历年初三数学中考分类讨论题型整编及答案

中考数学分类讨论题型整编【知识整合创新】整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。

目前，中考试卷中，觉见的需分类讨论的知识点有三大类：1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.中考高分解密：题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

考题1．求函数251()(3)22y k x k x =-+-+的图象与x 轴的交点？ 名师点拔：二次项系数中含有参数k ，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对52k -分类讨论.解：（1）当502k -=时，即52k =时，此函数为1122y x =-+，故其与x 轴只有一个交点（1，0） （2）当55022k k -≠≠，即时，此函数为二次函数，2251(3)4()(2)22k k k ∆=--⨯-⨯=-.①当2k =时，Δ＝0.抛物线与x 轴的交点只有一个.212110,122x x x x -+===，交点坐标为（1，0）②当2k ≠时，Δ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点.1(1,0)(,0)52k-和. 综合所述：当52k =或2k =时，函数图像与x 轴只有一个交点（1，0）；当52k ≠且2k ≠时，函数图像与x 轴有两个不同交点1(1,0),(,0)52k -. 变式思考1已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-=（1）若方程有实数根，求k 的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长.易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.考题2．如图（1）边长为2的正方形ABCD 中，顶点A 的坐标是（0，2）一次函数y x t =+的图像l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）.（1）当t 取何值时，S ＝3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S 与t 的函数图像.名师点拔：设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，易知ΔDMN 是等腰Rt Δ，只有当MD ＝2时，1MDN S ∆=，那么3ABCD MDN S S S =-=，此时求得42t =-，第（2）问中，随着t 的变化，S 的表达式发生变化，因而须分类讨论t 在不同取值时S 的表达式，进而作出图像.解：（1）设l 与正方形ABCD 的交点为M ，N ，∵l 的解析式y x t =+，在x 轴，y 轴上所截线段相等.∴ΔDMN 为等腰Rt ΔDMN∵S ＝3，∴2231DMN ABCD S S S ∆=-=⨯-=又∵21122DMN S MD ND ND ∆=⋅= ∴MD ＝ND ＝2，∴ON ＝OD －DM ＝4－2，即D 点的坐标为（0，4－2）∴42t =-，即当42t =-时，S ＝3.（2）∵直线l 与y 轴的交点M 的坐标为(0,)t∴当0≤t ＜2时，21122S B B t =M ⋅N = 当2≤t ＜4时，21(4)42ABCD DMN S S S t ∆=-=--+ 当t ≥4时，S ＝4根据以上解析式，作图如下图（图2）变式思考2 如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =， ∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE的面积；（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C→→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2.①求S 关于t 的函数关系式；②（附加题）求S 的最大值.易误点睛：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.考题3．在ΔABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图所示，若点O 在BC 边上运动，（与点B 和C 不重合），设BO ＝x ，ΔAOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O与圆A 相切时ΔAOC 的面积.名师点拔：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D 点 ∵AB ＝AC ＝22∴AD ＝AB sin 45⋅︒=2图（2）445AB BC Sin ==︒ ∴OC=BC －BO=4－x ，故ΔAOC 的面积y 与x 的函数解析式为12y OC AD =⋅即1(4)242y x x =-⨯=- （2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵∠BAC=90° AB=AC=22 ∴BC=4 AD ＝12BC ＝2 ∴112(4)422AOC S OC AD x x ∆=⋅=⨯⨯-=- 即4(04)y x x =-+<<（2）当点O 与点D 重合时，圆O 与圆A 相交，不合题意；当点O 与点D 不重合时，在Rt ΔAOD 中，222224248AO AD OD x x x =+=+-=-+∵⊙A 的半径为1，⊙O 的半径为x∴①当⊙A 与⊙O 外切时 22(1)48x x x +=-+ 解得76x =此时，ΔAOC 的面积717466y =-= ②当⊙A 与⊙O 内切时，22(1)48x x x +=-+ 解得72x =此时ΔAOC 的面积71422y =-= ∴当⊙A 与⊙O 相切时，ΔAOC 的面积为17162或. 变式思考3如图，直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N （1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线443y x =-+相切，求点P 的坐标. 易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.考题4如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线:33l y x m =-与y 轴的交点为B ，其中m ＞0. （1）写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标 （用含有m 的代数式表示）（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数.（3）动点Q 在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.名师点拨：（1）对称轴x m =，顶点A （m,0）（2）把x ＝m 代入33y x m =-得330y m m =-= ∴点A （m,0）在直线l 上，直线l 与y 轴相交，则B 点的横坐标为：3y m =-；B 点坐标为(0,3)m -，由三角函数知识可得：3tan 3OB m OAB OA m∠=== 即∠OAB ＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。

解：（1）对称轴为直线x m =，顶点A （m ，0）（2）把x m =代入函数33330y x m y m m =-=-=得∴点A （m,0）在直线l 上.当x=0时，3y m =-∴3(0,3),tan 3m B m OAB m-∠== ∴∠OAB=60°(3)如图，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与ΔOAB 全等，共有以下4种情况： ①1111190,3,PQ A PQ m Q A m ∠=︒== ∴1P 点的坐标为(3,)m m m --，代入抛物线解析式得：23,0m m m -=-> ∴13m = ∴1131(,)33P --②22290,B P Q A P ∠=︒点与点重合 ∴2,0m m =->∴m =∴2(0,3)P -③3333390,,Q P A Q P m P A ∠=︒= ∴3P 点的坐标为3(,)2m m --代入抛物线解析式得：233,024m m m -=-> ∴2m = ∴3(23)P -④4444490,,Q P A Q P P A m ∠=︒= ∴4P 点的坐标为1(,)2m m -，代入抛物线解析式得：213,024m m m -=-> ∴23m = ∴41)3P - 分析可知，1234,,,P P P P 关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；综上所述，符合条件的P 点分别为1111)3333----；（0，3），3)-，(23)-，(23)+-.变式思考4已知抛物线22ax bx c ++y ＝的顶点坐标为（4，－1）与y 轴交于点C （0，3），O 是原点.（1）求这条抛物线的解析式.（2）设此抛物线与x 轴的交点A 、B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点1P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与ΔAOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.易误点睛：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.中 考 零 距 离一、选择题1．若m 为实数，则点P （m －2，m+2）不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为5，则这两圆的圆心距等于（ ）A ．1B ．2或6C ．7D ．1或73．如果关于x 的方程210x mx ++=的两个根的差为1，那么m 等于（ ）A ．2±B ．C ．D ．4．平面上A 、B 两点到直线l 的距离分别是22则线段AB 的中点C 到直线l 的距离是（ ）A ．2BC ．2D ．不能确定5．已知22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．－3B ．10C ．－4D ．10或－4二、填空题6．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是弦，且AB ＝2，AC ，AD ＝1，则∠CAD ＝______________.7．已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行线，AB ＝12，CD ＝16，⊙O 的直径为20，则AB 与CD 之间的距离为________________.8．方程560x x x ⋅-+=的最大根与最小根的积为____________.9．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于________________.10．已知ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以A 和C 为圆心作⊙A 和⊙C ，且⊙C 与直线AB 不相交，⊙A 与⊙C 相切，设⊙A 的半径为r ，那么r 的取值范围是____________.11．已知2225,7x y x y +=+=，则x y -的值等于______________.12．在平面直角坐标系内，A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第__________象限.三、解答题13．已知实数a ，b 分别满足221122,22,a a b b a b+=+=+求的值.14．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽16cm 的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.15．在钝角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点，且Ad 与DC 的长度为27120x x -+=方程的两个根，⊙O 是△ABC 的外接圆，如果BD 长为(0)a a >.求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.16．在直角坐标系中，有以A （－1，－1），B （1，－1），C （1，1），D （－1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线y ＝x 上方及直线y=－x+2a 上方部分的面积为S ，（1）求12a =时，S 的值.（2）a 在实数范围内变化时，求S 关于a 的函数关系式.17．在直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （5，0），B （0，4），C （－1，0），点M 和点N 在x 轴上，（点M 在点N 的左边）点N 在原点的右边，作MP ⊥BN ，垂足为P （点P 在线段BN 上，且点P 与点B 不重合）直线MP 与y 轴交于点G ，MG ＝BN.（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式.（2）求点M 的坐标.（3）设ON ＝t ，△MOG 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.（4）过点B 作直线BK 平行于x 轴，在直线BK 上是否存在点R ，使△ORA 为等腰三角形？若存在，请直接写出R 的坐标；若不存在，请说明理由.变式思考答案1．解：（1）∵方程有实数根.∴①当k ＝0时，原方程变为1840,2x x -==，方程有实数根. ②当0k ≠时，24(4)4(4)k k k ∆=+--≥0，解之得43-k ≥，∴403k k -≠≥且 故k 的取值范围是43-k ≥. （2）①若b=c ，则24(4)4(4)0k k k ∆=+--=，解得43k =-，此时方程的根为b ＝c ＝2，又∵a ＝3，满足三角形三边关系，∴2237ABC C a b c ∆=++=++=②若a=b 或a=c ，则92(4)3(4)0k k k ++⨯+-=，∴54k =-，此时方程另一根为：7755c b ==或，满足三角形三边关系，∴7373355ABC C a b c ∆=++=++=.2．（1）当点P 运动2秒时，AP ＝2cm ，由∠A ＝60°，知AE ＝1，PE .∴APE S ∆=. （2）①（i ）当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝2t ，QF ＝2，AP ＝t+2，AG ＝1+2t ，PG 2.∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为22S =+. （ii ）当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN与AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝2t ，DF ＝4－2t ，QF ，BP ＝t －6，CP ＝10－t ，PG ＝（10－t而BD ＝ABCD 的面积为2S =+（iii ）当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ ＝20－2t ，OF ＝（20－2t ），CP ＝10－t ，PG ＝（10－t∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为28S =-. 故S 关于t 的函数关系式为22+(0t 6)22S =-t t 8)8-t 10)⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤≤②（附加题）当0≤t ≤6时，S的最大值为2； 当6≤t ≤8时，S的最大值为当8≤t ≤10时，S的最大值为所以当t ＝8时，S有最大值为3．解：（1）当x ＝0时，y ＝4. 当y ＝0时，4403x -+=，∴x ＝3. ∴M （3，0），N （0，4）（2）①当1P 点在y 轴上，并且在N 点的下方时，设⊙1P 与直线443y x =-+相切于点A ，连接1P A ，则1P A ⊥MN.∴∠1P AN ＝∠MON ＝90°，∵∠1P NA=∠MNO ，∴△1P AN ∽△MON ，∴11P A P N MO MN = 在Rt △OMN 中，OM ＝3，ON ＝4，∴MN ＝5. 又∵1125P A =，∴14P A =，∴1P 点坐标是（0，0） ②2P 点在x 轴上，并且在M 点的左侧时，同理可得2P 点坐标是（0，0） ③当3P 在x 轴上，并且在M 点的右侧时，设⊙3P 与直线443y x =-+相切于点B ，连接3P B ，则3P B MN ⊥ ∴OA//3P B . ∵OA ＝3P B ，∴33P M OM ==.∴36OP =，∴3P 点坐标是（6，0）④当4P 点在y 轴上，并且在点N 上方时，同理可得44P N ON ==. ∴48OP =. ∴4P 点坐标是（0，8）综上，P 点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.4．解：（1）可设2(4)1y a x =--. ∵交y 轴于点C （0，3），∴3＝16a －1，∴14a =. ∴抛物线的解析式为21(4)14y x =-－，即21234y x x+=－. （2）存在当y ＝0时，则21(4)104x --=，∴122, 6.x x ==∴A （2，0），B （6，0）. 设P （0,m ），则OP ＝m . 在△AOC 与△BOP 中，①若∠OCA ＝∠OBP ，则△BOP ∽△COA ，∴OB OP OC OA =. OP ＝6243⨯=，∴4m =±. ②若∠OCA ＝∠OPB ，则△BOP ∽△AOC ，∴OP OB OC OA =. 6392OP ⨯==，∴9m =±. ∴存在符合题意的点P ，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9）中考零距离答案一、选择题1．C 2．D 3．C 4．C 5．D二、填空题6．15°或105° 7．14或2 8．3 9．4或5 10．327r <33<r 55≤或≤11．1± 12．三三、解答题程13．解：若a b ≠，则可知,a b 为方程2220x x +-=的两实数根，由韦达定理得a+b ＝－2，ab ＝－2. ∴11212a b a b ab +-+===- 若a b =，则解关于a ，b 的方程分别得1313a b a b ==-+==--或113113a b+=或14．解：分三种情况计算：（1）当AE ＝AF ＝10cm 时，（如图1），2150()2AEF S AE AF cm ∆=⋅= （2）当AE ＝EF ＝10cm 时（如图2），2228()140()2AEF BF EF EB cm S AE BF cm ∆=-==⋅= （3）当AE ＝EF ＝10cm 时（如图3），2251()DF EF ED cm =-=21551()2AEF S AE DF cm ∆=⋅=. 15．解：∵AD 与DC 的长度为27120x x -+=的两根 ∴有两种情况①AD ＝3，DC ＝4 ②AD ＝4，DC ＝3由勾股定理：求得AC ＝5，连接AO 并延长交⊙O 于E 点，连接BE ∴∠ABE ＝90° 又∵∠E ＝∠C∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AB AE AC AD AC AD=⇒=⋅ 16．解：（1）当12a =时，如图1， 直线1y x y x ==-+与的交点是11(,)22E ∴1111224S =⨯⨯= （2）①当1a <-时，如图2， △ADC 的面积就是S ，∴12222S =⨯⨯= ②当－1≤a ＜0时，如图3，直线2y x y x a ==-+与的交点是E （a ，a ）∴EG ＝（1－a ）＝1+a AF ＝2（1+a ） 第15题图。