直径AB为9，sin A13＝．△求线段BF的长；△求线段BE的长．14．已知：如图，四边形ABDC内接于O，AB为O的直径，过C作CE AB⊥于F，C是弧AD的中点，延长BD交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC 于点P，Q．(1)求证：PC PQ=；(2)若3sin5ABC∠=，8=CF，求CQ的长；(3)求证：2FC FP FG=⋅．为AB 中点，连接ED ，过点C 作CF //AB 交ED 的延长线与点F ．(1)求证：直线ED 是△O 的切线；(2)判断△CDF 的形状，并说明理由；(3)如图2，连接OF 交△O 于点P ，连接BP 交AC 于点Q ，若BP //EF ，AB ＝6，求PQ 的长．16．如图，已知：在△ABC 中，90C =∠，点P 是BC 边上的动点．PD BC ⊥交AB 于D ．以PD 为直径的△O 分别交AB ，AP 于点E ，F ．(1)求证：EFP EPB ∠=∠．(2)若20AB =，3sin 5B =． △当4APB APD ∠=∠，求PC 的长．△当△PEF 为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF 的腰长．(3)若sin B D ，F ，C 在一条直线上，则DP 与AC 的比值为 ．⊥，垂足为点F．D，E，过点D作DF AC(1)求证：直线DF是O的切线；(2)求证：24=⋅；BC CF AC(3)若点E是半圆ADB的一个三等分点，求出阴影部分的面积．18．如图，在△O中，AB为直径，BC为弦，CE切△O于点C，点D为BC上一个动点，DF△AB于点F，FD的延长线交弧BC于点G，交CE于点E．(1)求证：EC＝ED．(2)若△O的半径为6，△ABC＝30°．△当点F为OB的中点时，CE的长为______；△当弧CG的长为______时，四边形OCGB为菱形．19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作△O交BC边于点D，过点D作(1)求证：EF是△O的切线；(2)若CF=52，且sin△CFD=35，求△O的半径与线段BC的长．20．如图，四边形ABCD是△O的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点M，连接OM与AD交于点E，AD＞1，CD＝1(1)求证：△DBC△△AMD；(2)设AD＝x，求△COM的面积（用x的式子表示）；(3)若△AOE＝△COD，求OE的长．。
数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)
2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。
2020-2021中考数学圆与相似综合题及答案
2020-2021中考数学圆与相似综合题及答案一、相似1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。
2．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t=4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；（4）若S=12，则t=________．【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，∴△BCD∽△BOA，∴而CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8− ，OA＝4，则8− ，解得t＝，∴当点D在直线AB上时，t＝（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得，即，解得CF=3，∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7（3）解：①当0＜t≤时，S= t2②当＜t≤4时，S=-t2+10t−16③当4＜t≤16时，S=t2+2t（4）8【解析】【解答】解：（3）①当0﹤t≤时，如图（1），②当<t≤4时，如图（2），∵A（4,0），B（0,8）∴直线AB的解析式为y=-2x+8,∴G（t,-2t+8）,F(4-,),∴DF=t-4,DG=t-8，∴S=S矩形COED-S△DFG=t·③当4＜t≤16时，如图（3）∵CD∥OA，∴△BCF∽△BOA，∴∴,∴CF=4-,∴S=S△BOA-S△BCF=（4）由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8【分析】（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝OE＝t，BC＝8−CO＝8- ，OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t的值；（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF ：CB=OA ∶OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；（3）①当0﹤t≤ 时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积公式即可得出函数关系式；②当<t≤4时，如图（2），利用待定系数法，求出直线AB 的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示出G,F的坐标，进而表示出DF的长，DG的长，根据S=S矩形COED-S△DFG即可得出函数关系式；③当4＜t≤16时，如图（3）根据矩形的性质得出CD∥OA，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BCF∽△BOA，由相似三角形的对应边成比例得出BC：BO=CF：OA,根据比例式表示出CF的长，再根据S=S△BOA-S△BCF即可得出函数关系式。
2023年九年级中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合(含解析)
2023年中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合1．如图，△ABC 内接于△O ，且AB 为△O 的直径，OD△AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的△O 的切线交于点D ．（1）若AC=4，BC=2，求OE 的长．（2）试判断△A 与△CDE 的数量关系，并说明理由．2．如图，已知三角形ABC 的边AB 是△0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CB 平分△ACE 。
（2）若BE=3，CE=4，求△O 的半径．3．如图，在 ABC 中， CA CB = ，BC 与 A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交 A 于点F ，连结BF.（1）求证：BF 是 A 的切线.（2）若 5BE = ， 20AC = ，求EF 的长.4．如图，已知BC 是△O 的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB=AD ，AC=CD ．（1）求证：△ACD△△BAD；（2）求证：AD是△O的切线．5．如图，AB是△O的直径，BC切△O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE△AB 于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）PE=PD（2）AC•PD=AP•BC6．如图，AB是△O的直径，弦CD△AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG△AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．（1）求证：EG是△O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH ，求OM的长．7．如图，O是ABC的外接圆，直线EG与O相切于点E EG BC，连接AE交BC于点D．,//（1）求证： AE 平分 BAC ∠ ；（2）若 ABC ∠ 的平分线 BF 交 AD 于点F ，且 3DE = ， 2DF = ，求 AF 的长．8．如图，以 Rt ABC ∆ 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D ，过圆心 O 作 //OE AC ，交 BC 于点 E ，连接 DE .（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由；（2）求证： 22DE CD OE =⋅ ；（3）若 4tan 3C =， 52DE = ，求 AD 的长. 9．如图， ABC 内接于,O AB 是 O 的直径， BD 与 O 相切于点B ， BD 交 AC 的延长线于点D ，E 为 BD 的中点，连接 CE ．（1）求证： CE 是 O 的切线．（2）已知 5BD CD == ，求O ，E 两点之间的距离．10．如图，已知直线PT 与△O 相切于点T ，直线PO 与△O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT 2=PA•PB ；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE△OA 交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE.（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若PA ＝2，PC ＝4，求AE 的长.12．如图，AB 是△O 的直径，点C 、D 在圆上， BC ＝ CD ，过点C 作CE△AD 延长线于点E.（1）求证：CE 是△O 的切线；（2）若BC ＝3，AC ＝4，求CE 和AD 的长.13．将一副三角板Rt△ABD 与Rt△ACB （其中△ABD=90°，△D=60°，△ACB=90°，△ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD 中△D 所对直角边与Rt△ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ．（1）求证：EC 平分△AEB ；（2）求 ACE BEC SS 的值．14．如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB ＝AC ，过点B 作BD△AC 于D ，延长BD 交△ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF△CE 于F ，AE ，BC 的延长线交于点G.（1）判断EA 是否平分△DEF ，并说明理由；（2）求证：①BD ＝CF ；②BD 2＝DE 2+AE•EG.15．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，点E 是BC 的中点，以AC 为直径的△O 与AB 边交于点D ，连接DE.（1）判断直线DE 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD ＝3，DE ＝ 52，求△O 的直径. 16．如图，已知BC△AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与△O 的交点，点D 是MB 与△O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且 AD AP =AM AO．（1）求证：PD是△O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求BPMD的值．17．如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分△ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径.18．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作△O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是△O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若△C=45°，求证：GF2=DG•OE．19．已知：如图，MN为△O的直径，ME是△O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分△DMN．求证：（1）DE 是△O 的切线；（2）ME 2=MD•MN ．20．如图，在 ABC ∆ 中， 90C ∠=︒ ， AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段 AB 上， O 交 AB 于点E ，交 AC 于点F ．（1）判断 BC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 8AD = ， 10AE = ，求 BD 的长．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的△O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：BE=CE ；（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵AB 为△O 的直径，∴△ACB=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB== =2 ，∴OA= 12 AB= ，∵OD△AB ，∴△AOE=△ACB=90°，又∵△A=△A ，∴△AOE△△ACB ，∴OE OA BC AC = ，即 24OE = ，解得：OE= （2）解：△CDE=2△A ，理由如下：连接OC ，如图所示：∵OA=OC ，∴△1=△A ，∵CD 是△O 的切线，∴OC△CD ，∴△OCD=90°，∴△2+△CDE=90°，∵OD△AB ，∴△2+△3=90°，∴△3=△CDE ，∵△3=△A+△1=2△A ，∴△CDE=2△A ．【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出△ACB=90°，由勾股定理求出AB==2 ，得出OA= 12 AB= ，证明△AOE△△ACB ，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC ，由等腰三角形的性质得出△1=△A ，由切线的性质得出OC△CD ，得出△2+△CDE=90°，证出△3=△CDE ，再由三角形的外角性质即可得出结论．2．【答案】（1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是△0的切线，∴OB△AB ，∵CE 丄AB ，∴OB△CE ，∴△1=△3，∵OB=OC ，∴△1=△2，∴△2=△3，∴CB 平分△ACE ；（2）解：如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴△E=90°，∴，∵CD 是△O 的直径，∴△DBC=90°，∴△E=△DBC ，∴△DBC△△CBE ，∴CD BC =BC EC，∴BC 2=CD•CE ，∴CD=254=254，∴OC=12CD=258， ∴△O 的半径=258【解析】【解答】（1）证明：如图1，连接OB ，由AB 是△0的切线，得到OB△AB ，由于CE 丄AB ，的OB△CE ，于是得到△1=△3，根据等腰三角形的性质得到△1=△2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD 通过△DBC△△CBE ，得到比例式CD BC =BC EC，列方程可得结果． 【分析】此题是圆的应用，涉及有切线性质，等腰三角形性质和三角形相似对应边成比例进而求得线段的值、3．【答案】（1）证明：如图，连接 AD ，CA CB = ，CAB ABC ∴∠=∠ ，AE AC ⊥ ，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又 A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒ ，90ABD BAD ∴∠+∠=︒ ，BAE BAD ∴∠=∠ .又 AB AB = ， AF AD = ，()ABF ABD SAS ∴≌ ，90AFB ADB ∴∠=∠=︒ ，BF ∴ 是 A 的切线（2）解：由（1）得： 90AFB FAC ∠=∠=︒ ， //BF AC ∴ ，BEF CEA ∴∽ ，BE BF CE CA∴= ， 20CB CA == ， 5BE = ，552020BF ∴=+ ， 4BF ∴= ，3EF ∴==【解析】【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形的性质可证得△CAB=△ABC ，利用垂直的定义可求出△CAB+△EAB=90°；再利用切线的性质和余角的性质去证明△BAE=△BAD；然后根据SAS证明△ABF△△ABD，利用全等三角形的性质，可求出△AFB=90°，利用切线的判定定理，可证得结论.（2）由BF△AC，可证得△BEF△△CEA，利用相似三角形的性质可求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长.4．【答案】（1）证明：∵AB=AD，∴△B=△D，∵AC=CD，∴△CAD=△D，∴△CAD=△B，∵△D=△D，∴△ACD△△BAD（2）证明：连接OA，∵OA=OB，∴△B=△OAB，∴△OAB=△CAD，∵BC是△O的直径，∴△BAC=90°，∴OA△AD，∴AD是△O的切线．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到△CAD=△B，由于△D=△D，于是得到△ACD△△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到△B=△OAB，得到△OAB=△CAD，由BC是△O的直径，得到△BAC=90°即可得到结论．5．【答案】（1）证明：∵AB是△O的直径，BC是切线，∴AB△BC，∵DE△AB，∴DE△BC，∴△AEP△△ABC，∴EP AEBC AB…①，又∵AD△OC，∴△DAE=△COB，∴△AED△△OBC，∴212ED AE AE AE BC OB AB AB ===…②，由①②，可得ED=2EP ，∴PE=PD ．（2）证明：∵AB 是△O 的直径，BC 是切线，∴AB△BC ，∵DE△AB ，∴DE△BC ，∴△AEP△△ABC ，∴AP PE AC BC =， ∵PE=PD ，∴AP PD AC BC=，∴AC•PD=AP•BC ． 【解析】【解答】首先根据AB 是△O 的直径，BC 是切线，可得AB△BC ，再根据DE△AB ，判断出DE△BC ，△AEP△△ABC ，所以EP AE BC AB =；然后判断出2ED AE BC AB=，即可判断出ED=2EP ，据此判断出PE=PD 即可． 【分析】首先根据△AEP△△ABC ，判断出AP PE AC BC=；然后根据PE=PD ，可得AP PD AC BC=，据此判断出AC•PD=AP•BC 即可． 6．【答案】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE=GF ，∴△GEF=△GFE ，而△GFE=△AFH ，∴△GEF=△AFH ，∵AB△CD ，∴△OAF+△AFH=90°，∴△GEA+△OAF=90°，∵OA=OE ，∴△OEA=△OAF ，∴△GEA+△OEA=90°，即△GEO=90°，∴OE△GE ，∴EG 是△O 的切线（2）解：连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，在Rt△OCH 中， 2222)r r -+=（ ，解得r=3，在Rt△ACH 中，AC===， ∵AC△GE ，∴△M=△CAH ，∴Rt△OEM△Rt△CHA ， ∴OM OE AC CH= ， 即= ，解得：OM= ． 【解析】【分析】（1）连接OE ，如图，通过证明△GEA+△OEA=90°得到OE△GE ，然后根据切线的判定定理得到EG 是△O 的切线；（2）连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，利用勾股定理得到 2222)r r -+=（ ，解得r=3，然后证明Rt△OEM△Rt△CHA ，再利用相似比计算OM 的长．7．【答案】（1）解：连接OE ．∵直线EG与△O相切于E，∴OE△EG．∵EG△BC，∴OE△BC，∴BE CE=，∴△BAE=△CAE．∴AE平分△BAC；（2）解：如图，∵AE平分△BAC，∴△1=△4，∵△1=△5，∴△4=△5，∵BF平分△ABC，∴△2=△3，∵△6=△3+△4=△2+△5，即△6=△EBF，∴EB=EF，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵△5=△4，△BED=△AEB，∴△EBD△△EAB，∴BE DEEA BE=，即535EA=，∴AE= 253，∴AF=AE-EF= 253-5=103．【解析】【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE=EF ，得到BE 的长，再证明△EBD△△EAB 得到BE DE EA BE= ， 求出AE ，从而得到AF ． 8．【答案】（1）解：DE 是圆O 的切线证明：连接OD∵OE△AC∴△1=△3，△2=△A∵OA=OD∴△1=△A∴△2=△3在△BOE 和△DOE 中OE=OD ，△2=△3，OE=OE∴△BOE△△DOE （SAS ）∴△ODE=△OBE=90°∴OD△DE∴DE 是圆O 的切线（2）解：证明：连接BD∵AB 是直径∴△BDC=△ADB=△ABC=90°∵OE△AC ，O 是AB 的中点∴OE 是△ABC 的中位线∴AC=2OE∵△BDC=△ABC ，△C=△C∴△ABC△△BDC ∴2BC AC BC AC CD CD BC==⋅，即 ∴BC 2=2CD•OE∵BC=2DE，∴（2DE）2=2CD•OE ∴22DE CD OE=⋅（3）解：∵4tan3BD CDC==设：BD=4x，CD=3x∵在△BDC中，52DE=，∴BC=2DE=5∴（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）∴BD=4∵△ABD=△C∴AD=BD•tan△ABD=416 433⨯=【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明△2=△3，再证明△BOE△△DOE，可证出OD△DE，即可得证。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。
中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升训练(带有答案)
中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在ABC 中10AB AC ==，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD ，BE 相交于点O ，再以O 为圆心，OE 为半径作一圆．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)当6AE =时，求O 的半径．2．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 内任意一点，连接AC ，BC ，点D 在AC 上，且AD CD =，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图1中，找出BC 边上的中线AE ；(2)在图2中，画出ABC 的角平分线AF ．3．如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径5AC =，10BC =点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D ，连接BD ，作BE CD ⊥，垂足为E ．(1)求证：DBE ABC △∽△．(2)若35BD =，则CE =_________．4．如图，在O 中，弦AB CD ∥，点B 为弧AD 的中点，BC 交AD 于点M ，过点B 作BE AD ∥，交CD 的延长线于点E ，BO 及其延长线分别交AD ，CD 于点N ，F ．是O的切线；DE；，求MNDN的值．．如图，以ABC的边AB为直径的O交BC和AC CF=．为O的切线；1EF=求线段ABC中AB=为直径的O与BC．（不写作法，保留作图痕迹），连接若O的半径等于且O与AC（结果保留π）．．如图，AD是O的直径，AB为O的弦OP点的切线交OP于点C．(1)求证：CBP ADB ∠=∠； (2)若2OA =，1AB =求线段BP 、CP 的长．8．如图，AB 是O 的直径，点C ，D 为O 上的两点且AD CD =，连接AC ，BD 交于点E ，过点A 作AF AE =交BD 的延长线于点F ．(1)求证：AF 为O 的切线；(2)若8AB =，2BC =求AF 的长．9．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点,G CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．10．如图1，AB 是O 的一条弦，BC 是O 的切线．AD 是O 的直径．E 是AB 上一动点，过点E 作直线EF AD ⊥于点G ，交BC 于点H ．(1)求证BH EH =．(2)如图2，若E 是AB 的中点8AB =，103BH =求AG 的长． 11．如图，ABC 内接于⊙O ，且AB 为的直径OD AB ⊥，与BC 交于点E ，与过点C 的O 的切线交于点D ，OD 交O 于点F ．求证：CDE是等腰三角形；，2BC==为DE的中点时，直接写出．如图，已知P为圆为O的切线，切点为是O直BC PO；2，OP=．如图，ABC内接于，过点C作O的切线15．如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上一点()BO DO >，OE AB ⊥垂足为E ，OE 为半径的O 分别交DC 于点H ，交EO 的延长线于点F ，EF 与DC 交于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若G 是OF 的中点2OG =，1DG =求AD 的长． 16．如图，PC 与O 相切于点C ，点P 在直径AB 的延长线上，AD PC ⊥于点D ，连接AC ，BC ．(1)求证：PCB BAC ∠=∠；(2)若2AD DC =，2PB =求O 的半径长．（温馨提示：用简单的方式表示角） 17．平行四边形ABCD 的对角线相交于点M ，ABM 的外接圆交AD 于点E 且圆心O 恰好落在AD 边上，连接ME ，若45BCD ∠=︒．(1)求证：BC 为O 切线；(2)求ADB ∠的度数；(3)若O 的半径为1，求ME 的长．18．如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且BD CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．(1)求证：CD ED =；(2)如图2，AD 与OC BC ，分别交于点F ，H ．若圆的半径为2，1BD =求AC 的值．答案第1页，共1页 参考答案： 1．32．73．84．MN DN的值为15． 5．25AB = 6．2π 4π8- 7．7BP = 141515CP =． 8．8155AF = 9．6AC = 43GD = 10．163AG = 11．55413 12．25513．1655AC = 14．(1)36∠=︒CAD ；(2)DF 的长是51-． 15．15216．半径3r = 17．30ADB ∠=︒ 622- 18．72AC =．。
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圆与三角函数、相似的综合运用1．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2；②若上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．有下列结论：①MN=4√33MN与⊙O相切，则AM=√3；③若∠MON=90°，则MN与⊙O相切；④l1和l2的距离为2，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．1+√3B．1+2√3C．2+2√3D．2+√33．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD＝3，则AB的值是（）A．3 B．2√3C．6 D．√34．如图，已知AD＝30，点B，C是AD的三等分点，分别以AB、BC、CD为直径作圆，圆心分别为E、F、G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M、N，则弦MN的长是________．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为________.6．如图，五边形DEFGH是边长为2的正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D 作⊙D的切线，与GH、FE的延长线交分别于点B和C，延长HG、E F相交于点A，那么A B 的长度是________．7．如图，已知在⊙O中，直径AB＝4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F 是BC上一点，连接AF交CE于点H，连接AC，CF，BD，OD.(1)求证：△ACH∽△AFC；(2)猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC∶S△BOD＝1∶4？并加以说明．8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的长.9．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是劣弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F两点．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径．10．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点C 的直线与AB 的延长线交于点D ，连接AC ，BC ，∠BCD ＝∠CAB ．E 是⊙O 上一点，弧CB ＝弧CE ，连接AE 并延长与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，sin ∠D ＝53，求线段AF 的长．11．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.(1)求证：BC平分∠PBD；(2)求证：PC2＝PA·PB；(3)若PA＝2，PC＝2√3，求阴影部分的面积(结果保留π).12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥CE 于点 D ，AC 平分∠DAB ．（1）求证：直线 CE 是⊙O 的切线；（2）若 AB ＝10，CD ＝4，求 BC 的长．13．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，OG ⊥AE 于点G ，交⊙O 于点D ，连结BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，连结BC ．(1)当BC =FC 时，证明：BC 是⊙O 的切线；(2)已知⊙O 的半径r =5，当tan A =43，求GF 的长．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．（1）求证：PD∥CB；（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．答案解析1．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2；②上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．有下列结论：①MN=4√33若MN 与⊙O 相切，则AM=√3；③若∠MON=90°，则MN 与⊙O 相切；④l 1和l 2的距离为2，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】B如图1，过点N 作NC ⊥AM 于点C ，∵直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ，⊙O 的半径为1，∴CN=AB=2，∵∠1=60°，∴33460sin =︒=CN MN 故A 与C 正确；如图2∵MN 是切线，⊙O 与l1和l2分别相切于点A 和点B ，∴∠AMO=21∠1=30°， ∴3=AM∵∠AM′O=60°，∴33='M A ∴若MN 与⊙O 相切，则333或='M A 故B 错误如图3，若∠MON=90°，连接NO 并延长交MA 于点C ，则△AOC ≌△BON ，故CO=NO ，△MON ≌△MOM′，故MN 上的高为1，即O 到MN 的距离等于半径． 故D 正确；故答案选B2．如图，AB ，BC 是⊙O 的弦，∠B =60°，点O 在∠B 内，点D 为A C 上的动点，点M ，N ，P 分别是AD ，DC ，CB 的中点．若⊙O 的半径为2，则PN +MN 的长度的最大值是（ ）A ．1+√3B ．1+2√3C ．2+2√3D ．2+√3 【解析】D解：连接0C 、OA 、BD,作OH 垂直AC 于H 。
∵∠AOC=2∠ABC=120°∵OA=OC ，OH ⊥AC∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH ，∴CH=AH=360sin =︒•OC∴32=AC∵CN=DN ，DM=AM ，∴MN=21AC=3∵CP=PB ，AN=DN ，∴PN=21BD 当BD 是直径时，PN 的值最大，最大值为2，∴PM+MN 的最大值为32+故答案选D3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A ＝30°，CD ＝3，则AB 的值是（ ）A ．3B ．2√3C ．6D ．√3【解析】B连接OD∵∠DOC=2∠A=2×30°=60°又∵CD 是⊙O 的切线∴∠ODC=90°∴tan ∠DOC=3=ODDC∴3333===DC OD ∴AB=2OD=32故答案选B4．如图，已知AD ＝30，点B ，C 是AD 的三等分点，分别以AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为E 、F 、G ，AP 切⊙G 于点P ，交⊙F 于M 、N ，则弦MN 的长是________．【解析】8解：连接PG ，作FH ⊥MN 于点H ，连接FM ，∵AP 是⊙G 的切线∴PG ⊥AP∵FH ∥PG∴△AFH ∽△AGP∴2515==AG AF PG FH 解得FH=3在直角△MFH 中，MH=4∴MN=8．点评：本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC 、BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若DE=3，则AD 的长为________.【解析】52如图所示，过点D 作DF ⊥AC 于点F∴∠AFD=∠CBA=90°∵AD ∥BC∴∠DAF=∠ACB∴△ADF ∽△CAB∴CA ADAB DF=在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10， ∴5510522=+=AC ∴555ADDF = ∴DF AD 5=在Rt △ABD 中，255222+=+=DF AB AD BD∵同弧所对的圆周角相等∴∠DEF=∠DBA 又∵∠DFE=∠DAB=90°∴△DEF ∽△DBA∴DF DF DF DA DF DB DE 52553,2=+=即 ∴DF=2∴52=AD故答案是526．如图，五边形DEFGH 是边长为2的正五边形，⊙O 是正五边形DEFGH 的外接圆，过点D 作⊙D 的切线，与GH 、FE 的延长线交分别于点B 和C ，延长HG 、EF 相交于点A ，那么AB 的长度是________．【解析】522+∵五边形DEFGH 是正五边形∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°∴AG=AF∴△AGF 是等腰三角形连接DG ，如图所示：∵BC 是⊙O 的切线∴OD ⊥BC∴∠BFO=∠CFO=90°在△OHD 与△OED 中⎪⎩⎪⎨⎧===HEHD OE OD ODOH∴△OHD ≌△OED （SSS ）∴∠ODH=∠ODE=54°∴∠HDB=∠EDC=36°∴∠B=∠C=72°∴FG ∥BC∴四边形FGDC 是平行四边形∴GD ∥CA∵BD=CD∴AG=GB∴点G 是线段AB 的中点∵五边形EDFGH 是正五边形∴BD=DH=GH=2设GB=x,∵∠BDH=∠BGD ，∠B=∠B∴△BDH ∽△BGD22-x x 2==，即BD BH GB DH 整理得，x 2-2x-4=0解得：x=（负值舍去）51± ∴51+==GB AG ∴522+=AB 故答案是522+7．如图，已知在⊙O 中，直径AB ＝4，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD ⊥AB ，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于点H ，连接AC ，CF ，BD ，OD .(1)求证：△ACH∽△AFC；(2)猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；(3)探究：当点E位于何处时，S△AEC∶S△BOD＝1∶4？并加以说明．分析：（1）根据垂径定理得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理的推论得到∠F=∠ACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长．【解析】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴⌒AC=⌒AD，∴∠F=∠ACH，又∠CAF=∠FAC，∴△ACH∽△AFC．（2）解：AH•AF=AE•AB．证明：连接FB，∵AB是直径，∴∠AFB=∠AEH=90°，又∠EAH=∠FAB，∴Rt△AEH∽Rt△AFB，∴ABAHAFAE=，∴AH•AF=AE•AB．（3）解：当OE=32时，S△AEC：S△BOD=1：4．理由：∵直径AB⊥CD，∴CE=ED，∵S△AEC=21AE•EC，S△BOD=21OB•ED，∴412121==••••=OBAEEDOBECAESSBODABC△△，∵⊙O的半径为2，∴412-2=OE，∴8-4OE=2，∴OE=23．即当点E距离点O23时S△AEC：S△BOD=1：4．点评：能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD =1，OA =2，求AC 的长.分析 （1）连接OB ，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO ，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；（2）证明△ACB ∽△ADC ，得出AC2=AD•AB ，根据勾股定理即可得出结果．【解析】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵OB=OC ，∴∠B=∠BCO ，又∵∠ACD=∠B ，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AD ⊥CD ，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B ，∴△ACB ∽△ADC ，∴AC 2=AD•AB=1×4=4，∴AC=2，∴CD=322=-AD AC点评本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．9．如图所示，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是劣弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F两点．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD交于AB于点G．∵D是⌒AB的中点，OD为半径，∴AG=BG．∵AO=OC，∴OG是△ABC的中位线．∴OG∥BC，即OD∥CE．又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．（2）解：在Rt △CEF 中，CE=6，EF=8，∴CF=10．设半径OC=OD=r ，则OF=10-r ，∵OD ∥CE ，∴△FOD ∽△FCE ， ∴CE OD FC FO =， ∴610r 10r =- ∴r=415， 即：⊙O 的半径为415． 点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质．10．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点C 的直线与AB 的延长线交于点D ，连接AC ，BC ，∠BCD ＝∠CAB ．E 是⊙O 上一点，弧CB ＝弧CE ，连接AE 并延长与DC 的延长线交于点F ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，sin ∠D ＝53，求线段AF 的长．【解析】（1）证明：连接OC、BC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°即∠1-∠3=90°∵OA=OC∴∠1=∠2∵∠DCB=∠BAC=∠1∴∠DCB -∠3=90°∴OC⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=53∵OD=5，AD=8,∴⌒CB=⌒CE∴∠2=∠4∴∠1=∠4∴OC∥AF∴△DOC∽△DAF∴AD OD AF OC ∴AF=52411．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC.(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)求证：PC 2＝PA·PB ；(3)若PA ＝2，PC ＝2√3，求阴影部分的面积(结果保留π).【解析】（1）连接OC∵PD 切⊙O 于点C∴OC ⊥PD∵BD ⊥PD∴BD ∥OC∴∠DBC=∠BCO∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∴∠OBC=∠CBD∴BC 平分∠PBD（2）连接AC∵AB 是半圆O 的直径∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠ABC=90°∵∠PCA+∠ACO=90°∴∠PCA=∠ABC∵∠P=∠P∴△ACP ∽△CBP ∴PCPA PB PC = ∴PB PA PC •=2（3）∵3222==•=PC PA PB PA PC ，，∴PB=6∴AB=4∴OC=2，PO=4∴∠POC=60°∴ππ扇形△阴影32-32360260-232212=⨯⋅⨯⨯=-=S S S POC12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥CE 于点 D ，AC 平分∠DAB ．（1）求证：直线 CE 是⊙O 的切线；（2）若 AB ＝10，CD ＝4，求 BC 的长．【解析】（1）如图，连接OC∵AC 平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB∵OA=OC∴∠OCA=∠CAB∴∠OCA=∠DAC∴AD ∥CO∵CD ⊥AD∴OC ⊥CD∵OC 为⊙O 的半径，且C 在半径的外端∴CD 为⊙O 的切线（2）∵AB 为⊙O 的直径∴∠ACB=90°∵CD ⊥AD∴∠ADC=∠ACB=90°∵∠DAC=∠CAB∴△DAC ∽△CAB ∴ABAC BC DC = ∴40104=⨯=•=•AB DC AC BC∵10022=+AC BC∴()1802222=•++=+AC BC AC BC AC BC ()202--222=•+=AC BC AC BC AC BC ∴525256=-=-=+AC BC BC AC AC BC 或， ∴5452或=BC13．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，OG ⊥AE 于点G ，交⊙O 于点D ，连结BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，连结BC ．(1)当BC =FC 时，证明：BC 是⊙O 的切线；(2)已知⊙O 的半径r =5，当tan A =43，求GF 的长．【解析】（1）证明：∵OD ⊥AE∴∠ODB+∠GFD=90°∵BC=FC∴∠BFC=∠FBC=∠GFD∴∠ODB+∠FBC=90°∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∴∠OBD+∠FBC=90°∴CB ⊥AB∴BC 是⊙O 的切线（2）连接BE∵⊙O 的半径为5，tanA=43 ∴sinA=53，cosA=54 ∴在Rt △AOG 中OA AG A OA OG ==⨯=•=，3535sin GE A ==⨯=4545cos ∴GD=5-3=2∵OG ⊥AE ，∴AG=GE∴OG 是△ABE 的中位线∴BE=2OG=6，BE ∥OG∴∠D=∠FBE ，∠BEF=∠FGD∴△FGD ∽△FEB ∴BEEF GD GF = ∴642GF GF -= 解得：GF=114．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，弦PB 与CD 交于点F ，且FC ＝FB ．（1）求证：PD ∥CB ；（2）若AB ＝26，EB ＝8，求CD 的长度．【解析】（1）证明：∵FC=FB∴∠C=∠CBF∵∠P=∠C∴∠P=∠CBF∴PD∥CB（2）连接AC（2）∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵AB⊥CD∴CE=ED，∠AEC=∠CEB=90°∵∠CAE+∠ACE=90°,∠ACE+∠BCE=90°∴∠CAE=∠BCE∴△ACE∽△CBE31 / 31 ∴BE ECEC AE = 即 818ECEC =∴1442=EC ∵EC ＞0∴EC=12∴CD=2EC=24。