锐角三角函数与圆的综合

1：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .

（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.

2：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P .

（1）求证：PD 是⊙O 的切线.

（2）若AC =6, cosA=3

5

，求PD 的长.

3.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC

的延长线于点E .连接BC ．

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；

（2）如果CD =6，tan ∠BCD=2

1

，求⊙O 的直径的长．

A B

C

D

O

D

B

O

C

A

P E B

M

D

C

O A

4.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.

（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.

5.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .

（1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.

6.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，

连结AD 、BE ，若1sin 2

A =，∠BED=30°．

（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；

（3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．

A

B C

D E

O F C B

A O P

三角函数与二次函数的综合：

7.已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点.

（1）求m，n的值；

（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；

（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐

标；若不存在，请说明理由.

例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.

∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.

∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分

（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.

∵ AE =2AO =6, AB =4,

∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ……………4分 ∴

.AE

BE AD AB =.65

24=AD 即

∴ 5512=AD . ……………………5分 例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .

∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1

122

PAB ∠=∠=

∠. ∵1

22

BOD ∠=∠，∴PAB BOD ∠=∠.

∴P A ∥DO . ………………………………1分 ∵D P ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .

∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分 （2）连结CB 交OD 于点E .

∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.

∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴O D ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在R t △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = AB

AC

. ∵AC = 6 , cos A =

53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD =2

1

BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，

∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分

∴∠AMC ＝90°.

∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .

又∵B 是⊙O 上的点，

∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分

（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =1

2

CD =3.

在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD =

BM CM =12,∴3

BM =1

2,∴BM=32. …………… 3分

又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CM

AM CM

CM BM

=

B .∴,∴2CM AM BM =⋅. ∴23

32

AM =⋅.∴AM =6. …………………………… 4分

E A

B C

D

O 1

2P

A

C

O

B

D

E