最新高中数学必修二 空间直角坐标系
高中数学必修二课件-2.4.1 空间直角坐标系2-人教B版
x轴上的点的坐标的特点： y轴上的点的坐标的特点： z轴上的点的坐标的特点： xOy坐标平面内的点的特点： xOz坐标平面内的点的特点： yOz坐标平面内的点的特点：
Ｐ（m，0，０）
Ｐ（０，m，０ ）
Ｐ（０，0，m ） Ｐ（m，n，０ ）Ｐ（m，0，n ） Ｐ（０，m，n
Z
点
D'
C'
关
A'
B'
于
O
，建立空间直角 坐标系，写出长方体各个顶点 的坐标。
Z
A’ B’
A B X
A（0，0，0） A’（0，0，5）
B（12，0，0） B’（12，0，5 ）
D’ C（12，8，0） C’（12，8，5）
C’ D（0，8，0 D）
D’（0，8，5）
Y
C
长方体AC′中， AB=12，AD=8，AA′=5.如图 ，建立空间直角 坐标系，写出长方体各个顶点 的坐标。
zox 面
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
Ⅴ(+,+,-) Ⅵ(-,+,-) Ⅶ(-,-,-) Ⅷ(+,-,-)
例题选讲:
例1 在空间直角坐标系中，作出点P（3，2，3）.
z
3 2
1
o
1 2 3
x
P（3，2，3 ）
y
12 3
P' (3,2,0)
例题选讲:
例2 长方体AC′中， AB=12，AD=8，AA′=5.如图
(3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)
高中数学 必修2：4.3 空间直角坐标系
4.3 空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是一一对应的关系，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z Px y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，||MN = 在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，1||||PH MN == 根据勾股定理，得12||PP ==．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【名师点睛】空间中点P 坐标的确定方法 （1）由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD 1|=2，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，E ，F 的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12．所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ． 方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点．故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22． 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为( A )A ．B ．C ．D ． 【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为( C ) A ．B ．C ．D ．【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）；②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）；③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）；④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）；⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）；⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）；⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求：（1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．【例9】如图，已知正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . 【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--， 当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3． 【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则=，即2210(1)3()8z z +-=+-，解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 基础训练1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ B ）A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ A ）A ．（－3，4，5）B ．（－3，－4，5）C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为（ D ）A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43） 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为（ B ）A ．9B ．29C ．5D ．2 65．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是（ B ）A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（ C ）A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P （1，2，3），过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为（ B ）A ．（0，2，0）B ．（0，2，3）C ．（1，0，3）D ．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2），①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+＝2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为（1，0，0）．②设M （x ，0，z ），则有222(1)(2)(1)x z -+-++＝22(2)(2)x z -+-，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0．故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．（2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-＝22(1)51x -+．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）．能力10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）A ．62B ． 3C ．32D ．6311．已知A 点坐标为（1，1，1），B （3，3，3），点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为（ A ）A ．（6，0，0）B ．（6，0，1）C ．（0，0，6）D ．（0，6，0）12．已知M （5，3，－2），N （1，－1，0），则点M 关于点N 的对称点P 的坐标为（－3，－5，2）．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_2393_． 14．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a （0<a <2）．（1）求MN 的长度；（2）当a 为何值时，MN 的长度最短？因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）． （1（2）由（1），得|当a ＝22（满足0<a 即MN 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．16．如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1．∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0）， 同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）．∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz ．（1）若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；（2）在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是（﹣4，3，2）．。
高一数学人必修二课件第四章空间直角坐标系
坐标平面
由任意两个坐标轴确定的 平面称为坐标平面，分别 是xy平面、yz平面和zx平 面。
空间点坐标表示方法
空间中任意一点P的位置可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的坐标 。
根据点P在三个坐标平面上的投影， 可以确定点P在三个坐标轴上的坐标 值。
点P的坐标记作(x,y,z)，其中x是点P到 y轴和z轴的距离，y是点P到x轴和z轴 的距离，z是点P到x轴和y轴的距离。
空间向量加法
空间向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，即两个向量的和等于以这两 个向量为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量。
空间向量减法
空间向量减法可以转化为加法进行，即减去一个向量相当于加上这个向量的相 反向量。
空间向量数量积运算
空间向量数量积的定义
空间向量的数量积是一个标量，等于两向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦的 乘积。
06
空间解析几何初步应用
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量运算和数量积的性质， 推导点到直线距离的公式。
应用举例
利用点到直线距离公式，解决空 间中点到直线的最短距离问题。
两点间距离公式推导及应用
公式推导
根据空间两点坐标，利用向量模长公式推导两点间距离的公 式。
应用举例
应用两点间距离公式，计算空间中任意两点之间的距离。
通过消元法，将空间曲线表示为两个三元一次方程的联立形式。
空间曲线的参数方程
选定适当的参数，将空间曲线上的点的坐标表示为参数的函数。
空间曲线在坐标面上的投影
通过将空间曲线方程中的某一坐标设为常数，可以得到曲线在相应 坐标面上的投影方程。
空间曲面方程
空间曲面的一般方程
01
北师大版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》教案及教学反思
北师大版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》教案及教学反思教案设计教学目标•能够理解一般空间直角坐标系的概念。
•能够掌握三维直角坐标系的表示方法。
•能够在三维直角坐标系中进行点、向量及直线的表示，并理解它们之间的关系。
•能够应用直角坐标系求解在空间中的几何问题。
教学重点•理解三维直角坐标系的表示方法。
•掌握点、向量及直线在三维直角坐标系中的表示方法。
•应用直角坐标系求解空间中的几何问题。
教学难点•向量与点的坐标化。
•空间直线的表示及其性质。
教学过程第一步：导入为了让学生更好地理解三维空间直角坐标系，我将引导学生回顾二维空间直角坐标系，并鼓励学生回忆二维空间中点、向量、直线和平面的定义及相关性质。
随着学生的回忆，我会巧妙引导学生理解三维空间坐标系。
第二步：讲解在此步骤中，我将详细解释三维空间坐标系的定义和相关概念。
让学生理解三维空间坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，学生应该能够掌握三维空间中点、向量及直线的表示方法，并理解它们之间的关系。
第三步：练习为了让学生更好地掌握三维空间坐标系的相关概念和求解能力，我会打出一些简单的练习题，让学生掌握三维空间中的点、向量及直线的表示方法，并熟悉它们之间的关系。
此处我会通过练习题，加深学生的印象，让学生更快地运用到实际中去。
第四步：课堂交流在此步骤之中，我将要求学生根据自己的认知和实际经验，来分享一些解题思路、技巧和心得。
此时我将提供充足的时间给学生进行交流和讨论。
这样能让学生相互交流，发现共同点和不同之处，锻炼学生的思维能力和语言表达能力。
第五步：总结在这一步骤中，我会对本节课所讲授的知识进行总结，并强调课程重点，确保学生掌握了本节课程所讲的内容。
同时，我会在总结中提到经常出现的错误或盲点，帮助学生加深印象，从而提高学习效果。
教学反思教学收获首先，本节课程所讲授的知识比较抽象，但是由于是空间三维坐标表示，便可以采取类似于平面几何的手段，通过练习题目，让学生更好地掌握相关知识点。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
人教A版高中数学必修二4.3空间直角坐标系学案含教学反思
4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.预习课本P134～137，思考并完成以下问题(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手](2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－22＋02＋22＝2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝3－12＋2－02＋1－52＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －32＋y －22＋z －12＝x －12＋y －02＋z －52，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点， 所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝2－22＋2－02＋2－42＝2 2.空间中点的对称[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)．其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝1＋32＋1＋32＋1＋32＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－12＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)． 10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋2－42＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝0－42＋2－02＋3－02＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝0－02＋4－52＋3＋72＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)． 由题意，得|P 0P |＝x －42＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)． 则|MN |＝x 0－62＋1－x 0－52＋0－12＝2x 0－12＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y－a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程_空间直角坐标系
z
z
•
1
P3
• P
1
x
x
•
1
• o
y •P 2
y
P1
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为P0
点。 点 P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横 坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在 z轴上的坐标z就是P点的竖坐标。 z
z P1 P
1
•
y
1
x
x M
1
• o
•P
N
y
0
P点坐标为(x,y,z)
(-1,-3,0) C1 • (2,-2,0) B1
1
O
•
• B•
x
1
1
• A(1,4,1) y •
A1(1,4,0)
(2,-2,-1)
练习：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出 满足下列条件的点的坐标.
(1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z)
Ⅲ
z
yz 面
Ⅳ
zx 面
Ⅱ
xy 面
Ⅶ Ⅷ
•
O
y
Ⅰ
Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设B`为空间的一个定点，过B`分别作垂直于x 轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于 点A,C,D`．
z
设点A,C,D`在x轴、 y轴、z轴上的坐标 分别为x、y、z， 那么点B`就对应惟 一确定的有序实数 组(x,y,z)．
在空间，我们是否可以建立一个坐标系， 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢？
1.建立了一个空间直角坐标系O-xyz．其中 (1)点O叫做坐标原点； (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴； (3)以线段OA的长为单位长度． 2.通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面，分别称为： xOy平面、yOz平面、zOx平面． 称这个坐标系为右手直角坐标 系．如无特别说明，本书建立 的坐标系都是右手直角坐标系．
高中数学必修二4.3.1空间直角坐标系课件
( 1 ,0, 1 ),(1, 1 , 1 ),( 1 ,1, 1 ),(0, 1 , 1 );
2 2 22 2 2 22
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上层这五个钠原子所 在位置的坐标分别是
(0,0,1), (1,0,1), (1,1,1),
(0,1,1),( 1 , 1 ,1);
22
y
x
练习：在空间直角坐标系中描出下列各点， 并说明这些点的位置。
图：建立空间直角坐标系 O xyz 后，
试写出全部钠原子所在位置的坐标。
z
y x
解: 把图中的钠原子分成下,中,上三层来 写它们所在位置的坐标.
下层五个钠原子所在位置的坐标分别是
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),( 1 , 1 ,0);
22
中层这四个钠原子所在位置的坐标分别是
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
解：
z
3 D•
2• B
1 •A C
F• O 1 •2 y 21
•E
x
课后练习：
z
解：
D
P
C
A
B
O xA
Cy B
解：
z
D A
O xA
C
B Q
Cy B
练习：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点 ，写出满足下列条件的点的坐标.（课本138题1）
A
x -1
0
y
P
N
0
Mx
12
数轴上的点可用与 这个点对应的实数 x来表示。
平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标，即一 对有序实数对(x,y)表示。
人教A版数学必修二空间直角坐标系.pptx
∴|EF|＝＝a2 0a2， a2
4
4
2 2
答案 B
10．与点A(－1,2,3)，B(0,0,5)的距离相等的点的坐 标满足的条件为________．
解析 设满足条件的点的坐标为(x，y，z)，由题意 可得
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 x2 y2 (z 5)2 ，
即2x－4y＋4z－11＝0.
垂线AP，垂足为P
过点M作与 平面 xoy垂
直的垂线MA，垂足为A
自学引导
2．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表 示，有序实数组(x，y，z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记作M(x，y，z)．其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标．
12．(创新拓展)如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共 顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．
(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值； 解 (1)∵正方体的棱长为1，P是AB的中点，
∴P (1 , 1 , 1 ) ，∵2|CQ|＝|QD|， 222
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1,y1,z1) OM
P2(x2,y2,z2)
H
y
N
x
自学引导
3．空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
高中数学人教B版必修2课件-.1空间直角坐标系
知识与能力 空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的 点的坐标确定方法.
过程与方法 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直 角坐. 标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法.
情感态度与价值观 在操作活动和观察、分析过程中发展主动 探索、质疑和独立思考的习惯.
B (10,16,0)
课后思考探究 在空间直角坐标系中，点P(x，2，1)和点M（-1，y，4）的特点？
用A和F的坐标如何求出AF的长和AF的中点坐标？
高中数学人教B版必修2课件-.1 空间直角坐标系
高中数学人教B版必修2课件-.1 空间直角坐标系
空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限) 3、空间中点的坐标(一一对应) 4、特殊位置的点的坐标(表格)
D1
A1
C1
B1
y
o
D
C
A
x
B
典例探究
例1 正方体的边 长为2，请建立适 当的空间直角坐 标系，尝试写出 八个顶点的坐标？
(2,0,2) A1
z
D1 (0,0,2)
C1 (0,2,2)
B1 (2,2,2)
(2,0,0) A
x
o D(0,0,0)
y
C (0,2,0)
B (2,2,0)
典例探究
z
(-1,-1,1) D1
O
x
Oy
x
yz
O
z y
xx
O
zx
z
Oy
Oy x
答案 （1）（4）
右手螺旋法则
x轴的正半轴逆时针旋转 90度与y轴正半轴重合
通过每两个坐标轴的平面叫 坐标平面
高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系
4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。
难点：空间直角坐标系的理解。
【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
人教版高中数学必修二空间直角坐标系
1 2 5 3 2 4
2 2
2
3
BC AC
2 3 3 1 4 5
2 2
2
6 29
1 3 5 1 2 5
2 2
2
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。 解:
2 2
2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
|P ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z 2 ) 1P 2 |
2 2
2
z
P1(x1,y1,z1)
O
P2(x2,y2,z2) H
M
y
N
x
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长； 解: AB
23 5 x 2 2 3 1 5 9 2 M , 2, y 2 2 2 45 9 z 2 2 2
9 70 2 5 AC 1 5 2 2 2 2 2
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•
F
C
小提示：坐标轴
•
x
1
O
•
1
E
•
•
D
B y
上的点至少有两个 坐标等于0；坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。
• A1
•
点P的位置 坐标形式
原点
O D
X轴上
A E
Y轴上
B F
Z轴上
C
高B数学必修二课件空间直角坐标系
平面方程及性质
一般式方程
点法式方程
Ax + By + Cz + D = 0（A、B、C不同时 为0）
n·(r - r0) = 0（n为平面法向量，r0为平面 上一点，r为任意点）
三点式方程
性质
(x - x1) / (x2 - x3) = (y - y1) / (y2 - y3) = (z - z1) / (z2 - z3)（(x1, y1, z1)、(x2, y2, z2)、(x3, y3, z3)为平面上三点）
06
空间解析几何初步应用
点到直线距离公式推导与应用
点到直线距离公式
通过向量运算和空间几何知识，推导 点到直线距离的公式，并理解其几何 意义。
应用举例
利用点到直线距离公式，解决空间中 点到直线的最短距离问题，如计算点 到平面的距离等。
两点间距离公式推导与应用
两点间距离公式
通过向量运算和空间几何知识，推导 两点间距离的公式，并理解其几何意 义。
零向量与单位向量
零向量用$(0,0,0)$表示，模长为0；单位向量的模长为1，如$vec{i}=(1,0,0)$， $vec{ j}=(0,1,0)$，$vec{k}=(0,0,1)$。
向量间夹角与距离计算
要点一
向量间夹角
设两个非零向量$vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$和 $vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $coslanglevec{a},vec{b}rangle=frac{vec{a}cdotvec{b}}{| vec{a}||vec{b}|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{sqrt{x_1^ 2+y_1^2+z_1^2}sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$。
高中数学必修2--空间直角坐标系
x轴上的点:(x,0,0)
O
y
x
xOy平面上的点:(x,y,0)
思考:设点M的坐标为（a，b，c）过 点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz 平面的垂线，那么三个垂足的坐标 分别如何？
z
B(0,b,c)
B M y A
C(a,0,c)
C O
x
A(a,b,0)
在空间直角坐标系中描出下列各 点，并说明这些点的位置
( x, y, z ) ； ( 3 ) z轴对称的点P3的坐标为 ____________
x , y , z )__ . ( 4 ) 原点对称的点P4的坐标为(____________
关于谁对称谁不变,其余都相反
P ( x , y , z ) P5 ( x , y , z ) P6 ( x , y , z )
z A P O M N B D Q C y
x
练习2
在棱长为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间 直角坐标系 (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标 (2)写出棱PB的中点M的坐标
1、空间直角坐标系 2、空间直角坐标系中点和坐标的关系 3、应用 4、思想方法：类比、化归 作业：P147----A2
1
y
(坐标轴)
选定某个长度作为单位长度 x
作图：一般的 使? xOy 135鞍 , ? yOz
Z
90
Y X
右手系
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
z
yz 面
Ⅳ
zx 面
Ⅱ
xy 面
Ⅶ Ⅷ
•
O
y
Ⅰ
Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间中点的坐标
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2.3空间直角坐标系
1
2
考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．
3
②会推导空间两点间的距离公式．
4
5
2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离
6
重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导7
空间两点间的距离公式．
8
经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试9
问
（1）在y轴上是否存在点M，满足？
10
11
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出12
点M坐标．
13
14
15
16
17
当堂练习：
18
19
1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（）20
A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 21
3) D．(-1 ,2, -3)
22
2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为23
（）
A．(-3,4,5) B．(-3,-
24
25
4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5)
3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为
26
27
（）
28
A． B．6 C．
D．2
29
30
4．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（）
31
A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 32
0 ,2) D．(-2,0,1)
33
5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（）
34
A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 ,
1) D． 4, -1, 2)
35
36
6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标37
平面是（）
A． xOy平面B． xOz平面C．yOz平
38
39
面 D．以上都有可能
40
7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是41
（）
42
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于坐43
标原点对称 D．以上都不对
8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B
44
45
两点间距离的最小值为（）
46
A． B．C．
D．
47
48
9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）
49
A． B． C． D．
50
10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，51
－5），则点D的坐标为（）
52
A．（，4，－1） B．（2，3，1） C．（－3，1，5） D．（5，53
13，－3）
54
11．点到坐标平面的距离是（）
55
A． B． C． D．
56
12．已知点，，三点共线，那么的值分别是57
（）
58
A．，4 B．1，8 C．，－4 D．－1，－8
13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点
59
60
的距离是（）
61
A． B． C． D．
14．在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂
62
63
线PQ, 则垂足Q的坐标是________________．
64
15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为65
_______________．
66
16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若
67
A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________．
17．已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为
68
69
________________．
70
18．求下列两点间的距离:
A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);
71
72
C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).
73
74
75
76
77
19．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC 78
是直角三角形.
79
80
81
82
20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:
83
84
A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;
85
A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).
86
87
88
89
90
21．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面91
ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．
92
93
94
参考答案：
95
96
经典例题：
解：（1）假设在在y轴上存在点M，满足．
97
98
因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由，可得
99
，
100
显然，此式对任意恒成立．这就是说y轴上所有点都满101
足关系．
102
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
103
由（1）可知，y轴上任一点都有，所以只要就可以使104
得△MAB是等边三角形．因为
105
106
于是，解得
107
故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或108
（0，，0）．
109
110
当堂练习：
111
1.B;
2.A;
3.A;
4.B;
5.C;
6.B;
7.B;
8.C;
9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 112
14. (0, ); 15. ; 16. 3 , 2; 17. (0, ;
113
18. 解: (1)|AB|= (2)|CD|=
114
=
19. 证明:
115
116
为直角三角形.
117
20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则118
,
119
化简得4x-4y-3=0即为所求.
120
(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则
,
121
122
化简得2x-y-2z+3=0即为所求.
123
21. 解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空
间坐标系D－xyz．
124
125
因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面126
ABCD平行，
127
从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b，
128
由H为DP中点，得H（0，0，b）
129
E在底面面上的投影为AD中点，所以E的横坐标和纵坐标分别130
为a和0，所以E（a，0，b），
131
同理G（0，a，b）；
132
F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E 133
横坐标相同都是a，
134
与G的纵坐标也同为a，又F竖坐标为b，故F（a，a，b）．135。