2006年高考第一轮复习数学:5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积
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第五章 平面向量
●网络体系总览
平面向量
解斜三角形向量的概念向量的运算
向量的表示
向量的应用
几何表示
坐标表示
代数运算
几何运算线段的定比分点
平移正弦定理
余弦定理
●考点目标定位
1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.
2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.
3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.
4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
●复习方略指南
向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用,“平面向量”将会成为命题的热点,一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有:
(1)与“定比分点”有关的试题;
(2)平面向量的加减法运算及其几何意义;
(3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何问题;
(4)正、余弦定理的应用.
复习本章时要注意:
(1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.
(2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.
(3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直.
(4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结合律.
(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.
(6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.
5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积
●知识梳理
1.平面向量的有关概念:
(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用AB,BC,…表示.
(3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或||.
(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.
(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.
(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2.向量的加法:
(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.
(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).
3.向量的减法:
(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.
4.实数与向量的积:
(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa与a平行.
(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
5.两个重要定理:
(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥a b=λa(a≠0).
(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
●点击双基
1.(2004年天津,理3)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=35,则b等于
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
解析:易知a与b方向相反,可设b=(λ,-2λ)(λ<0).又
|b |=35=224λλ+,解之得λ=-3或λ=3(舍去).∴b =(-3,6).
答案:A
2.(2004年浙江,文4)已知向量a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,则tan α等于
A.4
3
B.-4
3
C.3
4
D.-3
4
解析:由a ∥b ,∴3cos α=4sin α.∴tan α=4
3. 答案:A
3.若ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,且=a ,=b ,则等于 A.b +2
1a B.b -2
1a C.a +21b
D.a -2
1
b
解析:BE =AE -AB =AD +DE -AB =AD +21AB -AB =b -2
1a . 答案:B
4.e 1、e 2是不共线的向量,a =e 1+k e 2,b =k e 1+e 2,则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于
A.0
B.-1
C.-2
D.±1
解析:a 与b 共线⇔存在实数m ,使a =m b , 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线, ∴⎩
⎨
⎧==.1k m mk ,
∴k =±1.