高考数学二轮复习专题 数列(Ⅰ)

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题9数

__列(Ⅰ)

回顾2008～2012年的考题，2008年第10题考查等差数列的前n项和公式，第19题考查了等差数列、等比数列的综合运用，2009年第14题考查等比数列，第17题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，2010年第19题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，2011年第13题考查等差数列与等比数列，第20题考查等差数列的综合运用，2012年第6题考查等比数列的通项公式，第20题考查等差数列与等比数列的综合运用.

预测在2013年的高考题中：

(1)等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式以及其性质仍然是高考热点，并以中高档低为主；

(2)等差数列与等比数列的综合运用仍然可能作为压轴题出现.

1．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.

解析：a1a4＝a23，(a2－2)(a2＋4)＝(a2＋2)2，

2a2＝－12，a2＝－6.

答案：－6

2．(2012·南京第二次模拟)设S n 是等差数{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 7＝________.

解析：设{a n }的公差为d ，则由S 3S 6＝1

3可得

3a 1＋3d

6a 1＋15d ＝1

3

，故a 1＝2d .

故S 6S 7＝6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝12d ＋15d 14d ＋21d ＝2735. 答案：2735

3．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于________． 解析：lg 2＋lg(2x ＋3)＝2lg(2x －1)， 2(2x ＋3)＝(2x －1)2，

(2x )2－4·2x －5＝0,2x ＝5，x ＝log 25. 答案：log 25

4．在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为

第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________．

解析：a 3＝－4，a 7＝4，d ＝2，tan A ＝2，b 3＝1

3，b 6

＝9，q ＝3，tan B ＝3则tan C ＝－tan(A

＋B )＝1，A ，B ，C 都是锐角．

答案：锐角三角形

5．(2012·无锡名校第二次考试)若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正项等比数列{a n }是一个“2 012积数列”，且a 1>1，则其前n 项的积最大时，n ＝________.

解析：根据条件可知a 1a 2a 3…a 2 012＝a 2 012，

故a 1a 2a 3…a 2 011＝1，即a 2 0111 006＝1，故a 1 006＝1，而a 1>1，故{a n }的公比0

007<1，a 1 005>1，故数列{a n }的前

n 项的积最大时，n ＝1 005或1 006.

答案：1 005或1006

[典例1]

(1)等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k＋a4＝0，则k＝________.

(2)已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a1a2…a9＝________. [解析](1)由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，

a10＋a4＝2a7＝0.

所以k＝10.

(2)由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a32＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a38＝10，所以a2a8

＝501 3.

所以a1a2…a9＝a95＝(a2a8)9＝503 2.

[答案](1)10(2)503 2

等差中项和等比中项的本质是整体思想的运用，用来实现等量之间的代换．这是在数列运用基本量研究外的一个重要的处理问题的手段．

[演练1]

设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

解析：由条件可知，a2＝5，从而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差为3，所以a11＋a12＋a13＝6＋(10＋11＋12)×3＝105.

答案：105

[典例2]

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk(m，k＝1,2,3，…，n，n≥3)，公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．且d m＝(2－m)d1＋(m－1)d2.

(1)当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：

(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每组中数的个数构成等差数列)．

设前m组中所有数之和为(c m)4(c m>0)，求数列{2c n d n}的前n项和S n；

(2)设N是不超过20的正整数，当n>N时，对于(1)中的S n，求使得不等式1

50(S n－6)>d n 成立的所有N的值．

[解](1)当d1＝1，d2＝3时，d m＝2m－1(m∈N*)．

数列{d m}分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…

按分组规律，第m组中有(2m－1)个奇数，

所以第1组到第m组共有1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2个奇数．

注意到前k 个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2， 所以前m 2个奇数的和为(m 2)2＝m 4， 即前m 组中所有数之和为m 4.所以(c m )4＝m 4.

因为c m >0，所以c m ＝m ，从而2c m d m ＝(2m －1)·2m (m ∈N *)．

所以S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n,2S n ＝1·22＋3·23＋5·24

＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，

故－S n ＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1 ＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1 ＝2×2(2n －1)2－1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6.

所以S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.

(2)由(1)知d n ＝2n －1(n ∈N *)，S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6(n ∈N *)． 故不等式1

50(S n －6)>d n 就是(2n －3)2n ＋1>50(2n －1)．

考虑函数f (n )＝(2n －3)2n ＋1－50(2n －1) ＝(2n －3)(2n ＋1－50)－100. 当n ＝1,2,3,4,5时，都有f (n )<0， 即(2n －3)2n ＋1<50(2n －1)． 而f (6)＝9(128－50)－100＝602>0，

注意到当n ≥6时，f (n )单调递增，故有f (n )>0. 因此当n ≥6时，(2n －3)2n ＋1>50(2n －1)成立， 即1

50

(S n －6)>d n 成立． 所以，满足条件的所有正整数N ＝6,7， (20)