结构力学第五章-2(单位荷载法)

剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
截面形状系数。如：对矩形截
面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。 解：构造虚设状态
（虚拟状态）
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：
1 ql 2 2
ql
1 qx 2 x 2
MP
x qx
VP
结构力学第五章-2（单位荷载法）
设应待的求广的义实力际为广1。义位移为ΔBX ，与ΔBX对
设仅在广义力1作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为N i 、V i 和 M i 。
实际位移状态
P 1
B
C
Bx?
A
虚设的力状态
B C
N i、V i 和
A Mi
又设与内力N p、 Vp和Mp对应的微段实
际变形分别为dup、dvp和d p。
ql
NP
荷载内力图
l
11
xx
x
Mi
Vi
Ni
单位内力图
内力的正负号规定如下：
轴力 NP, Ni
剪力 VP ,V i 者为正；
以拉力为正； 使微段顺时针转动
弯矩 MP, Mi
只规定乘积的正负
号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
将内力方程代入公式，有：
A y
M iM P d s EI
2 EG 3
取：
h l
1 10
，
E G
2.5
，有：
(Ay )N
~
1, 750
(Ay )Q
~
1 500
即：
Ay
5ql 4 8EI
(1 1 1 ) 750 500
(Ay )Q 0.2% , (Ay )N 0.13%
(Ay )M
(Ay )M
因此,对受弯细长杆件,通常略去N、 V的影响。
三、几点讨论（只有荷载作用）：
实际位移状态 P
B
C
Bx? up、vp和 p A ci
虚设的力状态
1B C
N i 、V i 、
和 Mi
A
则杆系结构虚功方程为: 位移计算的一般公式
N i d p V u i d p M v i d p
一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结
弯曲
(Ay )N
~
8 5
I Al 2
,
轴向
(Ay
)Q
~
4 kEI 5 GAl 2
剪切
设杆件截面为 bh 的矩形截面杆，有：
A bh , I bh3 , k 6
12
5
(Ay )N
~
2 (h)2 15 l
,
(Ay
)Q
~
2 25
E G
(h)2 l
E G 的取值范围是什么？
G
E 2(1
)
0 0.5
p N i d p V u i d p M v i d p
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
dP u N E P d A ,d sP G V P d A ,d sP M E P d I
P
轴向
NE iNA PV GiVA PM E iM IPds
剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G
A
C d1
d2 1 d2
C d
A
1 d
B 1 d2
(c)
B
BC
?
(d)
? ABAC
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1A
(e)
M=1 C
B AB ?
1 M=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
M=1
A
(g)
A
?
A
B
M=1
M=1
(h)
AB ?
二、 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
A y
M iM P d s EI
N iN P d s EA
V iV P d s GA
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架：
P
MiMPds EI
2. 对桁架： 3. 对组合结构：
P
NiNPds NiNPl EA EA
P
MiMPds NiNPl
EI
EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 By 和水 平位移 Bx。(EI、EA、GA已知) FP
解：构造虚设的力状态如图示
B
P=1
A
P =1
θ
θ
R
R
MP θ
R
MyRsin M xR (1co )s
R O
P
MPPR sin
将内力方程代入位移计算公式,可得
B y0 lM E P M id Is0 2M E P M iR Id4 P E 3(R I)
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
构；静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切
变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
1 A ?
(a)
1 B
A 1
(b)
AB ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 d
1 d1
1 d1
N iN P d s EA
V iV P d s GA
பைடு நூலகம்
x • 1 /E 2 qd s I x l• x 1 /E 2 q d s I l l1 • E q d s x A 1 G • q d slA
5ql 4
8I 4kEI
8EI (1 5Al 2 5GAl 2 )
讨论： 引入符号
(Ay )M ~ 1 ,
虑轴力对位移的贡献，也即
P
M iMPds EI
NiNpds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
(101m2 )，设 E=210GPa。
FN
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力
FN
代入公式得：
Dy
NiNPl8m(m ) EA
返
章
菜
单