初一数学乘法公式含答案
(完整版)[初一数学]乘法公式
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乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2要注意等式的特点：（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数；（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方．值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具．例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）．A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2）C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2）解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算．例２运用平方差公式计算：（１）（x2－y）（－y－x2）；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．解：（１）（x2－y）（－y－x2）＝（－y ＋x2）（－y－x2）＝(－y)2－（x2）2＝y2－x4；（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）＝（a－3）（a＋3）（a2＋9）＝（a2－32）（a 2＋9）＝（a2－9）（a2＋9）＝a4－81 ．例３计算：（１）54.52－45.52；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)．分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算．解：（１）54.52－45.52＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)＝100×9＝900 ；（２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)=(2x2+1)2-(3x)2=4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1二、完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2．二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍．完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝a2－2ab－b2等错误．需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．例１利用完全平方公式计算：（１）（－3a－5）2；（２）（a－b＋c）2．分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a －b）＋c]2或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．解：（１）（－3a－5）2＝（－3a）2－2×（－3a）×5 ＋ 5 2＝9a2 ＋ 30a ＋ 25（２）（a－b＋c）2＝[（a－b）＋c]2＝（a－b）2 ＋ 2（a－b）c + c2＝a 2－2ab＋b 2＋2ac－2bc + c2＝a 2＋b 2+ c2＋2ac－2ab－2bc ．例２利用完全平方公式进行速算.(1)1012 (2)992解: (1)1012分析:将1012变形为(100+1)2原式可=(100+1)2利用完全平方公式来速算. =1002+2×100×1+12=10201解: (2)992分析:将992变形为(100-1)2原式可=(100-1)2利用完全平方公式来速算. =1002-2×100×1+12=9801例３计算：（１）992－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．解：（１）992－98×100＝（100－１）2－98×100＝1002－２×100＋１－9800＝10000 －200－9800＋１＝１；（２）49×51－2499＝（50－1）（50＋１）－2499＝2500－1－2499＝０．例４已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．分析：由前面的公式变形可以知道：a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a ＋b)2－4ab．解：由于a 2＋ b 2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．而a＋b＝8，ab＝10所以a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝ 82 － 2× 10＝ 44(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82 － 4× 10＝ 24 ．三：练习1．利用乘法公式进行计算：(1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3)(x-2y+1)(x+2y-1)(4) (2x+3y)2(2x-3y)2 (5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2(6) (x2+x+1)(x2-x+1)解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1)=(x4-1)(x4+1)=x8-1.(2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25)=9x2+12x+4-9x2+30x-25=42x-21解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)] =(6x-3)×7=42x-21.(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2-(2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2-4y2+4y-1(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]2=(4x2-9y2)2=16x4-72x2y2+81y4(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]2=(-x+5)2=x2-10x+25(6) 原式=[(x2+1)+x][(x2+1) -x]=(x2+1)2-x2=(x4+2x2+1) -x2=x4+x2+12．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2；(2) a2+b2；解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4×3=13(2) a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×3=19.在线测试选择题1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A、(x+1)(1+x)B、( a+b)(b- a)C、(-a+b)(a-b)D、(x2-y)(x+y2)2．下列各式计算正确的是（）A、(a+4)(a-4)=a2-4B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1D、(a+2)(a-4)=a2-83．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（）A、x2-4y2B、4y2- x2C、x2+4y2D、- x2-4y24．(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。
初一数学公式大全：初一数学公式
初一数学公式大全：初一数学公式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解根与系数的关系-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2aX1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac 三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+ 15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62 +72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+ 5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3其他常用数学公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h精心整理，仅供学习参考。
初一乘法公式
初一乘法公式好的，以下是为您生成的关于“初一乘法公式”的文章：刚上初一的时候，我记得特别清楚，那时候数学老师在黑板上写下乘法公式，就好像给我们打开了一个全新的数学世界大门。
乘法公式，这几个简单的字，却蕴含着无穷的数学奥秘。
就拿完全平方公式（a+b）² = a² + 2ab + b²来说吧。
有一次，我和同桌一起做作业，遇到了一道这样的题：已知（x + 3）²，让我们展开式子。
我一开始有点懵，就按照老师讲的，把它写成（x + 3）（x + 3），然后一步一步地乘开。
我同桌呢，直接就套用完全平方公式，很快就得出了 x² + 6x + 9 这个答案。
我当时还不信，自己又算了一遍，这才发现原来公式用起来这么方便！再说说平方差公式（a + b）（a - b）= a² - b²。
有一回数学考试，有一道题是这样的：计算（50 + 1）×（50 - 1）。
我一看，这不就是平方差公式嘛！50² - 1² = 2500 - 1 = 2499，一下子就把答案算出来了。
乘法公式在我们的日常生活中也有不少用处呢。
比如说，我妈妈想给家里的桌子做个桌布。
桌子是长方形的，长是（a + b）米，宽是（a - b）米，要算桌布的面积，直接用平方差公式，面积就是 a² - b²平方米。
在做数学题的时候，乘法公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开难题的锁。
比如说，化简（2x + y）² - （2x - y）²这种式子，如果不熟悉乘法公式，那可就麻烦啦。
但只要我们掌握了完全平方公式，先把两个式子展开，再进行合并同类项，就能很快得出答案 8xy 。
而且，乘法公式还能帮助我们检验计算结果的正确性。
有时候我们在计算多项式相乘时，可能会出错。
但如果最后能通过乘法公式进行验证，就能及时发现错误并改正。
初一的乘法公式，虽然看起来简单，但是用处却非常大。
乘法公式精选题(含答案)
5、已知 ，求 的值。
=6
6、若多项式 加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，请你尽可能多的写出这个单项式。
7、设 ，
求① 的值。② 的值。
知识点4.平方差公式：a2－b2=______________
知识点5.完全平方公式：①(a＋b)2=______________②(a－b)2=______________
知识点6.完全平方公式的常用变形(应用):①(a+b)(a-b)=a2－b2
②a2+b2=(a+b)2-2ab③a2+b2=(a-b)2+2ab④(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3） （4）
（A）（1）（2）（3）（B）（1）（2）（4）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（3）（4）
4、无论x、y取何值时， 的值都是（A）
（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数
5、如果一个多项式与 的积是 ，则这个多项式是（C）
（A） （B）
（C） （D）
6、若（x+a）（x+b）中不含x的一次项，那么a、b一定是（B）
8．①已知a2+b2+c2=18,ab+bc+ac=13,则(a+b+c)2=________
②已知a2+b2+c2=18，a+b+c=6，则ab+bc+ac=__________
③a-b=5,b-c=2,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=__________
初一练习卷
一、填空
1、 =-1 ，则 =2
5.①求(2x+2)(x2-3x)展开式中x2的系数。
人教版初一数学公式及概念
公式▲乘法定律：乘法交换律：a×b = b×a乘法结合律：a×b×c = a×(b×c)乘法分配律：a×c + b×c=c×(a + b) a×c - b×c=c×(a - b)▲除法性质：a÷b÷c = a÷(b×c)▲减法性质：a –b - c = a - (b + c) ▲解方程定律：◇加数 +加数= 和；加数= 和–另一个加数.◇被减数–减数= 差；被减数=差+减数；减数=被减数–差.◇因数×因数= 积；因数= 积÷另一个因数.◇被除数÷除数= 商；被除数=商×除数；除数=被除数÷商.◆行程问题：路程=速度×时间；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间.◆相遇问题：相遇路程=（甲速度+乙速度）×相遇时间；相遇时间=相遇路程÷（甲速度+乙速度）；甲速度=相遇路程÷相遇时间–乙速度；乙速度=相遇路程÷相遇时间–甲速度.◆工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；工作总量=计划工作效率×计划工作时间；工作总量=实际工作效率×实际工作时间；实际工作时间=工作总量÷实际工作效率；实际工作效率=工作总量÷实际工作时间；◆买卖问题：总金额=单价×数量；数量=总金额÷单价；单价=总金额÷数量.6年级(1)S=nR2-nr2或S=n(R2-r2)(2)(a-b)除以b*100%或（b-a)除以b*100%(3)出勤人数除以总人数(4)b*（1+C%）或b*（1-C%）(5)利息=本金*利率*时间,利息税=本金*利率*时间*（1-5%）(6)a除以(1+C%)或a除以(1-C%)7年级常用数学公式表:公式表达式平方差 a2-b2=(a+b)(a-b)和差的平方 (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab和差的立方 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py常用数学公式表:几何图形公式直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r (a是圆心角的弧度数r>0) 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h斜棱柱体积V=S'L (S'是直截面面积,L是侧棱长) 注：pi=3.14159265358979……概念一、有理数0既不是正数，也不是负数。
初一乘法知识点总结公式
初一乘法知识点总结公式一、乘法的基本概念1. 乘法的定义乘法是一种将两个或多个数相乘的运算。
在乘法运算中，被乘数乘以乘数得到积。
2. 乘法的表示乘法可以用符号“×”表示，例如3×5=15，表示3乘以5得到15。
3. 乘法的性质乘法具有交换律和结合律。
交换律表示乘法的顺序可以交换，即a×b=b×a；结合律表示乘法的运算次序可以改变，即(a×b)×c=a×(b×c)。
二、一位数乘一位数的乘法1. 乘法表在学习乘法运算时，学生首先需要掌握1~9的乘法表。
乘法表是一张表格，按行和列分别表示被乘数和乘数，表格中的每个元素表示它们的乘积。
通过背诵乘法表，可以加深对乘法运算的理解和记忆。
2. 一位数乘法的运算方法一位数乘法是指一个一位数与另一个一位数相乘的运算。
学生在学习一位数乘法时，可以通过横式乘法来进行计算。
例如，计算23×6，可以先将23的个位数6乘以6得到18，再将23的十位数2乘以6得到12，最后将18和12相加得到138。
3. 一位数乘法的应用一位数乘法在日常生活中有着广泛的应用。
比如，购物时计算商品的总价、计算身高体重的BMI指数、计算成绩的总分等等都需要用到一位数乘法的知识。
三、一位数乘两位数的乘法1. 一位数乘两位数的运算方法一位数乘两位数是指一个一位数与一个两位数相乘的运算。
学生在学习一位数乘两位数乘法时，可以通过竖式乘法来进行计算。
例如，计算34×7，可以先将34的个位数7乘以7得到238，再将34的十位数3乘以7得到21，最后将238和21相加得到238。
2. 一位数乘两位数的应用一位数乘两位数的乘法知识在日常生活中同样有着广泛的应用。
比如，计算购买苹果的总价、计算家庭月用电量的总费用、计算衣服的总码数等等都需要用到一位数乘两位数的知识。
四、两位数乘两位数的乘法1. 两位数乘两位数的运算方法两位数乘两位数是指两个两位数相乘的运算。
乘法公式(2)全面版
用 乘
(3)
(2a5)2
法 解:原式(2a)22(2a)(5)(5)2
公
4a220a25
式 算算看：(2a 5) 2
计
算 结论：(2a5)2(2a5)2
：
建湖县实验初中
填空: 1.(2x-y)(_2_x_+_y_)=4x2-y2 2.(b-a)(_-_a_-_b_)=a2-b2 3.4x2-12xy+(_9_y_2_)=(_2_x_-_3_y_)2 4.(-3x-2)(_-2_+__3_x)=4-9x2
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bcƻb+c）2是多少吗？ 面积法：通过图形的拼合
ab c
a b
c
所以有：（面图a+积形b（+c1））2 = 图面形积（2） =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 建湖县实验初中
试试看！
计算： 1、（m+n-t）2 2、（-2s+3t-h）2 练习：书P82 练一练 3、4
建湖县实验初中
1、已知（a+b）2=7， （a-b）2=3，求：
（1）a2+b2（2）ab的值.
拓展与 延伸
2、观察下面各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
课题：乘法公式（2） 初一数学备课组
初一常用数学公式总结大全
初一常用数学公式总结大全以下是一些初一常用的数学公式总结：1. 四则运算：加法、减法、乘法和除法公式。
2. 平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
3. 平方差公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
4. 平方和公式：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。
5. 三角恒等式：- 正弦定理：$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C}$。
- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$。
- 正切定理：$\\tan A = \\frac{\\sin A}{\\cos A}$。
6. 比例公式：- 两线段比例：$\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}$。
- 两线段和与差的比例：$\\frac{a + b}{a - b} = \\frac{c + d}{c - d}$。
7. 百分比公式：$\\text{百分数} = \\frac{\\text{部分}}{\\text{整体}} \\times 100\\%$。
8. 面积公式：- 矩形面积：$S = 长 \\times 宽$。
- 三角形面积：$S = \\frac{1}{2} \\times 底 \\times 高$。
- 圆面积：$S = \\pi r^2$。
9. 周长公式：- 矩形周长：$C = 2 \\times (长 + 宽)$。
- 三角形周长：$C = 边1 + 边2 + 边3$。
- 圆周长：$C = 2\\pi r$。
10. 体积公式：- 立方体体积：$V = 长 \\times 宽 \\times 高$。
- 圆柱体体积：$V = \\pi r^2 \\times 高$。
- 圆锥体体积：$V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 \\times 高$。
这些是初一常见的数学公式，掌握了这些公式对学习数学会有很大的帮助。
初一数学公式大全整理
初一数学公式大全整理初一数学公式大全涵盖了多个方面，包括几何、代数、三角函数等。
以下是一些主要的初一数学公式：1、乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)2、三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|3、一元二次方程的解根与系数的关系-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2aX1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理4、判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根5、三角函数公式1)、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)2)、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a3)、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))4)、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB6、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/67、基础运算1)、加法运算加法交换律：a + b = b + a加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2)、减法运算减法法则：a - b = a + (-b)3)、乘法运算乘法交换律：ab = ba乘法结合律：(ab)c = a(bc)4)、除法运算除法法则：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)5)、绝对值|a|的定义：a = 0, |a| = 0；a > 0, |a| = a；a < 0, |a| = -a6)、平方与立方平方差公式：a2 = (a + b)(a - b)和差的平方：(a + b)2 + 2ab + b2 = a2和差的立方：a3 = (a + b)(a2), a3 = (a - b)(a2)8、几何图形1)、长方形周长：C = 2(a + b)，其中a为长，b为宽面积：S = ab2)、正方形周长：C = 4a，其中a为边长面积：S = a^23)、三角形面积：S = 1/2 × ah，其中a为底，h为高4)、平行四边形面积：S = ah，其中a为底，h为高5)、梯形面积：S = 1/2 × (a + b) × h，其中a为上底，b为下底，h为高6)、圆周长（圆周）：C = 2πr 或 C = πd，其中r为半径，d为直径面积：S = πr^2。
初一数学分数的乘法运算
初一数学分数的乘法运算分数是数学中一种特殊的数形式，可以表示部分与整体的关系。
在初一数学学习中，分数的乘法运算是一个重要的知识点。
下面将详细介绍初一数学分数的乘法运算及其相关概念。
一、分数的乘法定义分数的乘法定义为：两个分数相乘，先将两个分数的分子相乘得到新的分子，再将两个分数的分母相乘得到新的分母，最后将新的分子与新的分母写作一个新的分数。
分数的乘法可以使用以下公式表示：a/b × c/d = (a × c)/(b × d)其中，a、b、c、d为整数，b和d不为0。
二、分数乘法的计算方法1. 计算整数与分数的乘法当整数与分数相乘时，可以将整数视为其分母为1的分数，然后按照分数的乘法法则进行计算。
例如：计算3 × 2/5将3视为3/1，按照分数乘法的定义进行计算：3 × 2/5 = (3 × 2)/(1 × 5) = 6/52. 计算分数之间的乘法当两个分数相乘时，按照分数乘法的定义进行计算。
例如：计算2/3 × 4/5根据分数乘法的定义进行计算：2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/153. 计算带分数之间的乘法带分数是由整数部分和真分数部分组成的数。
当两个带分数相乘时，可以先将其转化为假分数，然后按照分数乘法的定义进行计算。
例如：计算1 1/2 × 2 1/3将两个带分数转化为假分数：1 1/2 = 3/2，2 1/3 = 7/3然后按照分数乘法的定义进行计算：(3/2) × (7/3) = (3 × 7)/(2 × 3) = 21/6三、分数乘法的性质分数乘法具有以下性质：1. 乘法的交换律：分数乘法满足交换律，即a/b × c/d = c/d × a/b。
2. 乘法的结合律：分数乘法满足结合律，即(a/b × c/d) × e/f = a/b ×(c/d × e/f)。
初一数学下第九章 9.4 乘法公式练习题(附答案)
9.4 乘法公式一．选择题1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±202．若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．03．下列计算正确的是（）A．5a4•2a=7a5B．（﹣2a2b）2=4a2b2C．2x（x﹣3）=2x2﹣6x D．（a﹣2）（a+3）=a2﹣64．计算（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）等于（）A．x+xy2B．x﹣3y+xy2C．x2﹣3y+xy2D．x﹣3y+x5．如果（3x2y﹣2xy2）÷m=﹣3x+2y，则单项式m为（）A．xy B．﹣xy C．x D．﹣y6．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．257．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（）A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab8．若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定9．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab10．若S=（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．计算：10ab3÷（﹣5ab）=．12．已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为．13．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=．14．观察下列各式的规律：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；一般地（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=．15．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）5=．16．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．17．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．三．解答题18．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．19．先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．20．探究与思考：在计算m+m2+m3+…+m n的和时，我们可以用以下思路：令A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1；（1）试利用以上思路求出m+m2+m3+…+m n的和；（2）请利用（1）求出m+2m2+3m3+…+nm n的和．参考答案与解析一．选择题1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选：B．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．【解答】解：∵a+b=1，∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．故选：C．【点评】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．3．下列计算正确的是（）A．5a4•2a=7a5B．（﹣2a2b）2=4a2b2C．2x（x﹣3）=2x2﹣6x D．（a﹣2）（a+3）=a2﹣6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=10a5，故A错误；（B）原式=4a4b2，故B错误；（D）原式=a2+a﹣6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．计算（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）等于（）A．x+xy2B．x﹣3y+xy2C．x2﹣3y+xy2 D．x﹣3y+x【分析】直接利用多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，进而求出即可．【解答】解：（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）=x﹣3y+xy2．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，熟练进行单项式除以单项式运算是解题关键．5．如果（3x2y﹣2xy2）÷m=﹣3x+2y，则单项式m为（）A．xy B．﹣xy C．x D．﹣y【分析】根据除数等于被除数除以商即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（3x2y﹣2xy2）÷（﹣3x+2y）=﹣xy，则m=﹣xy．故选：B．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．25【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13．故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（）A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab【分析】把A看作未知数，只需将完全平方式展开，用（a+b）2﹣（a﹣b）2即可求得A．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，∴A=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．8．若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定【分析】先把b2﹣2ab+a2化成完全平方式，然后讨论a﹣b的正负性，最后求解．【解答】解：b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2，又∵|a﹣b|=1∴a﹣b=1或﹣1，∴b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2=1．故选：A．【点评】本题主要考查完全平方公式的逆用，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．9．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab【分析】设小正方形边长为x，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．【解答】解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为a﹣2x=2x+b，可得x=，大正方形边长为a﹣==，则阴影部分面积为（）2﹣4（）2=﹣==ab，故选：A．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若S=（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（）A．B．C．D．【分析】原式各括号利用平方差公式分解后，约分即可得到结果．【解答】解：S=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=（×××…×）×（×××…×）=×=，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．二．填空题11．计算：10ab3÷（﹣5ab）=﹣2b2．【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．【解答】解：原式=﹣a1﹣1b3﹣1=﹣2b2，故答案为：﹣2b2【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为8．【分析】先将原式化简，然后将2m﹣3n=﹣4代入即可求出答案．【解答】解：当2m﹣3n=﹣4时，∴原式=mn﹣4m﹣mn+6n=﹣4m+6n=﹣2（2m﹣3n）=﹣2×（﹣4）=8故答案为：8【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．13．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=80．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，∴a2﹣b2=10×8=80，故答案为：80【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．14．观察下列各式的规律：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8﹣1；一般地（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．【分析】直接利用已知中的基本形式进而得出变化规律求出答案即可．【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1则（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8﹣1．（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．故答案是：x8﹣1；x n+1﹣1．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确得出式子变化规律是解题关键．15．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【分析】观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系，即可得出（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，此题得解．【解答】解：观察图形，可知：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【点评】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．16．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．【分析】首先表示S1=a2﹣1，S2=（a﹣1）2，再约分化简即可．【解答】解：===，故答案为：．【点评】此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．17．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．三．解答题18．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，当x=时，原式=6﹣1=5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b）=a2﹣2ab﹣a2+b2=﹣2ab+b2，当a=，b=﹣1时，原式=﹣2××（﹣1）+（﹣1）2=1+1=2．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．20．探究与思考：在计算m+m2+m3+…+m n的和时，我们可以用以下思路：令A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1；（1）试利用以上思路求出m+m2+m3+…+m n的和；（2）请利用（1）求出m+2m2+3m3+…+nm n的和．【分析】（1）根据已知条件，所求的式子乘以m，然后减去原式，即可求解；（2）求出所求的式子的二倍，相加时首项与尾项相加，然后利用（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1．∴mA﹣A=m n+1﹣m，即（m﹣1）A=m n+1﹣m11∴A=（2）m+2m2+3m3+…+nm n+（m+2m2+3m3+…+nm n）=（n+1）（m+m2+m3+…+m n）=（n+1）∴m+2m2+3m3+…+nm n =【点评】本题考查了整式的混合运算，正确理解已知的式子i，求得（1）中式子的结果是关键．12。
初一上册必背的数学公式
初一上册必背的数学公式数学公式是数学学习中必须掌握的重要内容，它们在问题求解中起着重要作用。
在初一上册数学学习中，有一些基础的数学公式是必须要背诵和理解的。
接下来，将为大家总结初一上册必背的数学公式，希望能给同学们的学习提供帮助。
一、整数部分1.加法和减法法则：$$ (a + b) \\pm c = a \\pm c + b \\pm c $$2.这个法则可以使我们在计算多个整数的加减法时更加快捷。
3.乘法法则：$$ a \\times (b + c) = a \\times b + a \\times c $$4.这个法则可以使我们在进行两个整数的乘法运算时更加简化。
二、代数表达式1.同底数幂运算：$$ a^m \\times a^n = a^{m+n} $$2.这个公式可以帮助我们简化同底数的幂运算。
3.分配律：$$ a \\times (b + c) = a \\times b + a \\times c $$4.这个公式帮助我们在进行代数表达式的运算时更加方便快捷。
三、平面图形1.三角形的面积公式：$$ S = \\frac{1}{2} \\times a \\times h $$2.其中，S表示三角形的面积，a表示底边的长度，h表示高的长度。
掌握了这个公式，可以帮助我们计算三角形的面积。
3.矩形的面积公式：$$ S = a \\times b $$4.其中，S表示矩形的面积，a表示矩形的长，b表示矩形的宽。
这个公式可以帮助我们计算矩形的面积。
5.平行四边形的面积公式：$$ S = b \\times h $$6.其中，S表示平行四边形的面积，b表示底边的长度，h表示高的长度。
这个公式可以帮助我们计算平行四边形的面积。
四、图形的变换1.平移变换公式：$$ (x, y) \\rightarrow (x + a, y + b) $$2.这个公式表示点(x, y)在平移变换下的坐标变化，其中a表示水平方向上的移动距离，b表示垂直方向上的移动距离。
乘法公式(教师)
学科教师辅导讲义【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312 （2）()()a b b a 3232++- （3）()()2323-+-m m 【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征，公式中的“a ”，“b ”与位置、自身的符号无关，观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反”.不能盲目套用公式.【答案】（1）不能，若改为⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a b 231312就可以应用公式 （2）不能，若改为()()a b b a 2332++-就可以应用公式（3）不能，若改为()()2323-+m m 就可以应用公式【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ）A. ()2222a b a ab b +=++; B. ()2222a b a ab b -=-+; C. ()()22a b a b a b -+=-; D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.【答案】C2．下列计算中可以用平方差公式的是 （ ）（A ）()()22--+a a （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121 （C ）()()y x y x -+- （D ）()()22y x y x +-【答案】B3.如图，在边长为a 的正方形内减去边长为b 的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用,a b 表示梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。
4.如图，边长为,a b 的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用,a b 表示出梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。
初中数学母题公式大全及解析
初中数学母题公式大全及解析初中数学母题公式大全及解析如下：1. 乘法与因式分解(a + b)(a - b) = a^2 - b^2(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab2. 反比例函数f(x) = k/x，其中k > 0时，在第一象限和第三象限内；k < 0时，在第二象限和第四象限内。
3. 二次函数y = ax^2 + bx + c当a > 0时，抛物线的开口向上；当a < 0时，抛物线的开口向下。
4. 统计初步总体：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体。
从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。
众数：在一组数据中，出现次数最多的数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）。
5. 频率与概率频率 = 频数/总数各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于16. 三角形勾股定理：对于一个直角三角形，直角边的平方和等于斜边的平方。
常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41。
正余弦定理：用于解三角形，特别是非直角三角形的问题。
在遇到45度、60度、75度之类的非直角三角形题目时，可以用上这两个公式。
7. 几何篇托勒密定理：对于一个任意四边形，其对角线互相平分，则该四边形的面积等于其两对对边乘积之和。
以上是初中数学母题公式大全及解析，希望对您有所帮助。
[初一数学]乘法公式(最新整理)
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需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母 a，b 可以表示数， 也可以是单项式或多项式．
例１ 利用完全平方公式计算： （１）（－3a－5）2 ； （２）（a－b＋c）2 ．
分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）2＝[（a－ b）＋c]2 或[a－（b－c）]2，通过两次应用完全平方公式来计算．
二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两 项积的两倍．
完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和 求值中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方 差公式的类比加深理解和记忆．运用中要防止出现（a±b）2＝a2±b2，或（a－b）2＝ a2－2ab－b2 等错误．
(6) (x2+x+1)(x2-x+1)
解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1.
(2)解法 1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25) =9x2+12x+4-9x2+30x-25 =42x-21
（１）（ x2－y）（－y－ x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）．
解：（１）（ x2－y）（－y－ x2）
＝（－y ＋ x2）（－y－ x2） ＝(－y)2－（ x2）2 ＝y2－ x4 ；
（２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ．
乘法公式
一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同， 另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相 反数的项的平方． 值得注意的是，这个公式中的字母 a，b 可以表示数，也可以是单项式或多 项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速 计算的工具． 例１ 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）． A．（a－b）（－a－b） B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b） D．（b2－a2）（－a2－b2） 解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b 是相同的项，a 与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中 a2 是相同项，－b2 与 b2 是互为相反数符 合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等 式的特征，因此不可使用平方差公式计算． 例２ 运用平方差公式计算：
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乘法公式知识点睛模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：①公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）； 22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：①公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++例题精讲【例1】 计算：⑴2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵(23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--；【答案】⑴2224(3)(3)(9)(9)(9)81x x x x x x +-+=-+=-；⑵原式2222(49)(2516)a b b a =--22442242241006422514464244225a b a b a b a a b b =--+=-+-；【例2】 计算：()()()()2432212121211+++++【答案】原式()()()()()243264212121212112=-+++++=【例3】 2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】原式211111************n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4411121222n n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．【例4】 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【答案】设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S =++++++，两边乘以(31)-，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S -=-++++++22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)=-+++++=6431=-∴641(31)2S =-，即6423231(31)(31)(31)2-+++=．【例5】 求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值.【答案】观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)n n n -+=的形式，而121=-，故原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n --=⨯⨯⨯⨯+=-⨯+⨯+⨯⨯+=-.【例6】 ⑴求()()()()()()()24816326421212121212121A =+++++++的个位数字：⑵2222222212345699100-+-+-++-的值是( )A.5050.B.5050-.C.10100.D.10100-.【答案】⑴()()()()26421212121A =-+++()()6464128212121=-+=-2n 各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432÷=，所以1282个位为6，故12821-个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)⑵原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)=+-++-++-+++-1(3711199)=-⋅++++31991502+⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭5050=-，故选B.【例7】 已知200520072006a ⨯=，200620082007b ⨯=，200720092008c ⨯=，比较三者大小．【答案】20052007(20061)(20061)12006200620062006a ⨯-+===-，200620081200720072007b ⨯==-，200720091200820082008c ⨯==-，易得a b c <<．【例8】 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值．【答案】222243(2)25(2)3(2)5(25)x a x x a x x --+=--+=±即2243(2)2542025x a x x x --+=-+或2243(2)2542025x a x x x --+=++故3(2)20a --=或3(2)20a --=-，解得：143a =-或263a =【例9】 已知2216m km ++是完全平方式，则______k =【答案】∵2216m km ++是完全平方式，∴28km m =±，解得4k =±【例10】已知正方形的面积是222520x xy ny ++(0x >，0y >)，则正方形的边长是_________（用含x 、y的代数式表示）【答案】设正方形的边长为a ．则2222520a x xy ny =++∴222520x xy ny ++是a 的完全平方形式，∴22222520(5)25)x xy ny x x ++=+⋅+∴20=，即4n =∴正方形的面积是：222225204(52)a x xy y x y =++=+，∴52a x y =+故正方形边长为：52x y +【例11】推导2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，比较2()a b +、2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，并探索规律.【答案】222()2a b a b ab +=++2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++222()()2()()()a b c d a b a b c d c d +++=++++++2222222222a b c d ab ac ad bc bd cd =+++++++++ 观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)12..2n n n ++++=； 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2；三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2.根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【例12】利用例题得出的规律推导2()a b c d ++-、2()a b c d +--、2()a b c d e ++++的展开式.【答案】令22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++中d d =-，也就是以d -替换d 可得，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd ++-=+++++-+--同理可知，22222()222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +--=++++----+根据例题中归纳出来的规律，2()a b c d e ++++的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知 222222()2222222222a b c d e a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de ++++=++++++++++++++【例13】2()________________________________________a b c d e +-+-=.【答案】222222222222222a b c d e ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++-+--+--+-.【例14】已知三个数a b c ，，满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a b c ++.【答案】三式相加，得22222264a b c ab bc ca +++++=，所以()264a b c ++=，8a b c ++=±.【例15】计算：⑴222()()()________________________________________a b b c a c +++++=⑵222()()()________________________________________a b b c a c -+-+-=⑶222()()()________________________________________a b b c a c ++-+-=【答案】⑴222222222a b c ab bc ac +++++；⑵222222222a b c ab bc ac ++---；⑶222222222a b c ab bc ac +++--；【例16】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求代数式222a b c ab bc ca ++---的值. 【答案】由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b -=，2b c -=-，1c a -= 故22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣⎦ 【例17】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【答案】由35a b b c -=-=可知，65a c -=， 故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-. 【例18】如果a ，b ，c 是ABC △三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC △是( )A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定【答案】已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =.即a b c ==．选A ． 【例19】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)y z z x x y y z x -+-+-=+-22(2)(2)x z y x y z ++-++-， 求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值． 【答案】先将已知等式222()()()y z x y z x -+-+-222(2)(2)(2)y z x x z y x y z =+-++-++-的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz =++---；右边222666666x y z xy yz xz =++---对等号两边合并同类项，得2222222220x y z xy yz xz ++---=即222()()()0.x y x z y z -+-+-=因为x ，y ，z 均为实数所以x y z ==，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z x y z +++==+++.【例20】如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A.1a +B.21a +C.221a a ++D.1a +【答案】∵自然数a 是一个完全平方数，∴a ∴比a 的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a =+．故选D ．【例21】设x 为正整数，若1x +是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A.xB.1x -C.1x -D.2x -【答案】设21y x =+，则y =22(1)21112y y y x x -=-+=+-=-，故选D ．【例22】⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.【答案】⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦ 又3x =， 1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【例23】已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=___________.【答案】解法一：由已知条件可知，2221222(1)0x y xy y x x y +++--=+-=，故1x y +=，999()1x y +=.解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y x y +-++=+-=，故1x y +=，999()1x y +=.课后作业【习题1】记248(12)(12)(12)(12)(12)n x =++++⋅⋅⋅+，且12812x +=，则______n =【答案】248(12)(12)(12)(12)(12)n x =++++⋅⋅⋅+248(21)(12)(12)(12)(12)(12)n =-++++⋅⋅⋅+2(21)(21)21n n n =-+=-∴2212112n n x +=-+=∴2128n =，∴64n =【习题2】224488()()()()()________x y x y x y x y x y -++++=【答案】1616x y -【习题3】计算：23221111(1)(1)(1)(1)23410---- 【答案】原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233441010=-+-+-+-+ 13243491111111223345101021020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 【习题4】若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式M ．【答案】若把M 视为2ab 这一项，22294(3)2x M x M ++=++，此时M 可以为12x ±；若把29x 视为2ab 这一项，2229942224x M M x ++=++⨯⨯，此时M 可以为48116x ； 若把4视为2ab 这一项，22294(3)233x M x M x x ++=++⨯⨯，此时M 可以为249x ， M 还可以是29x -、4-．【习题5】计算：⑴2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++； ⑵22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+； 【答案】⑴13a ，14b ，12c ；⑵2m ，n . 【习题6】计算：⑴22111111()()()()333939a a a a a a -+-+++ ⑵22(3)(93)b a a ab b +-+⑶222(2)4(2)a b a a b b ⎡⎤+--⎣⎦ ⑷4224(2)(2)(816)a b a b a a b b +--+【答案】⑴22336111111111()()()()()()3339392727729a a a a a a a a a -+-+++=-+=-； ⑵22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a ab b b a b ab a b a b a +-+=+-+=+=+；⑶2222222(2)4(2)(2)(42)a b a a b b a b a ab b ⎡⎤+--=+-+⎣⎦3326336(8)6416a b a a b b =+=++； ⑷4224223642246(2)(2)(816)(4)124864a b a b a a b b a b a a b a b b +--+=-=-+-.【习题7】已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．【答案】由333()3()x y x y xy x y +=+-+，得1000310100xy -⨯=，即30xy =．所以222()240x y x y xy +=+-=．。