椭圆中的定点定值问题

【拓展延伸】
【变题1】已知椭圆C：x2 y2 1 ,过点 (0, 1)
2
3
作不与x轴垂直的直线l交椭圆于M、N两点，
判试断判以断MM、ANN为的直大径小的是圆否是为否定恒值过？一定点？
y
A
O M
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x N
【拓展延伸】 【拓展1】已知椭圆C：x22 y2 1 的上顶点为A, 过原点作直线l与椭圆分别交于M、N(不同于A
（2）当A为椭圆上任一点(异于长轴顶点)时，
试判定 1 2 是否为定值？若是，请求出，
若不是，说明理由.
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顶点)，且存在锐角θ，使
OP cos OQ sin OR
求证：直线OQ与OR的斜率之积为定值.
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5. 若A为椭圆C： x2 y2 1 上一动点， 2
AB、AC分别过左、右焦点F1、F2，
AF1 1 F1B
AF2 2 F2C
（1）当A为椭圆的上顶点时，求 1 2 ;
第3课时 椭圆中的定点(定值) 问题
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【考情分析】
年份 试题
知识点
备注
直线与圆的位置关系、 点到直线的
2010 第9、18题 直线方程、椭圆方程、 距离为定值、
求曲线的轨迹
直线过定点
2011 第18题
直线方程、椭圆方程、 点到直线的距离公式
定值问题
2012 第19题
直线方程、两点间的距 离公式、椭圆性质
为_________ .
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3. 已知椭圆 y2 x2 1 的上焦点F，若点 F '
16 12
与点F关于直线
y
3 2
对称，动点M满足
MF e， 是否存在一个定点A，使M到点A MF '
的距离为定值？若存在，求出定点A的坐标.
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4.已知：P，Q，R是椭圆上的三点(异于椭圆
（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直
线AF1与BF2平行，直线AF2与BF1交于点P．
（i）若 AF1 BF2
6 2
，求直线AF1的斜率；y A
（ii）求证： PF1+PF2为定值．
P
B
O
x
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【例题精析】
如图, 椭圆C：x2 y2 1 的上顶点是A，过A作
y
A M
O
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x N
【拓展延伸】
【应用】如图，在平面直角坐标系xOy中，
F1，F2分别为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)的左、右
焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线
BF2与椭圆的另一交点为D,
若
cos F1BF2
7 25
则直线CD的斜率为
.y
B
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F1
O F2
x
D
C
【选做】椭圆的中心为原点O，离心率 e
2 2
一条准线的方程为 x 2 2 .
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点P满足：OP OM 2ON
其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率 之积为 1 .
2
问：是否存在两个定点 F1, F2 ，使得
PF1 PF2 为定值？若存在，求出F1, F2
2
过原点作直线l与椭圆分别交于M、N(不同于A
点),且AM,AN的斜率分别k1,k2.
试判断 k1,k2的积为定值？ y
A MFra Baidu bibliotek
O
x
N
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【思考2】已知A为椭圆C：x
a
2 2
y2 b2
1(a b 0)
的
上一点,过原点作直线l与椭圆分别交于M、N(不
同于A点),且AM,AN的斜率分别k1,k2.则k1,k2的积 是否为定值？（用a,b表示）
2
两条互相垂直的弦分别交椭圆于M、N两点.
求证：直线MN恒过y定轴点上. 的一个定点P (0, 1)
y
3
A
O
M
P
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x N
【归纳总结】 定点问题： 方法一：先从特殊情况找出定点，然后证明； ——（特殊到一般）
方法二：直接推理. ——（一般到特殊）
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定值问题
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【感受高考】 （2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2 9
y2 5
1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F
．
设过点T（t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点
M(x1,y1), N(x2,y2) ，其中m>0, y1>0, y2<0．
（1）设动点P满足PF2—PB2=4，求P点的轨迹； （（23））设设xt=1=9,2求,x证2=：13 ，直求线TM点N的必坐过标；
点),且AM,AN的斜率分别k1,k2. 求证： k1,k2的积为定值.
y A
M
O
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x N
定值问题： 方法一：先去特殊情况找出定值，然后归纳到 一般运算； ——（特殊到一般） 方法二：直接推理，恒等变形，整体求值. ——（一般到特殊）
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【拓展2】已知A为椭圆C：x2 y2 1 的上任一点,
x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
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（2012江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点分别为F1(-c,0),
F2(c,0) ．已知(1,e)和 椭圆的离心率．
e
，
3 2
都在椭圆上，其中e为
(1) 求椭圆的方程；
的坐标；若不存在，请说明理由.
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【评价验收】
1.若F1、F2为椭圆
x2 16
y2 9
1
的左、右
焦点，直线l过F1且与椭圆相交于点A、B，则
△F2AB的周长是____________ . 2. 椭圆 x2 y2 1 的左焦点为F，直线过长轴
43 上一定点（异于端点）且与椭圆相交于点A、 B， △ FAB的周长的最大值为8，则定点 坐标