一元二次不等式复习(学生)

一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)
或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2
判别式Δ＝b2－
4ac
~
Δ>0
Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a>0)的
图象
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0
|
(a>0)的根
有两相异实根x1，
x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝
x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R
@
ax2＋bx＋
c<0(a>0)的解集
{x|x1< x<x2}∅∅
注：1．二次方程根的求解方法（1）十字相乘法（2）求根公式法
2.一元二次不等式根据“大于取两边，小于取中间”求解集，条件是开口向上。

3.解含参数的一元二次不等式，一般参数讨论顺序为（1）开口方向（2）相应方程是否存在根，即Δ情况③根的大小关系。

分类时要不重不漏．
#
1．函数y＝x2＋x－12的定义域是___ __ _________．
2．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为____________．3.若不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－2<x<
1
4
}，则ab＝________.
#
题型一一元二次不等式的解法
例1已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b的值； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
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探究提高解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次。

'
拓展：（注意三个“二次”的关系）
1.关于x的一元二次不等式ax2-ax+b<0的解集为(m，m+1)，则实数b= .
2.已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m 的解集为(n，n+10)，求实数m的值.
>
题型二一元二次不等式恒成立问题
例2已知不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
：
总结:二次不等式恒成立求参数的解决策略（1）数形结合（2）变量分离
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练习：
1.不等式x2-2x+k2-2>0对于x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值范围是.
2.如果x∈R，不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为.
3. 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是______________．
，
引申 1.已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围.
,
2.设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
，
温馨提醒 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数．
2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 3．本题易错点：忽略对m ＝0的讨论．这是由思维定势所造成的. 失误与防范
1．对于不等式ax 2
＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
…
课后训练
1．不等式-x 2-3x+4>0的解集为
2. 不等式
x －3
x ＋2
<0的解集为_____ _______ 3．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则实数a+b=
4.若集合A ＝{x |ax 2
－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是____________．
5.已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x 2-5x+4≥0}.若A ∩B=∅，则实数a 的取值范围是
6.已知关于x 的不等式
ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________. 7. 求不等式12x 2
－ax >a 2
(a ∈R )的解集．
8.若关于x 的不等式4x
－2x ＋1
－a ≥0在[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围
9.已知关于x 的不等式ax 2+(a-2)x-2≥0，a ∈R .
(1)若不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，求实数a 的值；
(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.。