比例和黄金分割讲解

合集下载

第15讲线段的比与黄金分割

线段的比与黄金分割【知识要点】1.两条线段的比的概念1.大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.2由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？两条线段的比就是两条线段长度的比.3对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？4大家同意他的观点吗？不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. 5那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？线段的比定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 二、熟悉比例线段的概念1、与比例线段有关的概念 (1)比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果dcb a =（或a :b =c :d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

0.618黄金分割比例讲解

有关“0.618黄金分割比例”的讲解
有关“0.618黄金分割比例”的讲解如下：
黄金分割是一种比例关系，它表示将一个整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比。

黄金分割比例为0.618，这是指较长部分与整体的比例等于较短部分与较长部分的比例。

假设我们有一个线段，长度为L。

按照黄金分割，较长的部分长度为0.618L，而较短的部分长度为(1-0.618)L，也就是0.382L。

黄金分割比例可以用分数表示为：
●较长部分/整体= 1/1.618
●较短部分/较长部分= 1/0.618
黄金分割比例在自然界和艺术中经常出现，例如：
●许多植物的叶子和花瓣的排列方式遵循黄金分割比例。

●在建筑和设计中，黄金分割比例被广泛使用，因为它被认为是美的象征。

●在音乐中，作曲家和演奏家有时会使用黄金分割比例来安排乐曲的结构。

黄金分割比例是一个无理数，其近似值为0.618。

尽管我们无法精确地表示它，但我们可以使用它来创造和谐和平衡的设计。

《比例的性质与黄金分割》示范教学方案

第二十一章相似形22．1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割一、教学目标1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.二、教学重点及难点重点：比例的基本性质.难点：掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源无五、教学过程【课堂导入】配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.你有什么发现？设计意图：以糖水为例，吸引学生的学习兴趣【新知讲解】 1. 比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过练习，使学生掌握比例性质与黄金分割得概念．【典型例题】例1如果四条线段a,b,c,d构成ab =cd,m>0,则下面推理正确的有()①ab =cmdm;②ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m;④aa+cm=bb+dm.A.1个B.2个C.3个D.4个解①∵ab =cd,m>0,∴ab=cmdm;②∵ab=cd,m>0,∴ab=7a7b=cmdm,∴ab=7a+cm7b+dm;③ab=c+md+m错误;④设ab =cd=k,则a=kb,c=kd,所以aa+cm=bkbk+kdm=bb+dm.综上所述,推理正确的有①②④.例2若x∶y=2∶3,y∶z=2∶5,则x∶y∶z=4∶6∶15.例3如图,在△ABC中,ABAC =BDCD,且AB=6,AC=4,BC=5,求CD和BD的长.解:∵AB AC =BD CD ,∴ABAC =BC -CDCD , ∵AB=6,AC=4,BC=5,∴64=5-CDCD,解得CD=2,∴BD=BC-CD=5-2=3.设计意图：通过练习，灵活运用比例性质．【随堂练习】1. 如图，已知AB DB ＝ACEC.求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝ADAE.证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AEEC ；(2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE. 2. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB 长为20米,一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点C 处,则下列结论一定正确的是( )①AB ∶AC =AC ∶BC ;②AC ≈6.18米;③AC =10(√5-1)米;④BC =10(3-√5)米或10(√5-1)米. A.①②③④ B.①②③ C.①③D.④解：若AC <BC ,则AB ∶BC =BC ∶AC ,所以①不一定正确;AC ≈0.618AB ≈12.36或AC ≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC 为较长线段时,AC =√5-12AB =10(√5-1),BC =10(3-√5);若BC 为较长线段时,BC =√5-12AB =10(√5-1),AC =10(3-√5),所以③不一定正确,④正确. 3. 如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD 内,点E 是AB 的黄金分割点,BE>AE ,若AB=2a ,则BE 长为( )A.(√5+1)aB.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1.比例的基本性质两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.(1)基本性质如果“ab =cd”,那么ad=bc (b,d≠0).反之也成立，即如果ad =bc ,那么ab =ca(b,d≠0).2.合比性质：如果ab =ca，等式两边同时加上1.得a+bb=c+dd即：如果ab =ca，那么a+bb=c+dd(b,d≠0).3.等比性质如果a1b1=a2b2=⋯=a1b n且b1+b2+⋯+b n≠0，那么a1+a2+⋯+a n b1+b2+⋯+b n =a1 b1设a1b1=a2b2=⋯=a1b n=k,得a1=b1k，a2=b2k，…, a n=b n k代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质.4.黄金分割把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割(golden section)，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值√5−12叫做黄金数.设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计22.1比例线段第3课时比例的性质与黄金分割11.比例的基本性质2.合比性质3.等比性质4.黄金分割。

摄影中的构比例与黄金分割法则

摄影中的构比例与黄金分割法则摄影中的构图比例与黄金分割法则摄影是通过镜头记录图像，捕捉瞬间的艺术形式。

在创作中，构图比例和黄金分割法则是摄影师常用的手段之一。

它们能够有效地提高照片的美感和吸引力。

本文将介绍摄影中的构图比例和黄金分割法则的基本概念及应用。

一、构图比例的概念与应用构图比例是指图像中各个元素之间的相对大小和位置关系。

合理的构图比例可以帮助摄影师传达意图，并引导观众的目光。

以下是几种常用的构图比例：1. 对称比例：将画面分为两个相等的部分，左右对称。

这种构图比例对称美感强烈，适用于拍摄对称的主题，如建筑物或自然景观中的对称构造。

2. 黄金比例：黄金比例是指将画面按照1：1.618的比例进行分割。

根据黄金比例的原理，将画面分割为上下或左右两个部分后，视觉上的平衡和美感可以得到提升。

这种比例常用于拍摄人物肖像、风景和静物等主题。

3. 三分法则：将画面水平和垂直分为三个相等的部分。

在这种构图比例下，主题常位于画面的交叉点处，能够形成动态和平衡的效果。

三分法则常用于拍摄风景和运动主题。

4. 黄金螺旋比例：黄金螺旋比例是一种利用黄金螺旋曲线的构图比例。

它可以将画面引导观众的目光，传递出一种流动感和连续性。

黄金螺旋比例常用于拍摄自然景观和旋转的主题。

在应用构图比例时，摄影师需要根据拍摄主题和意图进行选择。

同时，合理的对比和搭配不同的构图比例也能够创造出更加多样的视觉效果。

二、黄金分割法则的概念与应用黄金分割法则是指将整个画面分割为两个部分，比例约为1：0.618。

根据这种比例，主题可以选择在两个分割线上的交叉点处，以产生一种视觉上的平衡和美感。

黄金分割法则常用于摄影中的构图和设计。

应用黄金分割法则的关键是确定好构图的主要元素，将它们放置在合适的位置。

通过运用黄金分割法则，可以使画面更加有层次感和创造力。

例如，在人物肖像摄影中，将主体头部放置在黄金分割线的交叉点处，可以增强人物形象的吸引力和动感。

此外，在风景摄影中，利用黄金分割法则可以更好地表达空间和景深感。

黄金分割的三个公式短比整

黄金分割的三个公式短比整
黄金分割的三个公式是：黄金分割比例公式、黄金分割点公式和
黄金分割线公式。

1.黄金分割比例公式：黄金分割比例公式是指黄金分割的比值，
即将一条线段分为两段时，两段之比等于整条线段与较长一段之比。

用数学表示为a/b=b/(a+b)（a>b>0），其中a为较短的线段，b为较
长的线段。

该比例约等于1.618。

2.黄金分割点公式：黄金分割点公式是指根据黄金分割比例，确
定一个线段上的分割点。

设整条线段长度为L，较短线段长度为a，则
黄金分割点离起始点的距离为a/L=0.618。

3.黄金分割线公式：黄金分割线公式是指通过黄金分割点划出一
条线段，使得线段划分后的两段比例与原线段的比例相等。

设整条线
段长度为L，黄金分割点离起始点的距离为x，则划分线段的长度为
xL/L=0.618L。

黄金分割在数学、艺术和设计领域被广泛应用。

除了上述公式外，黄金分割还有一些其他衍生的应用，例如黄金矩形、黄金螺旋等。

黄
金分割的特性被认为具有美感和视觉上的和谐，因此常被用于设计画作、建筑等领域。

拓展应用包括金融市场中的价格分析、人体比例的研究等。

平面设计中的比例与黄金分割原则

平面设计中的比例与黄金分割原则在平面设计中，比例和黄金分割原则是非常重要的概念和技巧。

它们被广泛应用于各种设计中，包括海报、广告、标志和网页设计等。

通过正确地运用比例和黄金分割原则，设计师可以创造出视觉上令人愉悦和吸引人的作品。

比例是指元素之间的相对大小关系，它使得设计看起来和谐、平衡和统一。

在平面设计中，常见的比例技巧有等分比例、近似比例和尺寸比例等。

首先是等分比例。

等分比例是指将设计元素进行相等的分割，如将画布水平或垂直等分为几块相同的区域。

这种比例可以帮助设计师创造出简洁、直观的视觉效果。

例如，在海报设计中，可以使用等分比例将文本和图像区域划分为几块，并在每个区域中放置相关的内容。

其次是近似比例。

近似比例是指设计元素之间的尺寸和比例关系接近，但不是完全相同。

这种比例方法可以帮助设计师创造出一种逐渐变化和动态的效果。

在标志设计中，设计师可以使用近似比例将一个元素渐变为另一个元素，从而创造出一种流畅和连贯的视觉效果。

最后是尺寸比例。

尺寸比例是指通过不同尺寸的元素创造出相对大小的关系。

设计师可以使用不同尺寸的元素来引导观众的注意力和焦点。

在网页设计中，可以使用大尺寸的标题吸引读者的注意力，并使用小尺寸的副标题或文本来提供详细信息。

除了比例，黄金分割原则也是平面设计中常用的构图方法。

黄金分割原则基于黄金比例（1:1.618），它将一个整体分成两个部分，其中一部分与整体的比例等于另一部分与整体的比例。

这种比例被认为是最具吸引力和和谐感的比例。

在平面设计中，黄金分割原则可以应用于布局、构图和元素之间的关系。

例如，在海报设计中，可以将主题元素放置在画布的黄金分割点上，从而使设计更加有吸引力和平衡感。

在网页设计中，可以使用黄金分割原则来定义主要内容区域和辅助内容区域的比例，从而使页面更具艺术性和美感。

总结而言，在平面设计中，比例和黄金分割原则是创造出优雅、平衡和有吸引力设计的关键。

通过正确运用这些原则，设计师可以使作品更具视觉冲击力，并引导观众的视线和注意力。

比例中项黄金分割课件

黄金分割的应用
建筑学
艺术
古希腊建筑帕台农神庙、埃及金字塔等都运用了黄金分割，使建筑具有强烈的视觉美感。
艺术家利用黄金分割创作出许多经典画作、雕塑和摄影作品，如达芬奇的《蒙娜丽莎》等。
音乐
日常生活
音乐作曲中运用黄金分割，可以创作出和谐动听的旋律和节奏，如巴赫的《G弦上的咏叹调》等。
在日常生活中，黄金分割也随处可见，如服装设计、家居布局等都运用了黄金分割的原则。
在音例如巴赫的《G弦上的咏叹调》等。
04
比例中项与黄金分割在生活中的应用
艺术领域中的应用
绘画
黄金分割被广泛应用于绘画构图，通过将画面分为9个等分，将主
体放置在分割线或交点上，以达到最佳视觉效果。
雕塑
在雕塑艺术中，比例中项和黄金分割的应用有助于塑造出和谐、平衡的作品。
比例中项的性质
唯一性
在一个比例中，比例中项是唯一的，即如果 a:b = c:d，则 b 是唯一的比例中项。
传递性
如果 a:b = b:c 和 b:c = c:d，则 a:b = c:d，即比例中项具有传递性。
比例中项的应用
数学解题
在数学解题中，比例中项可以用于解决比例问题，例如求两个未知数的比值。
音乐领域中的应用
音乐创作
作曲家利用比例中项和黄金分割来创作出和谐、动人的音乐作品
。
乐器制作
乐器制作过程中也涉及到比例中项和黄金分割的应用，以确保乐
器发声的准确性和美感。
音乐表演
在音乐表演中，表演者通过运用比例中项和黄金分割来达到最佳
的演奏效果。
摄影领域中的应用
构图
摄影师利用黄金分割来安排画面元素，以创造出具有视觉冲击力的作品。

比例线段和黄金分割

比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。

比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。

2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。

4.d为第四比例项。

若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。

另一侧则是3-5^/2。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。

例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

《比例性质、黄金分割》名师课件

27.1 比例性质、黄金分割
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.
（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究一 : 什么是比例的基本性质？
果 AC BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线
AB AC
段AB的黄金分割点.
AC与AB的比叫做黄金比，其中
AC AB
=
5 1 ≈0.618. 即
2
AC BC AB AC
5 1，简记为：长
2
全
短长
5 1．
2
说明：
（1）黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有两个. （2）黄金比是两条线段的比，没有单位，比值为 5 1
a b
c d
ab cd =3,求 b 和 d ；
（2）如果 a c =k（k为常数），那么a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
（3）如果 a c , 那么 a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
推理过程：
（2）∵
a b
c d
=k，
∴a=kb,c=kd,∴c d kd d k 1， a b kb b k 1，
HE EF FG HG
发现：若干个比的比值相等，且所有分母的和不为0,则所有分子的和与所有分母的和之比值与原来这些比的比值相等.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二 : 什么是合比性质？什么是等比性质？重点、难点知识★▲
活动2 引导学生探究，得出等比性质

初二下第7讲-比例线段、黄金分割

第7讲：相似形（一）专题一比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

求线段的比例时要把两条线段化为（注两条线段的比没有单位），并要注意其；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。

2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么。

若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的（2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。

（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。

（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么。

（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么。

二、重难点高效突破线段的比与成比例线段例1、线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。

（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5；（２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求（2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。

九年级数学黄金分割知识点

九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。

它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。

黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。

在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。

一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。

即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。

这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。

二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。

在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。

黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。

黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。

这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。

黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。

斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。

斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。

当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。

例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。

这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。

三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。

在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。

例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。

黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。

四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。

在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。

随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。

2讲、比例及黄金分割

第2讲比例及黄金分割姓名：____________【基础知识精讲】一、两条线段的比：如果当用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD ＝m ：n 或写成k nmCD AB ==，其中线段AB ，CD 分别叫做这两条线段比的前项和后项，k 叫做它们的比值．说明：（1）两线段的比是指用同一种长度的单位度量的两线段长度的比（2）两线段的比值与所用的长度单位无关．二、成比例线段：1.比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，其中a ，d 可称为比例外项，b ，c 可称为比例内项，d 可称为a ，b ，c 的第四比例项． 2.比例中项：如果b=c ，即cbb a =（或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。

三、比例的性质： 1. 基本性质: 如果dcb a =，那么bc ad =. （两外项之积等于两内项之积）如果ad ＝bc （a ，b ，c ，d ，都不等于0），那么dcb a =．说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据．②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设dcb a =＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，ad ＝kb ×d ＝b ×kd ＝bc 2．更比性质：(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项3．反比性质: 如果d c b a =，那么cda b =. (把比的前项、后项交换)4．合比性质：如果dcb a =，那么d dc b b a +=+.（即为左右加1） 5．分比性质：如果dcb a =，那么d dc b b a -=-.（即为左右减1） 6．等比性质: 如果)0(≠+++===nd b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ . 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．四、黄金分割：点c 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =，那么点c 叫做线段AB 黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。

人体比例与黄金分割

人体比例与黄金分割人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响,牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一,只有整体的和谐、比例协调,才能称得上一种完整的美;黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现,后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割;这其实是一个数字的比例关系,即把一条线分为两部分,此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比,其数值比为 : 1或1 : ,也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积;人体14个“黄金点”:肚脐：头顶－足底之分割点；咽喉：头顶－肚脐之分割点；3、4膝关节：肚脐－足底之分割点；5、6肘关节：肩关节－中指尖之分割点；7、8乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；9眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；10鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；11唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；12颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；13左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；14右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点;隐藏在身体里的15个黄金矩形人体上存在的长方形的宽与长的比值等于或接近于0．618,称为黄金矩形;能在你身体里找到越多的黄金矩形,就说明你的身体比例越完美躯干轮廓：躯干的宽与高之面部轮廓：口裂水平线的面宽与发际至颏底的面高之比;鼻部轮廓：两鼻翼点间距为宽与鼻根至鼻底为高之比;头部轮廓：头宽左、右颧弓突点间距与头高之比;唇部轮廓：静态时,上下唇峰间距宽与口角间距长之比;手部轮廓：手指并拢时取平均值,手的宽掌指关节处与长腕远纹至食指间之比;外耳轮廓：以耳轮下角水平的耳宽为宽,耳轮上缘至耳垂下缘间距为长之比;颌中切牙、侧切牙和尖牙左右各3个轮廓：最大近远中径为宽与龈径为长之比;2个“黄金指数”:1反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；2反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数;,作为一个人体健美的标准尺度之一,是无可非议的,但不能忽视其存在着“模糊特性”,它同其它美学参数一样,都有一个允许变化的幅度,受种族、地域、个体差异的制约;比例关系是用数字来表示人体美,并根据一定的基准进行比较;用同一人体的某一部位作为基准,来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法见中图;分为三组：系数法,常指头高身长指数,如画人体有坐五、立七,即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或倍；百分数法,将身长视为100%,身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分,大的部分从脚到脐,小的部分为脐到头顶;标准的面型,其长宽比例协调,符合三停五眼见右图;三停是指脸型的长度,从头部发际到下颏的距离分为三等分,即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分,各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度,双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度,除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度,地球的黄金分割在地球的北回归线附近有一条神秘地带,以盛产自然之谜着称;如着名的金字塔之谜、死海形成之谜、百慕大三角之谜、圣塔柯斯镇斜立之谜只是众多迷踪中的一员;在地图上进行一下简单的测量就可以发现,这条地带正好落在地球的黄金分割率——处;这一奇特的几何比例似乎就是上帝的暗语;4个黄金三角人体黄金三角腰底之比为或近似值的等腰三角形,其内角分别为36゜、72゜、72゜,为黄金三角形;人体黄金三角形有：外鼻正面观呈黄金三角；外鼻侧面观呈黄金三角；鼻根尖与两侧口角点组成的三角形；两肩端点与头顶中央组成的三角形;此外,一个体形匀称人,体重与身高,腰围与胸围,腰围与臀围的理想比例,也都接近于黄金分割律;6个黄金指数鼻唇指数：鼻翼宽度与口角间距宽度之比;唇目指数：口裂长度与两眼外眦间距之比;上下唇高指数：面部中线的上下唇红高度之比;目面指数：两眼外眦间距与眼水平线的面宽之比;切牙指数：下颌中切牙与上颌中切牙远近中径之比;四肢指数：肩峰至中指尖连线为上肢长,髂嵴至足底连线为下肢长,两者之比;7组面部黄金比例鼻宽为1,嘴的宽度应为鼻宽的1．618倍;嘴宽为l,两眼间的宽度应为嘴宽的1．618倍;两眼宽度为1,两个太阳穴的宽度应为其1．618倍;前额至眼睛的长度为1,眼睛至下巴的长度应为其1．618倍下巴至鼻孔为1,鼻孔至前额的宽度应为其1．68倍;两眼外至内眼角的宽度以1．618的平方为最美;头宽则是1．618倍的3次方为最美;人体图"维特鲁威人",以人体张开双手模拟成十字架的构图,和外围的圆框共同形成一个内十字外圆形的象征符号;十字架在当时被视为教会及男性的代表,圆形就是圣杯及女性,两者合起来象征阴阳和谐;人体中自然的中心点是肚脐;因为如果人把手脚张开,作仰卧姿势,然后以他的肚脐为中心用圆规画出一个圆,那么他的手指和脚趾就会与圆周接触;不仅可以在人体中这样地画出圆形,而且可以在人体中画出方形;即如果由脚底量到头顶,并把这一量度移到张开的两手,那么就会发现高和宽相等,恰似平面上用直尺确定方形一样;怎么样,很奇妙吧其时更有趣的还不仅如此,人体比例和黄金分割才是重点;黄金分割即“”,这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中,因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体;比如：身高除以肚脐到地面的距离,肩膀到指尖距离除以肘关节到指尖距离,臀部到地面距离除以膝盖到地面距离都是黄金分割;维持鲁威原理既包含有人体的各种比例,也包含有人类面部的各种比例;这些面部五官的位置形成了希腊与罗马雕塑的经典比例;。

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割

教学课件：第3课时-比例的性质与黄金分割
• 比例的性质 • 黄金分割 • 比例与黄金分割的关系 • 比例的性质与黄金分割在生活中的应
用 • 总结与回顾
01
比例的性质
比例的定义
01
比例是指两个比值相等的关系，表示为a:b=c:d，其中a、b、c、d为实数。
02
比例可以用来描述两个数量之间的关系，反映它们之间的相对大小和变化规律。
黄金分割的美学价值
黄金分割被广泛用于艺术和设计领域，因为它能创造出和谐、平衡和美感。通过深入了解黄金分割的原理和应用，我们可以更好地欣赏和理解艺术作品。
下课时预告
• 下课时我们将继续学习比例的其它应用，包括如何利用比例解决实际问题、如何利用比例的性质进行计算等。同时，我们还将探索比例与几何图形之间的关系，了解如何利用比例绘制图形。在下课时，我们将进行课堂练习和小组讨论，巩固所学知识并加深对比例性质的理解。
比例的应用
通过实例和练习，我们学会了如何运用比例的性质解决实际问题，如计算比例尺、比较大小等。
对比例的性质与黄金分割的进一步思考
比例的性质在实际生活中的应用
除了数学领域，比例的性质在很多其他领域也有广泛的应用。例如，在物理学中，速度、加速度和力的关系可以用比例来表示；在化学中，物质的浓度和反应速率也可以用比例来描述。
雕塑中的比例
雕塑家通过比例关系来塑造出具有美感的作品，如人体的比例、动物的比例等。
音乐创作中的应用
音乐中的节奏与比例
作曲家通过运用节奏和比例关系来创作出和谐的音乐，如音符的长度、强弱和音高的比例等。
和声中的比例
和声是音乐中音符之间的相互关系，作曲家通过运用比例关系来创造出和谐的和声。

4.1.3 比例中项与黄金分割课件(共28张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学

±2
a，b的比例中项c的值为________．
3．【2023·广州】我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出
重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了( A )
A．黄金分割数
B．平均数
C．众数
D．中位数
比例中项及黄金分割
比例中项及计算
黄金分割及相关概念
黄金分割
黄金比的数值
历史上和自然界中的“黄金分割”
知识点 2 黄金分割及其应用
如图是意大利著名画家达·芬奇
(da Vinci，1452~1519年)的名画
《蒙娜丽莎》.
画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边
形BCEF为正方形. 量一量点F到点A，B的
距离.

与相等吗？

.
A
.
P
.
B
如图，如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使AP＞

PB，且

=

，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做

线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条
线段AB的比叫做黄金比.

例如，左图中，

=

，它们都是

黄金比，又因为BC=BF，所以矩形
ABCD的宽与长之比也是黄金比.
思考：如何应用一元二次方程的知识求出黄金比的数值?
A
E
B
黄金矩形的有关性质吗？
请与同学交流。
C
F
D
A
E
B
☆顶角为36°的等腰三角形称为
黄金三角形
D
☆点D是线段AC的黄金分割点.
C
☆再作∠C的平分线，交BD于E，
△CDE也是黄金三角形……

比例黄金分割平行线分线段成比例定理

比例黄金分割平行线分线段成比例定理集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]AB 21黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．AC 与AB 的比叫做黄金比．黄金比黄金比值的求法：因为AC BC AB AC =，且BC ＝AB －AC ，所以AC ACAB AB AC -=，解得AC ＝AB 215-，或AC ≈，即得黄金比215-=ABAC或求作黄金分割点求已知线段AB 的黄金分割点。

方法一：如图1、经过点B 作BD ⊥AB ，且BD=2、连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ．3、在AB 上截取AC ＝AE ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则BD ＝1/2,AD ＝25， AC ＝215-，BC ＝253- 所以215-==ACBCAB AC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．方法二：如图1、在线段AB 上作正方形ADCB2、取AD 的中点E ，连接EB ．3、延长DA 至F ，使EF ＝EB ．4、以线段AF 为边作正方形AFGH ．所以点H 是线段AB 的黄金分割点．理由：设AB ＝1，则AE ＝21，所以EFBE 25= →=AF 215-＝AH ，BH ＝253-所以215-==AH HBAB AH ，所以点H 是线段AB 的黄金分割点．方法三：如图1、以AB 为腰作等腰△ABD ，使∠A ＝36°2、作∠ADB 的角平分线交AB 于点C 所以，点C 是线段AB 的黄金分割点．理由：作图的理由在本章学完就知道，对这一基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫做黄金三角形例1：如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB＝215-≈），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形、例2：以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗练习题一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. 二、认真选一选1、有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc ba =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（）个个个个2、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（） A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、222AB BP AP =+3、.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A. AM ∶BM =AB ∶AM B. AM =215-AB C. BM =215-AB D. AM ≈ 个个个个4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5- 三、好好想一想1、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。