概率论与数理统计知识在金融学中的应用 胡景轩

概率论与数理统计知识在金融学中的应用

胡景轩141090046 商学院2014级金融与保险学系金融学专业摘要：概率论与数理统计是高等数学教育中研究随机性等现象的一门重要基础课程，其能够通过运算技巧对风险控制和风险预算进行分析的特点使之在金融领域的分析中发挥着重要作用。本文力图将当前所学基础概率统计知识与金融界主流的理论或模型进行对应并举例分析，包括但不限于置信区间与VaR风险控制模型、条件期望与ES （expected shortfall）风险度量模型、t分布与厚尾分布数据、期望方差与经典投资组合理论等。篇幅和精力所限，本文将不对经济学中常用的概率统计知识进行讨论，而将讨论氛围限于应用金融学领域。

关键词：概率统计金融学风险控制与管理期望方差置信区间投资组合

概率统计在金融中的应用实例：

一、资产组合选择的均值方差理论（mean-variance theory of portfolio selection）

在确定的情况下，投资者决策可用确定性结果来描述，在风险条件下，任何行动的结果并不被确知，结果用频率函数来表达。频率函数列示出所有可能结果和每种结果发生的可能性。因此，在风险条件下，描述收益的两个最常用的属性是：期望收益和标准差，前者是描述中心趋向性的指标，后者是描述风险围绕着中心偏离的指标。

这一理论的意义在于将投资组合转化为了一个带约束的最优解问题，使得人们明白自己要追求的是给定风险水平下极大化期望收益或者给定收益水平下极小化风险。

以下举出一个简单投资组合的分析流程作为示例：

某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y 和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见下表

请问:该投资者如何投资好?

解：我们先考察数学期望,可知EX=4.0 EY=3.9 EZ=3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产。但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差: DX=15.4 DY=3.29 DZ=12.96

方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大。若收益与风险综合权衡,该投资者应选择投资地产。虽然平均收益较房产少0.1万元,但风险仅为房产的四分之一以下，可以获得较为稳定的回报。

二、Black-Scholes期权定价模型

这一期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，某种意义上来说可视为当代金融衍生品市场的奠基石之一。

模型公式：C=S·N(d1)-X·exp^(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期权初始合理价格

X—期权执行价格

S—所交易金融资产现价

T—期权有效期

r—连续复利计无风险利率

σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）

N(d1)，N(d2）—正态分布变量的累积概率分布函数

需要特别注意的是，该模型的基本假设之一是股票价格随机波动并符合对数正态分布。

以下举例阐释该模型的具体应用方法：

假设市场上某股票现价S为164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为

0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

①求D1:D1=[ln164/165+(0.052+0.0841/2)×0.0959]/√(0.0841×0.0959)=0.0327

②求D2:D2=0.0327-√(0.0841×0.0959)=-0.057

③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。

三、经济损失估计

保险学作为金融学的分支之一，发展之初便建立在基于大规模数据分析的概率统计基础之上。在保险学的财产损失评估领域，概率统计知识特别是数学期望和参数估计得到了大量运用。

以下举例阐释参数估计在财产损失评估方面的应用：

已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N（μ，

σ2）。今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。根据这些数据估计平均损失。

由矩估计或极大似然估计均可得出：

代入表中数据运算得：

从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55 元。保险精算师在设定保费额度和保险费率时即可参考以上数据，以期得到较为合理的保费数据。

四、VaR风险控制模型

VaR意为“处于风险状态的价值”，即在一定置信水平和一定持有期内，某一金融工具或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。当代经济学者将之定义为“给定置信区间的一个持有期内最坏的预期损失”。VaR不仅指出了市场风险暴露的大小,同时也给出了损失的概率。其与ES模型并列为两大风控模型，在金融资产定价和管理方面被广泛运用。

其定义式为：VaR=E（ω）-ω*①

式中E（ω）为资产组合的预期价值；ω为资产组合的期末价值；ω*为置信水平α下投资组合的最低期末价值。

又设ω=ω0（1+R）②

式中ω0为持有期初资产组合价值，R为设定持有期内（通常一年）资产组合的收益率。

ω*=ω0（1+R*）③