回归分析试题

11. （2011?陕西）设（x i , y i ）,（ X 2, y 2）,•••,（ x n , y n ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线I 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）A. x 和y 的相关系数为直线I 的斜率B. x 和y 的相关系数在0到1之间C. 当n 为偶数时，分布在I 两侧的样本点的个数一定相同2.（ 2011?山东）某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 49 26 39 54x+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为 6万元时销售额为（1. （2011?陕西）设（x i, y i）,（X2, y2）,•••,（x n, y n）是变量x和y的n个样本点，直线I是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B．x 和y 的相关系数在0 到1 之间C. 当n为偶数时，分布在I两侧的样本点的个数一定相同D. 直线I过点（x,y ）2. （2011?山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程ybx+a中的b为9.4 ，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）2①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为 2千元.31. 下列关于残差的叙述正确的是 （ ）A. 残差就是随机误差 B C.残差都是正数 D解析：选D.由残差的相关知识可知.2. （2010年高考湖南卷）某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 （ ）A. =- 10x + 200B. = 10x + 200C. =- 10x — 200D. = 10x — 200解析：选A.由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除 B 、D.又当x = 10时，A 中y = 100，而C 中y =— 300，C 不符合题意，故选 A.3 •如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是 （ ）A .B .C. D .解析：选B.图是正相关线性最强，图是负相关线性最强，散点图的点较分散.4. （2011年高考辽宁卷）调查了某地若干户家庭的年收入 x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y = 0.354X + 0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加 __________ 万元.解析：由题意知[0.254（x + 1） + 0.321] — （0.254X + 0.321） = 0.254.答案：0.254 一、选择题1 .下列各关系中是相关关系的是 （ ）路程与时间、速度的关系;加速度与力的关系；产品成本与产量的关系； 圆周长与圆面积的关系； 广告费支出与销售额的关系.A . B.C. D .解析：选C.都是确定的函数关系.2．能表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度的是 ( ).残差就是方差•残差可用来判断模型拟合的效果A.(yi －i)B.(i －yi)C.(yi －i)2D.(yi －)2解析：选C.残差平方和表示接近程度.3. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1 , y1) , (x2 , y2)，…，(xn , yn)，则下列说法中不正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程= x +必过样本点的中心(，)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数r = - 0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选 C.4 •某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得=0.577X - 0.448(x为人的年龄，y(单位：％)为人体脂肪含量)•对年龄为37 岁的人来说，下面说法正确的是( )A. 年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B. 年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C. 年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D. 年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.50%解析：选C.当x= 37时，=0.577 X 37- 0.448 = 20.901沁20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.5. 在一次试验中，测得(x , y)的四组值分别是A(1,2) , B(2,3) , C(3,4) , D(4,5)，则y与x间的线性回归方程为()A. = x + 1B. = x+ 2C. = 2x + 1D. = x —1解析：选A.由题意可知变量y与x成线性相关关系，且斜率= 1，代入点(1,2)，即可得出线性回归方程= x + 1.6. 有下列数据x 1 2 3 y 3 5.99 12.01下列四个函数中，模拟效果最好的为( )A. y = 3X 2x—1 B . y = Iog2x4C. y= 3x D . y = x25解析：选A.当x= 1,2,3，代入求y值，求最接近y的值.二、填空题7. 对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为____________ 6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为.解析：由题意知=2,= 3,= 6.5，所以=一=3—6.5 X 2=—10,即回归直线的方程为=一10+ 6.5x.答案：=—10+ 6.5x8•如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据______________ 后，剩下的4组数据的相关指数最大.解析：经计算,去掉D(3,10) 这一组数据后,其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近,即两变量的线性相关性最强,此时相关指数最大．答案：D(3,10)9 •为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x, y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________ .解析：相关指数R2= 1 —.R2的取值范围是[0,1] •当R2= 0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0, x与y没有任何关系；当R2= 1时，即残差平方和为0, x与y之间是确定的函数关系；其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2(0,1).答案：(0,1)三、解答题10 .对两个变量x, y取得4组数据(1,1) , (2,1.2) , (3,1.3) , (4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y = 0.1x + 1，乙y = —0.05x2 + 0.35x + 0.7 ,丙y= —0.8 • 0.5x + 1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际.解：对甲模型：残差平方和(yi —i)2 =0.0109；对乙模型：残差平方和(yi —i)2 = 0.0049 ；对丙模型：残差平方和(yi —i)2 = 0.0004.显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际.11•关于x与y有如下数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有如下的两个线性模型：= 6.5x + 17.5 ；= 7x+ 17.试比较哪一个拟合效果更好.解：由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —0.5 —3.5 10 —6.5 0.5 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —0.5)2 + ( —3.5)2 + 102+ ( —6.5)2 + 0.52 = 155,6(yi - )2 = ( - 20)2 + ( - 10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.所以R= 1- = 1 - = 0.845.由可得yi —i与yi —的关系如下表：yi - i - 1 - 5 8 -9 - 3 yi - - 20 - 10 10 0 20 所以(yi - i)2 = ( -1)2 + ( -5)2 + 82 + ( - 9)2 + ( - 3)2 = 180,(yi - )2 = ( - 20)2 + ( - 10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 -= 1 —=0.82.由于R= 0.845 , R= 0.82,0.845>0.82 ,所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果.12 .为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下时间x/天1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y与x之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1)散点图如图所示：⑵由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x的周围，于是令z= Iny ,贝Ux 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.⑶6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 = (yi - i)2 = 3.1643 ,(yi - )2 =-62~ 24642.83,R2= 1 - ~ 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.1 •下列较合适用两变量相关关系的是( )7(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 =3.1643，(yi —)2 = —62~ 24642.83,R2= 1 0.9999.1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 =3.1643，(yi —)2 = —62~ 24642.83,1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.R2= 1 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 =3.1643，(yi —)2 = —62~ 24642.83,1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.R2= 1 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 =3.1643，(yi —)2 = —62~ 24642.83,1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.R2= 1 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 = 3.1643 ，(yi —)2 = —62~ 24642.83,1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.R2= 1 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.所以R= 1 — = 1 —= 0.845.由可得yi —i 与yi —的关系如下表：yi —i —1 —5 8 —9 —3 yi ——20 —10 10 0 20 所以(yi —i)2 = ( —1)2 + ( —5)2 + 82 + ( —9)2 + ( —3)2 = 180,(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02 + 202 = 1000.所以R= 1 — = 1 —=0.82.由于R= 0.845 ，R= 0.82,0.845>0.82 ，所以R>R.故的拟合效果好于的拟合效果．12 ．为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化，收集数据如下时间x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1) 用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；(2) 求y 与x 之间的回归方程；(3) 计算残差，相关指数R2,并描述解释变量与预报变量之间的关系.解：(1) 散点图如图所示：(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= c1ec2x 的周围，于是令z= lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得，相关系数r疋0.9999>0.75，所以z与x有很强的线性相关关系.因此得= 0.69x + 1.112，则有= e0.69x + 1.112.(3)6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 =(yi —i)2 =3.1643，(yi —)2 = —62~ 24642.83,1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6(yi —)2 = ( —20)2 + ( —10)2 + 102+ 02+ 202 = 1000.R2= 1 0.9999.即解释变量时间对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99%.1.下列较合适用两变量相关关系的是( )6)(3)在中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；(4)在中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适•带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 以上结论中，正确的有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 415。