2006年高考第一轮复习数学:5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

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第五章 平面向量

●网络体系总览

平面向量

解斜三角形向量的概念向量的运算

向量的表示

向量的应用

几何表示

坐标表示

代数运算

几何运算线段的定比分点

平移正弦定理

余弦定理

●考点目标定位

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.

2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.

3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.

4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

●复习方略指南

向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用,“平面向量”将会成为命题的热点,一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有:

(1)与“定比分点”有关的试题;

(2)平面向量的加减法运算及其几何意义;

(3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何问题;

(4)正、余弦定理的应用.

复习本章时要注意:

(1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.

(2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.

(3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直.

(4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结合律.

(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.

(6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.

5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

●知识梳理

1.平面向量的有关概念:

(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用AB,BC,…表示.

(3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或||.

(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.

(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.

(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2.向量的加法:

(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.

(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.

(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).

3.向量的减法:

(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.

(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.

4.实数与向量的积:

(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa与a平行.

(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

5.两个重要定理:

(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥a b=λa(a≠0).

(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

●点击双基

1.(2004年天津,理3)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=35,则b等于

A.(-3,6)

B.(3,-6)

C.(6,-3)

D.(-6,3)

解析:易知a与b方向相反,可设b=(λ,-2λ)(λ<0).又

|b |=35=224λλ+,解之得λ=-3或λ=3(舍去).∴b =(-3,6).

答案:A

2.(2004年浙江,文4)已知向量a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,则tan α等于

A.4

3

B.-4

3

C.3

4

D.-3

4

解析:由a ∥b ,∴3cos α=4sin α.∴tan α=4

3. 答案:A

3.若ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,且=a ,=b ,则等于 A.b +2

1a B.b -2

1a C.a +21b

D.a -2

1

b

解析:BE =AE -AB =AD +DE -AB =AD +21AB -AB =b -2

1a . 答案:B

4.e 1、e 2是不共线的向量,a =e 1+k e 2,b =k e 1+e 2,则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于

A.0

B.-1

C.-2

D.±1

解析:a 与b 共线⇔存在实数m ,使a =m b , 即e 1+k e 2=mk e 1+m e 2.又e 1、e 2不共线, ∴⎩

⎧==.1k m mk ,

∴k =±1.

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