高中物理模块要点回眸14计算天体质量的两条思路新人教版必修

第14点计算天体质量的两条思路

1.“自力更生”法根据天体表面的重力加速度求解

忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G

Mm

R 2

，得M ＝R 2g

G

.(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径). 2.“借助外援”法根据环绕运转的圆周运动求中心天体的质量

选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象，将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律

得G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2

r T

2.若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω

或周期T ，可求得中心天体的质量为M ＝rv 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3

GT 2

.

3.星球密度的计算

根据求得的星球质量，由ρ＝M V ＝

M

43

πR

3

可以求得星球的密度.其中R 为该星球的半径.

对点例题1土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm 到10 m 的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104

km 延伸到1.4×105

km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h ，引力常量为 6.67×10－11

N·m 2

/kg 2

，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)() A.9.0×1016

kg B.6.4×1017

kg C.9.0×1025 kg

D.6.4×1026

kg

解题指导环的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：

G mM R 2＝mR (2πT

)2 M ＝4π2R 3

GT

2，其中R 为轨道半径，大小为1.4×105 km ，T 为周期，约为14 h.

代入数据得：M ≈6.4×1026

kg. 答案D

特别提醒此方法只能求中心天体质量，而不能求周围环绕星(或行星)的质量.

对点例题2嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成.探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约 2 kg 月球样品.某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为()

月球半径

R 0 月球表面处的重力加速度 g 0 地球和月球的半径之比

R

R 0＝4 地球表面和月球表面的重力加速度之比

g

g 0

＝6

A.23

B.3

2

C.4

D.6 解题指导在地球表面，重力等于万有引力，故mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2G ，故地球的密度ρ＝M

V ＝

gR 2

G

43πR 3

＝3g 4πGR .同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0，故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝32. 答案B

1.(多选) 有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v 贴近行星表面匀速

飞行，测出飞船运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可得() A.该行星的半径为vT

2π

B.该行星的平均密度为3π

GT

2

C.无法求出该行星的质量

D.该行星表面的重力加速度为4π2v

2

T

2

答案AB

解析由T ＝2πR v 可得R ＝vT 2π，A 正确；由GMm R 2＝m v 2

R 可得M ＝v 3

T 2πG ，C 错误；由M ＝43

πR 3

ρ得

ρ＝

3πGT 2，B 正确；由GMm R 2＝mg 得g ＝

2πv

T

，D 错误. 2.我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，2007年10月24日，“嫦娥一号”绕月探测卫星发射成功.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：

(1)若已知地球质量为M ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动.万有引力常量为G .试求出月球绕地球运动的轨道半径r .

(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落地点与出发点的水平距离为x .已知月球半径为R ，万有引力常量为G .试求出月球的质量M 月. 答案见解析 解析(1)由

GMm r 2＝m (

2πT )2

r 得r ＝ 3

GMT 2

4π

2

.

(2)由x ＝v 0t ，h ＝12gt 2

得g ＝2hv 0 2

x 2又GM 月m

R

2＝mg

得M 月＝2hR 2v 0

2

Gx

2

.