2021年广东中考数学复习练习课件：§8.7 代数几何综合题型(二)

解析
(1)∵AB∥CD,∴
CM BF
=
CE BE
.
又∵AB=BE=8,BC=BF=6,∴ CM = 8 6 ,∴CM= 3 .
68
2
∵点M在线段CQ的垂直平分线上,
∴MQ=CM= 3,∴t= 3.
2
2
∴当t=
3 2
时,点M在线段CQ的垂直平分线上.
(2)如图所示,
∵∠ABC=∠EBF=90°,AB=BE=8,BC=BF=6, ∴AC=EF=10. ∵AB∥CD,
∴
EM EF
=
EC EB
,∴EM=
5 2
.
∵GH⊥AB于点H,QN⊥AF于点N,
∴PH∥BC∥QN,∴
PH
=
CB
QN
,
=
BE
,
AP AC QF EF
∴ PH = 6 , QN = 8 ,
2t 10 10 t EM 10
∴PH= 6 t,QN=6- 4 t.
5
5
∵四边形PQNH为矩形,∴PH=QN,即 6 t=6- 4 t,解得t=3.
9
用时36秒.若AK= 4 ,请直接写出点K被扫描到的总时长.
图1
图2
解析 (1)当AP⊥BC时,点P与点A的最短距离为PA的长,如图1. ∵AB=AC,∴PC= 1 BC=4.
2
在Rt△PAC中,tan C= 3 = PA ,∴PA=3.
44
图1
(2)由(1)得AB=AC= AP2 CP2 =5. 如图2,由∠B=∠APQ,易得△APQ∽△ABC.
55
图4 (4)23秒.
提示:设点P移动了t秒,当0≤t≤12时,AQ=AP=2+PM= 1 t+2,令AQ= 9 ,解得t=1;
4
4
当12<t≤36时,由△ABP∽△PCQ,得CQ= BP CP .
AB
∴AQ=5-CQ=5-
1 5
1 4
t
3
11
1 4
t
=
1 80
(t-28)2+
9 5
,
令AQ= 9 ,解得t=22或34.
图2
∴
AP AB
2
=
4
4
5
.∴AP=
10 3
.
∴MP=AP-AM= 4 .
3
(3)作PH⊥AC交直线AC于点H,则点P到直线AC的距离为PH的长. 当0≤x≤3时,如图3.由∠B=∠APQ,得PQ∥BC,∴∠AQP=∠C.
∴tan∠AQP= 3 = PH .∴QH= 4 PH.
4 QH
3
在Rt△QPH中,PQ=
中考数学
（广东专用）
§8.7 代数几何综合题型(二)
1.(2020河北,26,12分)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan
C=
3 4
.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC
上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始
PH
2
4 3
PH
2
=
5 3
PH.
由△APQ∽△ABC,得
AP 5
=
5 3
PH
,∴AP=
25 PH.
24
8
∴x+2= 25 PH,∴PH= 24 x+ 48 .
24
25 25
图3
当3≤x≤9时,如图4.同理可得PC= 5 PH.
3
∴x-(5-2)=8- 5 PH.
3
∴PH=- 3 x+ 33 .
25 5
57
(02<t<5).
∵AB∥CD,点P在∠AFE的平分线上,
CK PC
∴ AF = AP ,∠MKF=∠AFK=∠MFK, ∴MK=MF,∴CK=MK-CM=MF-CM=EF-EM-CM
=10- 5 - 3 =6.
22
又∵AF=AB+BF=8+6=14,AP=2t,PC=10-2t,
∴
6
55
(3)如图所示,作QN⊥AF于点N,交DM的延长线于点I.
4
5
4
由(2)得QN=6- 5 t,EM= 2 ,则QI= 5 t.
∵GH⊥AB,∠ABC=90°,∴GH∥BC,∴ BH=
CP
,
AB AC
∴ BH =10 2t ,∴CG=BH=8- 8 t,
8 10
5
∴S =S -S -S 四边形QCGH 梯形GMFH △QCM △QHF
10
=
2t
,∴t=
7
.
14 2t
2
经检验,t= 7 是分式方程的解,且符合题意.
2
∴点P在运动过程中,存在t= 7 ,使点P在∠AFE的平分线上.
2
一题多解 (3)过点Q作QN⊥AF于点N,连接PQ.由图可知,S四边形QCGH=S五边形QCGHN-S△QHN=S四边形BCGH+S四边形QNBCS△QHN.
=
1
(CG+CM+BH+BF)·BC-1
CM·QI-
1
(BH+BF)·QN
2
2
2
=
1 2
8
ห้องสมุดไป่ตู้
8t 5
3 2
8
8 5
t
6
×6-
1
×2
×3
2
41
t-5 ·2
8
8 5
t
6
6
54=t-
(4)存在t= 7 ,使点P在∠AFE的平分线上.理由如下:
2
连接FP,并延长交DC于点K,如图所示.
t12+6
1
t+
终保持∠APQ=∠B.
(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;
(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时,求MP的长;
(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);
(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共
2.(2020山东青岛,24,12分)已知:如图,在四边形ABCD和Rt△EBF中,AB∥CD,CD>AB,点C在EB上,∠ABC= ∠EBF=90°,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度为1 cm/s.过点P作GH⊥AB于点H,交CD于点G.设运 动时间为t(s)(0<t<5). 解答下列问题: (1)当t为何值时,点M在线段CQ的垂直平分线上? (2)连接PQ,作QN⊥AF于点N,当四边形PQNH为矩形时,求t的值; (3)连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (4)点P在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点P在∠AFE的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说 明理由.
4
9
只要AQ≥AK= 4 ,点K就能够被扫描.
综上,点K被扫描到的总时长为(22-1)+(36-34)=23秒.
难点突破 第(4)问首先根据点P的运动时间为36秒和路径长为9个单位长度,可求出点P运动的速度是 每秒1/4个单位长度,进而用含t的代数式表示各条线段长,求出线段AQ关于t的函数关系式,从而求得当Q 点与K点重合时的t值,进而得出点K被扫描到的总时长=(22-1)+(36-34)=23秒.