水平宽,铅垂高.docx
水平宽铅垂高求三角形面积
水平宽铅垂高求三角形面积文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.C铅垂hCByDBy例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（a=，因此2y=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得，因此直线AB为y=+，当x=－1时，y=C的坐标为（－1）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()2132********331932PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--+⎛⎫=-++⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB 的面积的最大值为93，此时13,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭. 例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A（3,0）代入解析式求得1-=a 所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( 图-2xC O yABD11例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
水平宽铅垂高的公式
《水平宽×铅垂高的公式》是一个早已被广泛使用的数学公式，通常用于计算几何图形的面积。
该公式是：面积=水平宽×铅垂高。
水平宽是指平面上的某一物体的宽度，而铅垂高是指从水平宽上端到该物体下端的垂直距离。
这两个参数一般可以根据实际测量结果确定，也可以从图表中确定。
该公式用于计算多边形、梯形、椭圆形等几何图形的面积，也可用于计算曲线下的面积。
例如，在计算椭圆形面积时，需要将椭圆形分割成多边形，然后再利用该公式计算面积。
《水平宽×铅垂高的公式》在计算几何图形面积时显得非常有用，它也是许多学科研究、建筑设计和其他实际应用中常用的一种数学计算方法。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
(word完整版)三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒)
三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B公式推导如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝1122AG BD CH +g g ＝()12AG CH BD +g ＝12EF BD g .公式应用1——上下垂线例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.A .281a B . 2161a C . 2321a D .说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（12a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，12a ），∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，14a ）.过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为38a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点G 的纵坐标为38a ，∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝18a ，∴S △BDF ＝2111122816BC FG a a a ==g g .公式应用2——左右垂线例2（适合八年级） 如图，直线13y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a 的值.说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△ABP 的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 面积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC相等列方程求解；二是将点C 沿AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC P相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 坐标先求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’坐标求直线PC ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值. 三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，不妨换个角度应用公式，即从A ，B ，P 向y 轴作垂线（即左右方向作垂线）解析：过线，则OB 而PE 度）由AB OB ＝1，而P 的纵坐标为12，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a 从而有1122122a ⎛⨯⨯=⨯⨯- ⎝⎭ ， 解得4a =-.公式应用3——内外垂线从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有12EF CG g . 简单推导：S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝1122CG EH CG FH -g g ＝12EF CG g . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0）． （1）求直线BD 和抛物线的解析式．（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（4）点Q使得CQ BQ 的值最大，若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的上方或下方，故要分类讨论：当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD ＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3为水平宽，则铅垂高PE ＝223433x x x x x -+-+-=-+.两种情况合起来就是213362x x ⨯⨯-=，即234x x -=±.当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.解后：从以上几例可以看到，灵活运用水平宽与铅垂高公式，可以有效解决三角形面积问题，尤其是在例3，可以将P 点的两种不同的位置分类统一为PE 长（绝对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 上方时，几何法要构造高等繁杂作法，使得问题解决简洁而快捷.老叶2015年1月26日记于温十七中。
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积公式
铅垂高水平宽面积的公式主要有以下三种：
一、公式1：面积= 泊松号 X 铅锤长度^²
①泊松号：指一个水体中水深和宽度的比值，根据泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：指用铅锤测定水体深度的时候，把铅锤垂直向下投放的距离，也就是两支铅锤的总长度。
二、公式2：面积= 2 X 垂膨泊松号 X 铅锤长度 X 面积系数
①垂膨泊松号：指水体中水深（投放铅锤时，从投放点到水体底部的距离）和宽度的比值，根据垂膨泊松号表，可以确定水体深度和宽度的大小。
②铅锤长度：与公式1中定义相同。
③面积系数：指水体宽度在铅锤投放时会发生变化而产生的影响，通过查阅相关资料可以确定面积系数的大小。
三、公式3：面积= 2 X 水柱体积 X 面积系数
①水柱体积：指用两支铅锤测量水体的时候，铅锤之间的柱体积，也就是一个整体的一个立方体的体积。
②面积系数：与公式2中定义相同。
铅垂高水平宽求三角形面积
铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。
铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。
把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。
铅垂高与水平宽6种模型原理(一)
铅垂高与水平宽6种模型原理(一)铅垂高与水平宽6种模型模型定义铅垂高与水平宽6种模型是地图投影方式中比较常见的一种模型。
它将地球投影到一个长方形上，长方形的一条边为地球的赤道，另一条边则为某一子午线。
等角投影（兰伯特投影）等角投影是铅垂高与水平宽6种模型中最常见的一种投影方式。
它保持地球表面上的每一个角度都不变，因此被称为“等角投影”或“兰伯特投影”。
等积投影（面积投影）等积投影是铅垂高与水平宽6种模型中另一个常见的投影方式。
它可以保持地球表面上的任何一个区域面积不变，因此被称为“等积投影”或“面积投影”。
柱面投影柱面投影是将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开到平面上。
在这种投影方式下，保持线段的直线性，但是面积的失真比较严重。
锥面投影锥面投影是将地球表面投影到一个圆锥体上，然后再展开到平面上。
在这种投影方式下，保持面积的相对大小，但是形状会发生畸变。
圆盘投影（正交投影）圆盘投影是将地球表面投影到一个圆盘上。
在这种投影方式下，保持在投影面上看到的所有角度和长度的比例都与球面地理上的原始值相同。
多层投影（高斯－克吕格投影）多层投影是将地球投影到多个圆锥面或圆柱面上，不同区域采用不同的投影方式。
这种方法可以同时保持角度和面积的几何关系。
以上是铅垂高与水平宽6种模型的详细解释。
选择不同的投影方式，需要根据实际需要和应用场景来进行选择。
模型特点在六种投影模型中，每种模型的特点和优劣并不一样。
以下列出各种模型的特点：•等角投影：保持角度不变，适用于航海等需要准确角度的应用。
•等积投影：保持面积不变，适用于地图上展示不同区域的面积大小比例。
•柱面投影：保持直线性，适用于航线和等经度线的展示。
•锥面投影：保持面积比例，适用于矩形地图的展示。
•圆盘投影（正交投影）：保持角度和长度比例不变，适用于卫星地图和渐进地图。
•多层投影：综合各种模型的优点，适用于展示大区域的地图。
模型应用各种铅垂高与水平宽模型在不同的应用场景中有着不同的应用。
初中水平宽与铅垂高程专题
初中水平宽与铅垂高程专题初中水平宽与铅垂高程是数学中的一个重要专题。
本专题主要讲解水平宽和铅垂高程的概念、性质以及计算方法。
通过研究本专题，学生可以更好地理解和运用水平宽与铅垂高程的相关知识。
一、水平宽的概念与性质1. 水平宽是指两条平行线之间的最短距离，在平面几何中起到重要作用。
2. 水平宽的性质：- 两条平行线的水平宽相等。
- 在同一平面上，通过一点画一条直线与两条平行线分别交于A、B两点，那么AB线段就是两条平行线的水平宽。
- 两条平行线的水平宽与它们的夹角没有关系。
二、铅垂高程的概念与性质1. 铅垂高程是指点到直线的垂直距离，也叫作垂直高度。
2. 铅垂高程的性质：- 同一直线上的点到直线的铅垂高程相等。
- 两条相交直线的铅垂高程可以相互抵消，即如果A点到直线L1的铅垂高程为h1，B点到直线L2的铅垂高程为h2，且h1 = h2，则A点到直线L2的铅垂高程等于B点到直线L1的铅垂高程。
三、水平宽与铅垂高程的计算方法1. 计算水平宽的方法：- 两条平行线之间的水平宽可以通过垂直于两条平行线的任意一条直线与两条平行线分别交于A、B两点，然后计算AB线段的长度来求得。
2. 计算铅垂高程的方法：- 点到直线的铅垂高程可以通过垂直于直线的直线与直线相交得到的交点，然后计算交点到目标点的距离来求得。
当直线为水平直线时，铅垂高程即为点到水平直线的垂直距离。
本专题的学习可以通过理论知识的学习和练习题的做题来加深对水平宽与铅垂高程的理解和运用能力。
希望同学们能够在学习过程中多加练习，掌握好本专题的重点知识和计算方法。
铅垂高水平宽
M
第10页，共14页。
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物 线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的
两部分，请求出P点的坐标
❖ 解：（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为
．
yx5
那么，PH与直线 BC的交点坐标为
E(a，a．5)
求吗？
第4页，共14页。
如图：抛物线 yx2与2x轴 的3另一交x点为B点，与y轴
交于点C，点D是抛物线的顶点。
（5）连结CD，AD,AC.则S△ACD= . 1
yD
C
Ao
x
△ACD
A(-1,0) C(O,3) D(1,4)
在直角坐标系中求面积常用方法：
1.寻找横向或纵向的边为底是计算面积的基本方法。
y
C
Ao B x
△ABC
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
SABC12ABCO 1436 2
第2页，共14页。
如图：抛物线 yx2与2x轴的3另一x交点为B点，与y轴
交于点C，点D是抛物线的顶点。
（3）连结AD，BD.则S△ABD=
8
.
yD A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
在A△直Ao角BD坐D/ 标B 系x中计S算A三B角C形121面A积4B的D 基4D 本方8 法： 2
直接利用面积公式三角形的一边平行或垂直于一条坐标轴三角形的一边平行或垂直于一条坐标轴aabbccaabbcca15a15b65b65c31c31a1515b47b47c21c21a1616b43b43c1111aabbcc如图过abc的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线外侧两条直线之间的距离叫abc的水平宽a中间的这条直线在abc内部线段的长度叫abc的铅垂高h
铅垂高水平宽 ppt课件
抛物线中的三角形面积
交讨流 论讨 交论流
寻找横向或纵向的边为底，再利用面积公式
如图：抛物线 yx2与2x轴3的另x一交点为B点，与y轴交
于点C，点D是抛物线的顶点。
（4）连结CD，BD,BC.则S△BCD= 3 .
yD
C
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
o Bx
△BCD
此的时边，，割没那补有么法大△家BC期D待的的面横积向可或以纵用向别
．
2
3
14
拓展
（6）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB， 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
D（1，4）
C
P
P3
3
A
-1 O
P
B
3
x
3
P
（7）若 3S△PAB=4 S△CAB，
则符合条件的点P有几个?
3个
y
PD（1，4）
C
3
4
A
-1 O
P
B
3
x
4
P
E点坐标。
回顾
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算顶点的坐标
点的坐标—核心
再计算面积
直接利用面积公式 割补法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
铅垂高水平宽二次函数应用
铅垂高水平宽二次函数应用△ABC的三个顶点，B、C为定点，A为动点，作AD⊥x轴交BC于点D，AD是垂直距离--铅垂高，B、C两点水平距离--水平宽。
S△ABC=水平宽×铅垂高=|x C-x B|•|y A-y D|例1.已知二次函数y=−x2−2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点。
在P点运动过程中，求△APC面积的最大值和此时P点坐标。
（略）解：点A(-3,0)、 B(1,0）、C(0,3)方法一：铅垂高。
作PD⊥x轴交AC于点D，l AC：y=x+3.设P（m,−m2−2m+3）,则D（m,m+3）∴PD=−m2−2m+3-m-3=−m2−3m，S△PAC=(−m2−3m)•3=-m2-m，当m=-=-=-，S△PAC最大=，将m=-代入y p=−m2−2m+3=，∴P(-,)方法二：分割。
连结PO，设P（m,−m2−2m+3），S△PAC+S△AOC=S△PAO+S△POC，S△PAC=S△PAO+S△POC-S△AOC=×3×（−m2−2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m,下面同上.方法三：平行线。
（平行线PE离AC最远，与抛物线“相切”）作PE‖AC交y轴于点E，由l AC：y=x+3可设l PE：y=x+bx1=x2=-=-代入y p=−x2−2x+3=，∴P(-,) （如果只要求出点P则到此结束）例3x2+3x+b-3=0中△=b2-4ac=9-4(b-3)=0∴b=由平行线等积得S△PAC=S△ACE= CE×OA=(-3）×3=为所求最大.例2.二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．A(-2，0),B(4，0),C(0，-4),l AC：y=-2x-4.设P（m,m2−m-4）,则D（m,-2m-4）∴S△PAC=(m2+m)•2=m2+m.例3.二次函数y=x2-2x-6过点D(4,−6).动点P在直线OD下方时求△POD面积的最大值。
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =图1因此2y x=+（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以20.kk bk bb⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩解得，因此直线AB为y x=+x=－1时，y=，因此点C的坐标为（－1）. （4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()213212PAB PAD PBD D P B AS S S y y x xx∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⎫=+⎪⎝⎭当x=－12时，△PAB，此时1,2P⎛-⎝⎭.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS∆；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S △CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=xay把A（3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=xxxy设直线AB的解析式为：bkxy+=2由3221++-=xxy求得B点的坐标为)3,0(xCOyABD11把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在。
第一节 水平宽铅垂高面积处理
第一节 水平宽铅垂高面积处理我们在做几何题的时候经常会遇到面积问题，尤其是三角形的面积，我们都知道三角形的面积等于底乘高的积的一半，但是在斜三角形中，一旦底与高不好表示，我们会采用割补法的策略。
特别地，在函数与几何的动点问题中，我们往往在动点处向坐标轴作平行线，利用“铅锤法”求出面积的表达式，下面我们就来看看斜三角形的面积处理模型．【例1】（2019•沈阳）如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22(0)k y x x=>的图象相交于点A ，点B 是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB ，AB ，则AOB ∆的面积是 ．【例2】（2020•南海区二模）如图所示，在矩形ABCD 中，8BA cm =，4BC cm =，点E 是CD 上的中点，P 、Q 均以1/cm s 的速度在矩形ABCD 边上匀速运动，其中动点P 从点A 出发沿A D C →→方向运动，动点Q 从点A 出发沿A B C →→方向运动，二者均达到点C 停止运动，设点Q 的运动时间为x ，PQE ∆的面积为y ，则下列能大致反应y 与x 函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．【例3】（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值；【例4】（2020•宿迁）二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(2,0)A ，(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当CEQ ∆的面积为12时，求点P 的坐标．【例5】（2020•深圳）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴的交点(3,0)A -和(1,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AD ，DC ，CB ，将OBC ∆沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O B C '''，点O 、B 、C 的对应点分别为点O '、B '、C '，设平移时间为t 秒，当点O '与点A 重合时停止移动．记△O B C '''与四边形AOCD 重合部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式；【同步训练】1．（2020春•丛台区校级月考）如图，坐标系中四边形ABCD 的面积是( )A ．4B ．5．5C ．4．5D ．52．（2020•河南模拟）如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ ∆的面积为2()S cm ，则2()S cm 与()t s 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．（2020•绵阳）如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD的交点为B 0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点FBDEF 为平行四边形． （1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；4．（2020•菏泽）如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD ∆的面积是92时，求ABD ∆的面积；5．（2020•滁州模拟）在EFG==，正方形ABCD的边长为1，∠=︒，EG FG∆中，90G将正方形ABCD和EFG∆如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG∆重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是()A．B．C．D．第二节 面积转化问题面积的问题中往往会出现需要转化的情况，常见的方法是底边成比例找点，利用平行线构造等高，利用相似转化面积之比等等，我们将通过下面的模型来加以说明．【例1】（2020•遂宁）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)A ，(3,0)B ，(0,6)C 三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ，直线BE 交AD 于点E ，若直线BE 将ABD ∆的面积分为1:2两部分，求点E 的坐标．【例2】（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于另一点(1,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使PAB OAB S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；【例3】（2020•成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记BDE ∆的面积为1S ，ABE ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值；【同步训练】1．（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点(2,6)C ，如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB 的函数解析式为 4y x =+ ，点M 的坐标为 ，cos ABO ∠= ； 连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将AOC ∆的面积分成1:2的两部分，则点P 的坐标为 ；2．（2020秋•碑林区校级期中）如图，抛物线2y x bx c =++经过点(3,12)和(2,3)--，与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，它的对称轴为直线l ，顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式和顶点D 的坐标；（2）直线AC 交抛物线的对称轴l 于点E ，在抛物线上是否存在点F ，使得BCF ∆与BCE ∆的面积相等，如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2020•郴州）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．已知直线y kx n =+过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设PDC ∆的面积为1S ，ADC ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值；第三节 面积重叠问题动点问题是中考数学中的重难点部分，分类讨论在这类问题的处理中也是老生常谈了。
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1、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽” （ a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积
的新方法：S△ABC= 1
ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
2
解答下列问题：
如图 2，抛物线顶点坐标为点C（ 1， 4），交 x 轴于点 A （ 3， 0），点P 是抛物
线（在第一象限内）上的一个动点．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）若点 B 为抛物线与y 轴的交点，求直线AB 的解析式；
（ 3）在（ 2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB 、x 轴于点 D 、M ，连接 PA 、
PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△ CAB 的铅垂高CD 及 S△CAB；
（ 4）在（ 2）的条件下，设P 点的横坐标为x ，△ PAB 的铅垂高为h、面积为S，请分别写出
函数关系式．
h 和S 关于x 的
2、如图，直线y1x 3，与x 轴， y 轴分别交于点B、 C，经过B、 C 两点的抛物线与x 轴的另一个交点为点 A ，顶点是点P，且对称轴是直线
（ 1）求抛物线的解析式
x 2
（ 2）直线y1x 3 向下平移个单位，使它与抛物线只有一个公共点，并求出此时直线的解析式。
（ 3）①当y1＞y2时，观察图像，自变量的取值范围是。
②自变量在上述范围内，在y2上是否存在点M ，使得S CBM有最大值，若存在，求出最大值，并求出
此时点 M 的坐标，若不存在，请说明理由。
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，0) ，B(0 ，-4)，C(2，0) 三点 .
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为 m，△ AMB的面积为 S. 求 S 关于 m的函数关系式，并求出
S 的最大值；
(3) 若点P 是抛物线上的动点，点Q是直
线
y=－ x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、 B、0 为顶点的四
边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐
标
.
4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2bx c 的图象与x 轴交于 A 、 B两点， A 点在原点的左
侧， B 点的坐标为（3， 0），与 y 轴交于C（ 0， -3）点，点P 是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结 PO、PC ，并把△ POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′ C，那
么是否存在点 P，使四边形 POP′ C 为菱形？若存在，请求出此时点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
（ 3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时
P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
5、如图，抛物线经过A(4 0)B(10) C (02) 三点．
（ 1）求出抛物线的解析式；
（ 2） P 是抛物线上一动点，过P作PM x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以 A， P， M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点 D 的坐标．
y
6．如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（－ 4， 0）、 B（ 2， 0），与 y 轴交于点 C，顶点
为 D． E（ 1， 2）为线段 BC 的中点， BC 的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、G．O B1 4 A
x
（ 1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；
C
（ 2）在直线 EF 上求一点 H，使△ CDH 的周长最小，并求出最小周长；（第 24 题图）
（ 3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
D
y
C
G E
A
F O B x。