第4章 离散时间系统结构与滤波器设计3(FIR滤波器设计1)
fir滤波器的设计流程
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实验四FIR数字滤波器的设计
实验四FIR数字滤波器的设计
FIR（有限冲击响应）数字滤波器是一种常见的数字信号处理器件，
可以用于滤波、降噪等应用。
下面是一种FIR数字滤波器的设计流程：
1.确定滤波器的需求：首先确定需要滤除的频率范围和滤波的类型，
例如低通、高通、带通、带阻等等。
2.设计滤波器的频率响应：根据滤波器的需求，设计其理想的频率响应。
可以使用窗函数、最小二乘法等方法获得一个理想的滤波器响应。
3.确定滤波器的阶数：根据设计的频率响应，确定滤波器的阶数。
阶
数越高，滤波器的响应越陡峭，但计算复杂度也会增加。
4.确定滤波器的系数：根据滤波器的阶数和频率响应，计算滤波器的
系数。
可以使用频域窗函数或时域设计方法。
5.实现滤波器：根据计算得到的滤波器系数，实现滤波器的计算算法。
可以使用直接形式、级联形式、传输函数形式等。
6.评估滤波器的性能：使用所设计的FIR滤波器对输入信号进行滤波，评估其滤波效果。
可以使用频率响应曲线、幅频响应、群延时等指标进行
评估。
7.调整滤波器设计：根据实际的滤波效果，如果不满足需求，可以调
整滤波器的频率响应和阶数，重新计算滤波器系数，重新实现滤波器。
以上是FIR数字滤波器的基本设计流程，设计过程中需要考虑滤波器
的性能、计算复杂度、实际应用需求等因素。
FIR滤波器设计课件
2
2
(2)设计线性相位的高通DF
从幅度特性看，可用第一种或第四种
第一种
N 1
Hr (w） a(n) cos wn
其中：
n
n0
n
0
0 a(0) a(n)
h( N 1) 2
2h( N 1 2
n)
第四种
H
r
(w)
M /2 n1
d
(n)
sin
w
n
1 2
d (n) 2h M n , n 1,2,, M
2
2
其中，Hr(w)是连续的振幅响应函数，可正可负的实函数
相位响应是一个不连续函数
例：设脉冲响应为h(n)={1，1，1，1}， 求出并画出频率响应
解：频率响应函数为
3
H e jw h n e jwn 1 e jw e2 jw e3 jw
n0
1 e4 jw
1 e jw
sin(2w) sin w 2
a
0
h
M 2
1
:中间样本
a
n
2h
M 2
1
n
，1
n
M2
3
将两式比较可得：
M -1 2
Hr a n cosn n0
II类线性相位:对称脉冲响应，M为偶数
这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0≤n≤M-1
H
(e
jw )
M /2 b(n) n1
令q=z –1,f(q) 的系数与f(z)刚好倒序. 由于h(n)的系数是对成的，倒序并不会改变
系数.
如果zk是多项式的根 ，则pk=zk-1也是.
FIR滤波器的原理及设计
选题2 实验讲义实验名称：基于分布式算法的FIR 滤波器设计1．数字滤波器基础知识数字滤波是信号与信号处理领域的一个重要分支，在语音图像处理、模式识别、谱分析、无线通信等领域都有着非常广泛的应用。
通过滤波运算，将一组输入数据序列转变为另一组输出数据序列，从而达到修正时域或频域中信号属性的目的。
数字滤波器就是用于完成这种信号滤波功能，用有限精度算法来实现的一种离散时间线性时不变（LTI ）系统。
相比于模拟滤波器，数字滤波器具有以下优点：（1）数字滤波器的频域特性容易控制，性能指标优良；（2）数字滤波器可以工作在极低的频率，可以方便地实现模拟滤波器难以实现的线性相位系统；（3）数字滤波器工作稳定，一般不会受到外部环境的影响；（4）数字滤波器的灵活性和可重用性高，只需要简单编程就可以修改滤波器的特性，设计周期短。
数字滤波器的实现可以采用专用DSP 芯片，通过编写程序，利用软、硬件结合完成滤波器设计，也可以采用市面上通用的数字滤波器集成电路来实现，但这两种方法无法适应高速应用场合。
随着集成电路技术的高速发展，FPGA 应用越来越普及，FPGA 器件具有芯片密度大、执行效率高，速度快，集成度高等优点，用FPGA 芯片作为滤波器的设计载体，可以实现高速信号滤波功能。
1.1 FIR 数字滤波器特点数字滤波器通常分为IIR （无限冲激响应）和FIR(有限冲激响应)两种。
FIR 滤波器具有以下特点：（1）可以做成严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性（2）单位冲激响应是有限长的，所以一定是稳定的，因此在实际中得到广泛的应用。
1.2 FIR 滤波器结构设FIR 滤波器的单位冲激响应为)(n h ，10-≤≤N n ，系统函数 ∑-=-=1)()(N n nzn h Z H差分方程形式为：∑-=-=1)()()(N k k n x k h n y （1）基本结构（直接型）：图（1）FIR 滤波器的基本结构1.3 结构简化当FIR 滤波器具有严格线性相位时，)(n h 满足)1()(n N h n h --=或)1()(n N h n h ---=设N 为偶数，令 )]1([)()0(--±=N n x n x s )]2([)1()1(--±-=N n x n x s)2()]12([)12(N n x N n x N s -±--=- 则（1）式可以简化为：∑-=-=120)()()(Nk k n s k h n y （2）与（1）相比，所需乘法器数量降为原来的一半。
FIR滤波算法设计
FIR滤波算法设计1.窗函数方法:窗函数方法是一种最简单的FIR滤波器设计方法。
它基于理想滤波器的频率响应，通过选择一个窗函数来实现实际滤波器的频率响应。
首先，确定所需的滤波器频率响应特性，比如低通、高通、带通或带阻。
然后，选择一个窗函数，如矩形窗、汉宁窗或布莱克曼窗。
根据选择的窗函数，通过离散化理想滤波器的频率响应，可以得到滤波器的冲激响应。
最后，将冲激响应从时域转换到频域，得到滤波器的差分方程或系统函数。
2.频率采样方法:频率采样方法是一种通过在不同的频率上对理想滤波器进行采样来设计FIR滤波器的方法。
这种方法通常用于带通或带阻滤波器的设计。
首先，确定所需滤波器的频率响应特性，然后选择一组均匀的频率点来采样理想滤波器的频率响应。
通过将采样点的复数形式插值，可以得到理想滤波器的频率响应。
最后，通过将频率响应进行逆离散傅里叶变换，可以得到滤波器的冲激响应。
3.最佳线性离散系统(OLS)方法:OLS方法是一种通过最小化滤波器的均方误差来设计FIR滤波器的方法。
在这种方法中，首先确定所需滤波器的频率响应特性，并选择一个合适的判别函数。
然后，将滤波器的频率响应与判别函数进行最小二乘优化，以获得滤波器的系数。
最后，将系数代入滤波器的冲激响应或系统函数，得到最终的滤波器。
以上是几种常用的FIR滤波器设计方法的概述。
不同的设计方法适用于不同的滤波器需求，选择合适的设计方法可以实现满足要求的滤波器。
在进行FIR滤波器设计时，还需要考虑滤波器的阶数、过渡带宽、滤波器类型等因素，以使设计得到的滤波器在时域和频域上都能满足所需的性能要求。
总结起来，设计FIR滤波器通常需要选择合适的设计方法、确定滤波器的频率响应特性、选择适当的窗函数或判别函数，并根据系数插值或优化得到最终滤波器的冲激响应或系统函数。
离散时间滤波器的设计
05
离散时间滤波器的实现
软件实现
优点
软件实现具有高度的灵活性，可以轻松修改和优化滤波器的参数。此外，软件实现通常具有较低的成本和较短的 上市时间。
缺点
软件实现的计算量大，可能会影响实时性能。此外，软件实现通常需要更复杂的编程和调试。
硬件实现
优点
硬件实现通常具有更高的性能，可以满足实时处理的需求。此外，硬件实现通常具有较长的使用寿命 和较低的维护成本。
06
离散时间滤波器的发展趋势
与挑战
发展趋势
数字滤波器
随着数字信号处理技术的发展，离散时间滤波器的设计越来越倾 向于数字化，数字滤波器具有更高的灵活性和可调性。
自适应滤波器
自适应滤波器可以根据输入信号自动调整滤波器的参数，以更好地 适应信号的变化，提高滤波效果。
多维滤波器
多维滤波器可以处理多维数据，如图像、视频等，具有更广泛的应 用前景。
离散时间信号的频域表示
傅里叶变换
离散时间信号可以表示为傅里叶级数 或傅里叶变换的形式，从而在频域进 行分析和处理。
频域表示
通过傅里叶变换，离散时间信号可以 转换为频域表示，从而揭示信号的频 率成分和频率特性。
离散时间滤波器的传递函数
传递函数
离散时间滤波器的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型，用于 分析系统的频率响应特性。
差最小化。
约束条件
02
设计过程中可能存在各种约束条件，如滤波器阶数、过渡带宽
等。
设计算法
03
常用的设计算法包括最小均方误差逼近法和递归最小二乘法等。
线性相位滤波器的设计
线性相位特性
线性相位滤波器的冲激响应具有对称性，使得信号通过滤波器后，其相位响应与 频率成线性关系。
第5章 离散时间系统结构与滤波器设计3(FIR滤波器设计)
为了克服这一缺陷，还有另外一种最优准则， 最大误差最小准则，有兴趣的同学可参考相 关资料，此处不再赘述。
8
二、 窗函数设计法
设计具有有限长单位冲激响应h(n)的滤 波器来逼近的理想滤波器频率响应。
H (e jw ) h(n)e jw
n 0 N 1
H d (e jw )
1 H d ( n) 2
d R
(1) w 0 时的零频率处的响应值 H (0) 应该是 图(a)与图(b)两函数乘积的积分，也就是 WR ( ) 在 wc 到 wc 内的积分面积。由于一般 情况下都满足 wc 2 / N ，所以 H (0) 可以近 似看成是WR (w) 全部积分面积。
30
4、海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）
“ ”在 时成立；此时主瓣宽度 8 / N 为 ,此时阻带最小衰减为25db。
N 1
27
3、汉宁（Henning）窗（升余弦窗）
w(n) 1 2n 1 cos RN (n) 2 N 1
e jnw0 e jnw0 cos nw0 2
15
如果将理想频率响应也写成： N 1
其中：
H d (e ) H d (w)e
jw j( 2 )w
1 H d ( w) 0
c
其他
H (e jw ) 因此，FIR滤波器的频率响应
为：
d
H (e jw ) 1 2 e
j(
H
N 1 )w 2
d
( )e
22
不能改变主瓣与旁瓣的相对比例
FIR滤波器设计与实现
FIR滤波器设计与实现一、FIR滤波器的设计原理y(n)=b0*x(n)+b1*x(n-1)+b2*x(n-2)+...+bM*x(n-M)其中，b0、b1、..、bM是滤波器的系数，M是滤波器的阶数。
在设计FIR滤波器时，需要确定滤波器的截止频率、滤波器类型（低通、高通、带通、带阻）以及滤波器的阶数。
通常情况下，滤波器的阶数越高，滤波器的性能越好，但计算复杂度也越高。
1.确定滤波器的截止频率和滤波器类型。
根据信号的频谱特性和滤波器的要求，确定滤波器的截止频率和滤波器类型。
2.确定滤波器的阶数。
根据滤波器的设计要求和计算资源的限制，确定滤波器的阶数。
3.计算滤波器的系数。
通过设计方法（如窗函数法、频率采样法、最优化法等），计算滤波器的系数。
4.实现滤波器。
根据计算得到的滤波器系数，使用差分方程或直接形式等方法实现FIR滤波器。
二、FIR滤波器的实现方法1.差分方程形式差分方程形式是FIR滤波器的一种常见实现方法，它基于差分方程对输入信号进行逐点计算。
根据滤波器的差分方程，可以使用循环结构对输入信号进行滤波。
2.直接形式直接形式是另一种常见的FIR滤波器实现方法，它基于滤波器的系数和输入信号的历史值对输出信号进行逐点计算。
直接形式的计算过程可表示为：y(n)=b0*x(n)+b1*x(n-1)+b2*x(n-2)+...+bM*x(n-M)其中，b0、b1、..、bM是滤波器的系数，x(n)、x(n-1)、..、x(n-M)是输入信号的历史值。
直接形式的优点是计算过程简单，缺点是计算量比较大，特别是当滤波器的阶数较高时。
除了差分方程形式和直接形式外，还有其他一些高级实现方法如离散余弦变换（DCT）和快速卷积等，它们能够进一步提高FIR滤波器的计算效率和性能。
总结：本文介绍了FIR滤波器的设计原理和实现方法。
FIR滤波器采用离散时间信号的卷积运算，通过确定截止频率、滤波器类型和阶数，计算滤波器系数，并使用差分方程或直接形式等方法实现滤波器。
数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧
离散时间滤波器的设计
p
1 1 ( / c )2 N
1 2
计算阶数和3 分贝截止频率： N log
p
10 10 1 s 10 s 10 1
p
1 2N
向上取整
s 10
设计模拟低通chebyI型滤波器:
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb1ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby1(N,1,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
举例
设计模拟高通滤波器: p 2 2000rad / s , s 2 1000rad / s ,
[N,Wc]=buttord(4000*pi,2000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=butter(N,Wc, 'high', 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-16,0]) grid on
设计模拟低通chebyII 型滤波器: 举例 p 2 1000rad / s , s 2 2000rad / s ,
p 1dB , s 15dB
[N,Wc]=cheb2ord(2000*pi,4000*pi,1,15, 's') [Bs,As]=cheby2(N,15,Wc, 's') [H,W]=freqs(Bs,As); plot(W/2/pi,20*(log10(abs(H)))) axis([0,4000,-30,0]) grid on
FIR滤波器设计
FIR滤波器设计FIR滤波器（Finite Impulse Response Filter）是一种数字滤波器，其输出仅取决于当前输入和以前的输入，而不取决于以前的输出。
FIR滤波器设计是指确定FIR滤波器的系数，使其具有所需的频率响应特性。
在设计FIR滤波器时，常见的方法包括窗函数法、四种极点分布法和最小二乘法。
窗函数法是FIR滤波器设计中最简单和最常用的一种方法。
该方法通过选择合适的窗函数来对理想滤波器的频率响应进行逼近。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
在进行设计时，首先确定所需的频率响应特性，然后选择合适的窗函数，并计算窗函数的系数。
最后，通过将理想滤波器的频率响应与窗函数进行卷积运算，得到FIR滤波器的系数。
四种极点分布法包括均匀采样法、线性相位法、最小相位法和Hilbert变换法。
这些方法通过在单位圆上选择合适的极点分布来设计FIR滤波器。
均匀采样法将极点均匀分布在单位圆上，线性相位法将极点分布在单位圆的实轴上，最小相位法将极点分布在单位圆的右半平面上，Hilbert变换法将极点分布在单位圆的上半平面上。
这些方法各有特点，根据实际需求选择合适的方法进行设计。
最小二乘法是一种经典的优化方法，用于确定FIR滤波器的系数。
该方法通过最小化实际输出与期望输出之间的误差来确定滤波器的系数。
常见的最小二乘法包括基于频域的最小二乘法和基于时域的最小二乘法。
在基于频域的最小二乘法中，通过选择合适的权重函数和目标函数来进行优化。
在基于时域的最小二乘法中，通过最小化滤波器的延迟和频率响应之间的误差来确定滤波器的系数。
在进行FIR滤波器设计时，需要考虑的因素包括滤波器的阶数、截止频率、过渡带宽和抗混叠性能。
滤波器的阶数取决于所需的频率响应特性，通常较高阶数的滤波器具有更陡峭的滚降斜率。
截止频率和过渡带宽决定了滤波器的频率响应特性，通常需要根据实际需求进行选择。
抗混叠性能是指滤波器在抽样过程中抑制混叠频率的能力，通常通过在设计过程中引入预留频率来实现。
实验四 FIR滤波器的设计
实验五 FIR滤波器的设计（一）一、实验目的(1) 掌握用窗函数法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的计算机编程；(2) 熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性；(3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。
二、实验原理与方法线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种： 1、h(n)为偶对称，N为奇数H(e jω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。
2、h(n)为偶对称，N为偶数H(e jω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。
3、h(n)为奇对称，N为奇数H(e jω)的幅值关于ω=0，π，2π成奇对称，不适合作高通和低通。
4、h(n)为奇对称，N为偶数H(e jω)ω=0、2π＝0，不适合作低通。
窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤a)确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N；b)根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(e jω)的幅频特性和相频特性；c)求理想单位脉冲响应h d(n)，在实际计算中，可对H d(e jω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM (n)，用hM(n)代替hd(n)；d)选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= h d(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；e)求H(e jω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。
窗函数的傅式变换W(e jω)的主瓣决定了H(e jω)过渡带宽。
W(e jω)的旁瓣大小和多少决定了H(e jω)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：a)矩形窗 w(n)=R N(n)；b)Hanning窗；c)Hamming窗；d)Blackmen窗；e)Kaiser窗。
(x)为零阶贝塞尔函数。
式中Io三、实验内容。
用Hanning窗设计一线性相位带通滤波器，(1)N=15,观察它的实际3dB和20dB带宽。
fir滤波器的设计及实现
fir滤波器的设计及实现
FIR滤波器的设计及实现步骤如下：
1.调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt，并自动显示
xt及其频谱。
2.设计低通滤波器，从高频噪声中提取xt中的单频抑制载波调幅信
号，要求信号幅频失真小于0.1dB，将噪声频谱衰减60dB。
观察xt的频谱，确定滤波器指标参数。
3.根据滤波器指标选择合适的窗函数，计算窗函数的长度N，调用
MATLAB函数firl设计一个FIR低通滤波器，并编写程序，调用MATLAB快速卷积函数fftfilt实现对xt的滤波。
绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。
4.重复步骤3，滤波器指标不变，但改用等波纹最佳逼近设计FIR
滤波器，调用MATLAB函数remezord和remez设计FIR数字滤波器。
比较两种设计方法的滤波器的阶数。
FIR滤波器设计
FIR滤波器设计FIR（有限冲激响应）滤波器是一种数字滤波器，它的特点是具有幅频响应、相频响应、群延迟和线性相位特性。
它通过对输入信号的每一个样本与滤波器的系数进行点乘、累加的操作实现滤波效果。
FIR滤波器设计是指确定滤波器的系数，使得滤波器对输入信号能够产生期望的滤波效果。
FIR滤波器的设计方法有很多种，其中最常用的是窗函数法和最小二乘法。
窗函数法是通过选择不同的窗函数来确定滤波器的系数，常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
最小二乘法是通过最小化滤波器输出与期望输出的均方误差来确定滤波器的系数。
在FIR滤波器设计过程中，首先需要确定滤波器的类型，常见的类型有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
然后需要确定滤波器的截止频率、通带增益、阻带衰减等参数。
接下来可以选择合适的设计方法进行滤波器的系数确定。
具体的设计步骤如下：1.确定滤波器的类型：根据实际需求确定滤波器的类型，例如低通滤波器、高通滤波器等。
2.确定滤波器的截止频率：根据应用需求确定滤波器的截止频率，即滤波器在通带和阻带之间的边界频率。
3.确定通带增益和阻带衰减：根据应用需求确定滤波器在通带和阻带中的增益和衰减要求。
4.选择设计方法：根据滤波器的类型和设计要求选择合适的设计方法，如窗函数法或最小二乘法。
5.确定滤波器的系数：根据设计方法确定滤波器的系数，可以使用MATLAB等工具进行计算。
6.评估设计结果：对设计得到的滤波器进行评估，包括幅频响应、相频响应、群延迟和线性相位特性等。
需要注意的是，FIR滤波器的设计是一个迭代过程，可能需要多次尝试和调整才能得到满意的结果。
在进行滤波器设计时，还可以考虑优化算法、滤波器结构等因素，以提高设计的效果和性能。
总之，FIR滤波器设计是通过确定滤波器的系数，以实现对输入信号的滤波操作。
设计过程中需要考虑滤波器的类型、截止频率、通带增益和阻带衰减等参数，并选择合适的设计方法进行系数的确定。
FIR滤波器设计
FIR滤波器设计1.滤波器规格确定：首先，需要明确滤波器的规格，即滤波器需要实现的频率响应。
这包括截止频率、通带和阻带的增益要求等，通过这些规格确定FIR滤波器的设计目标。
2.确定滤波器类型：FIR滤波器有多种类型可供选择，包括低通、高通、带通和带阻滤波器等。
根据应用需求选择合适的滤波器类型。
3.选择滤波器设计方法：FIR滤波器的设计方法有很多，常见的有窗函数法、频率采样法和最小最大法等。
不同的设计方法有不同的优势和限制，根据具体情况选择合适的设计方法。
4. 确定滤波器系数：在选定设计方法后，需要确定滤波器的系数。
这些系数决定了滤波器对输入信号的处理方式。
系数可以通过不同的计算方法得到，比如使用Matlab等数学工具软件进行计算。
5.评估滤波器性能：设计完成后，需要对滤波器进行性能评估。
这包括通过频率响应测试检查滤波器是否满足规格要求，并通过模拟信号或真实信号进行实际测试。
6.适应性滤波器设计：有时，滤波器的系数可能需要根据实时输入信号的情况进行调整。
这需要使用适应性滤波器设计方法，如LMS算法或RLS算法，根据误差信号和输入信号之间的关系来调整滤波器系数，以获得更好的滤波效果。
FIR滤波器的设计过程需要一定的理论基础和数学知识，以及对滤波器性能评估的能力。
实际中，常常通过使用现有的设计工具和软件来实现FIR滤波器的设计，比如使用Matlab、Python等语言中的信号处理工具箱。
总之，FIR滤波器是一种常见的数字滤波器类型，设计FIR滤波器的过程包括确定滤波器规格、选择滤波器类型、选择设计方法、确定滤波器系数、评估滤波器性能以及可能的适应性设计。
理解和掌握FIR滤波器的设计过程对于数字信号处理的应用具有重要意义。
《FIR滤波器的设计》PPT课件
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4π/N ，
等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），
取决于WR()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值
大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯 （Gibbs）效应）
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
H (e j ) h(n)
以一个截止频率为 c的线性相位理想低通
滤波器为例
：低通滤波器的延时
则：
hd
(n)
1
2
Hd
e j
e jnd
1 c e je jnd sin(c (n ))
h (2) = 2，求幅度函数H ( )。
解： Ｎ为奇数并且
h(n)满足偶对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1
H ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos +cos2)
小结：
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n)
N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为奇数
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
•在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而
形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响
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6
按照帕塞瓦公式有：
1 2 e 2
E(e
jw
) dw hd (n) h(n)
n 0
2
N 1
2
其他n
h
d
(n)
2
要使e2最小，就必须使第一项求和式最 小，即希望有：
hd (n) h(n) 0,0 n N 1
在 w 2 / N 之内为一个主瓣，两侧形成 许多衰减振荡的旁瓣
14
Hd(n)及W(n)的频谱特性
15
矩形窗所设计滤波器的频率特性
如果将理想频率响应也写成： N 1
其中：
H d (e ) H d (w)e
jw j( 2 )w
1 H d ( w) 0
c
1
4.4 FIR滤波器设计方法
FIR滤波器存在的必要性
日常生活中，像图像处理以及数据传输等都 要求信道具有线性相位特性 IIR数字滤波器存在明显的缺点：相位的非 线性。若要线性相位，则需采用全通网络进 行相位校正，大大增加系统的复杂度。 最感兴趣的是具有线性相位的FIR。对相位 不作特殊要求，可以用IIR实现
27
5、布拉克曼窗（Blackman）
为抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，
2n 4n w(n) 0.42 0.5 cos( ) 0.08cos( ) R N ( n) N 1 N 1
W ( w) 0.42WR ( w) 2 2 4 4 0.25WR ( w ) WR ( w ) 0.04WR ( w ) WR ( w ) N 1 N 1 N 1 N 1
3
缺点：
IIR滤波器设计法对FIR设计不适用
一、FIR滤波器最优化准则
设计FIR滤波器主要有两种最优化准则
均方误差最小准则 最大误差最小化准则
此处我们主要介绍均方误差最小准则下 的滤波器设计。
4
均方误差最小准则
误差能量最小
jw H ( e )，表示要求的频率响应， 若用 d jw 用 H (e ) 表示设计得到的滤波器频率响应，
e jw0n x(n) X (e j ( ww0 ) )
WR (e jw ) WR (w)e
W (e jw ) DTFTw(n)
N 1 2 2 j ( 2 ) w 0.5WR ( w) 0.25WR w ) e WR ( w N 1 N 1
“ ”在 N 1 时成立；此时主瓣宽度 为 8 / N ,阻带最小衰减为25db。
23
3、汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）
w(n) 1 2n 1 cos RN (n) 2 N 1
e jnw0 e jnw0 cos nw0 2
jwn
10
hd(n)是中心点在α的偶对称无限长非因果序列， 要得到有限长的h(n)，一种最简单的办法就是 w(n) RN (n) 取矩形窗RN(n)，即： 若有线性相位的约束，窗函数的选择必须保证 所截取h(n)是对称的析方便，选取 所以有：
16
显然，FIR滤波器的频率响应也是线性相位的。
FIR数字滤波器的幅度函数
1 H ( w) 2
H
d
( )WR ( w )d
17
主瓣带宽和过渡带宽的关系
18
总结:
Nw Nw sin( ) sin( ) sin x 2 2 WR ( w) N w w x sin( ) 2 2
主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即 为 12 ，此时，阻带最小衰减为74db 。
N
28
6、凯泽窗（Kaiser）
一种适应性强的窗，其窗函数的表示式为
2 2n I 0 1 1 N 1 w(n) I 0
5.44
c
最大肩峰总是8.95%，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。
19
（二）、各种常用窗函数
矩形窗截断造成肩峰为8.95%，则阻带 最小衰减为 20log10 (8.95%) 21db
这个衰减量在工程上常常是不够的。
为了加大阻带衰减，需要改善窗函数。
20
通常希望窗函数满足两项要求:
WR (e jw ) WR (w)e
j(
N 1 )w 2
w(n) 2 2 n , N 1n N 1 N 1 2
2
2n N 1 , 0 n N 1 2
2 N 1 Nw sin ( ) w j N 1 w sin( ) N 1 j( )w 2 2 4 jw 2 4 2 e W (e ) e w w N 1 N sin( ) sin( ) 2 2
8.5
是一个 可自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度 与旁瓣电平
I 0 是第一类变形零阶贝塞尔函数，
越大，则窗越尖锐，而频谱的旁瓣相对越小，
但主辩宽度也相应增加。 主瓣宽度同时也可以由窗口长度调节
29
凯泽窗性能一览表
2.120 3.384 4.538 5.658 6.764 7.865 8.960 10.056
(1)理想幅度特性不连续处边沿加宽，形成一个过 渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度 此处过渡带是指两个肩峰之间的宽度w 4 / N ， 与滤波器的真正过渡带有一些区别 滤波器的过渡带比这个数值要小 2 ww (2)在截止频率的两边 的地方出现最大的 N 肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取 决于旁瓣的相对面积 (3)改变矩形窗的长度N只能改变窗谱的主瓣宽度、 滤波器过度带宽，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。
N 1 wc sin [w c(n 2 )] h(n) π N 1 w (n ) c 2 0
0 n N 1
其他
h(n) hd (n)w(n)
12
加窗对滤波器频率响应的影响
窗函数的频率特性为：
W (e jw ) w(n)e jwn
8
二、 窗函数设计法
用有限长单位冲激响应h(n)的滤波器来 逼近理想滤波器频率响应。
H (e jw ) h(n)e jw
N 1 n 0
H d (e jw )
1 H d ( n) 2
H d (e jw )e jwn dw
h(n) hd (n)w(n)
指标是在频域提出的 设计是在时域进行的
即：
hd (n),0 n N 1 h( n) 0, 其他n
7
结论:
最小均方误差准则所要求的设计结果为矩形 窗设计法。
矩形窗设计的滤波器过渡带最窄 由于吉布斯（Gibbs）效应，窗谱的肩峰过大， 造成所设计出的滤波器:
通带起伏不均匀且过大， 阻带衰减不够小，不能满足某些工程要求。
j(
N 1 )w 2
W ( w)e
j(
N 1 )w 2
24
25
N 1 N ，窗谱的幅度函数为： 当 N 1 时，
2 2 W ( w) 0.5WR ( R) 0.25WR ( w ) WR ( w ) N N
主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍， 即为 8 / N ，但是阻带最小衰减变为 44db。
1、写出帕塞瓦尔定理 2、N点矩形窗的群延迟a=??? 3、给出hd(n) jw e wc w wc jw H d (e ) wc w , w wc 0 3、求W(ejw)
2n N 1 , 0 n N 1 2 w(n) 2 2 n , N 1n N 1 N 1 2
2 2 0.54WR ( w) 0.23WR (w ) WR ( w ), (当N 1) N N
99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，主瓣 宽度相同为 8 / N ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值 小于主瓣峰值的1%，此时阻带最小衰减为 53db 。
jw E ( e ) 表示频率响应误差，即 以
E(e jw ) H d (e jw ) H (e jw )
则均方误差为：
1 e 2
2
1 E (e ) dw 2
jw 2
H
d
(e ) H (e ) dw
jw jw
2
设计目的
选择一组 h(n) IDTFT[ H (e jw )] ，便均方误差最小。
2
FIR滤波器特点
优点：
具有严格线性相位，同时有任意的幅度特性。 单位冲激响应有限长，滤波器一定是稳定的。 总能用因果系统来实现。 可以用FFT算法来实现，提高运算效率。 取得很好的幅度衰减特性，FIR滤波器系统的 阶次比IIR滤波器高。 因为IIR滤波器是利用有理分式的系统函数， 而FIR滤波器的系统函数只是多项式
窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带; 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对面积，使肩 峰和波纹减小，增大阻带的衰减。
在滤波器阶数给定的情况下，这两项要 求往往不能同时得到满足的