七年级几何图形初步(培优篇)(Word版 含解析)
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①求∠ DHF 的度数； ②若 EB 平分∠ DEC，试说明：BE 平分∠ ABC. 【答案】 （1）证明：∵ CA 平分∠ BCE，
∴ ∠ ACB=∠ ACE. 在△ ABC 和△ EDC 中. ∵ BC＝CD，∠ ACB=∠ ACE，AC＝CE. ∴ △ ABC≌ △ EDC（SAS）.
（2）解：①在△ BCF 和△ DCG 中
∴ ∠ FEH=∠ BFE（两直线平行，内错角相等）， ∵ AB∥ CD，EH∥ AB，（辅助线的作法） ∴ EH∥ CD（平行线的迁移性）， ∴ ∠ HEG=180°-∠ CGE（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ∠ FEG=∠ HFG+∠ FEH=∠ BFE＋180°−∠ CGE ，
故答案为：∠ BFE＋180°−∠ CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平 行，同旁内角互补；∠ BFE＋180°−∠ CGE；
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．已知，
，点 E 是直线 AC 上一个动点（不与 A,C 重合），点 F 是 BC 边上一个定
点， 过点 E 作 G．
，交直线 AB 于点 D，连接 BE，过点 F 作
，交直线 AC 于点
（1）如图①，当点 E 在线段 AC 上时，求证：
．
（2）在（1）的条件下，判断
∵ BC=DC, ∠ BCD=∠ DCE,CF=CG, ∴ △ BCF≌ △ DCG（SAS）, ∴ ∠ CBF=∠ CDG. ∵ ∠ CBF+∠ BCF=∠ CDG+∠ DHF ∴ ∠ BCF=∠ DHF=60°. ②∵ EB 平分∠ DEC， ∴ ∠ DEH=∠ BEC. ∵ ∠ DHF=60°, ∴ ∠ HDE=60°-∠ DEH. ∵ ∠ BCE=60°+60°=120°,
∵ AB∥ CD， ∴ AB∥ CD∥ EH， ∴ ∠ HEF＝∠ BFE＝40°，∠ HEG＋∠ CGE＝180°， ∵ ∠ CGE＝130°， ∴ ∠ HEG＝50°， ∴ ∠ GEF＝∠ HEF＋∠ HEG＝40°＋50°＝90°； 故答案为：90°； 【分析】（1）如图 1，过 E 作 EH∥ AB，根据平行线的性质可得∠ HEF＝∠ BFE＝40 ， ∠ HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠ HEF＝∠ BFE，∠ HEG＋∠ CGE＝180°，则 ∠ HEG＝180°−∠ CGE，两式相加可得∠ GEF＝∠ BFE＋180°−∠ CGE；（3）如图 2，根据角平 分线的定义得：∠ BFQ＝ ∠ BFE，∠ CGP＝ ∠ CGE，由三角形的外角的性质得：∠ GPQ＝
这三个角的度数和是否为一个定
值？ 如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．
（3）如图②，当点 E 在线段 AC 的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成
立， 请直接写出
之间的关系．
（4）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直
接 写出
之间的关系．
【答案】 （1）解：∵ ∴
（2）拓展探究：∠ GEF，∠ BFE，∠ CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：∠ GEF=▲ . 证明：过点 E 作 EH∥ AB，
∴ ∠ FEH=∠ BFE（ ▲ ）， ∵ AB∥ CD，EH∥ AB，（辅助线的作法） ∴ EH∥ CD（ ▲ ）， ∴ ∠ HEG=180°-∠ CGE（ ▲ ）， ∴ ∠ FEG=∠ HFG+∠ FEH=▲ . （3）深入探究：如图 2，∠ BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠ CGE 的平分线相交于点 P，试探 究∠ GPQ 与∠ GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论. 【答案】 （1）90° （2）解：∠ GEF＝∠ BFE＋180°−∠ CGE， 证明：过点 E 作 EH∥ AB，
（3）解：∠ GPQ＋ ∠ GEF＝90°， 理由是：如图 2，∵ FQ 平分∠ BFE，GP 平分∠ CGE，
∴ ∠ BFQ＝ ∠ BFE，∠ CGP＝ ∠ CGE， 在△ PMF 中，∠ GPQ＝∠ GMF−∠ PFM＝∠ CGP−∠ BFQ， ∴ ∠ GPQ＋ ∠ GEF＝ ∠ CGE− ∠ BFE＋ ∠ GEF＝ ×180°＝90°. 即∠ GPQ＋ ∠ GEF＝90°. 【解析】【解答】（1）解：如图 1，过 E 作 EH∥ AB，
∵ ∴
∴
（2）解： 过点 G 作 ∴ ∵ ∴ ∴
∴
即
这三个角的度数和为一个定值，是 交 BE 于点 H
（3）解：过点 G 作 ∴ ∵ ∴ ∴
∴
即
交 BE 于点 H
故
的关系仍成立
（4）不成立| ∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180° 【解析】【解答】解：(4)过点 G 作
∴ ∠ DEC=∠ EGH ∵ ∴ ∴ ∠ HGF+∠ BFG=180° ∵ ∠ HGF=∠ EGF-∠ EGH ∴ ∠ HGF=∠ EGF-∠ DEC ∴ ∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
交 BE 于点 H
∴ （2）中的关系不成立，∠ EGF、∠ DEC、∠ BFG 之间关系为：∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
故答案为：不成立，∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出
；两条直线平行，
同位角相等，得出
，即可证明
．（2）过点 G 作
∠ GMF−∠ PFM＝∠ CGP−∠ BFQ，计算∠ GPQ＋ ∠ GEF 并结合②的结论可得结果.
3．如图（1），在△ ABC 和△ EDC 中，D 为△ ABC 边 AC 上一点，CA 平分∠ BCE，BC＝CD， AC＝CE.
（1）求证：△ ABC≌ △ EDC；
（2）如图（2），若∠ ACB＝60°，连接 BE 交 AC 于 F，G 为边 CE 上一点，满足 CG＝CF， 连接 DG 交 BE 于 H.
交 BE 于 点 H ， 根 据 平 行 线 性 质 定 理 ，
，
，即可得到答案．（3）过点 G 作
源自文库
交 BE 于点 H，得到
，因为
，所以
，得到
，
即可求解．（4）过点 G 作
交 BE 于点 H，得∠ DEC=∠ EGH，因为
，推得∠ HGF+∠ BFG=180°，即可求解．
，所以
2． （1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥ CD，若∠ BFE=40°， ∠ CGE=130°，则∠ GEF 的度数为________；
∴ ∠ ACB=∠ ACE. 在△ ABC 和△ EDC 中. ∵ BC＝CD，∠ ACB=∠ ACE，AC＝CE. ∴ △ ABC≌ △ EDC（SAS）.
（2）解：①在△ BCF 和△ DCG 中
∴ ∠ FEH=∠ BFE（两直线平行，内错角相等）， ∵ AB∥ CD，EH∥ AB，（辅助线的作法） ∴ EH∥ CD（平行线的迁移性）， ∴ ∠ HEG=180°-∠ CGE（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ ∠ FEG=∠ HFG+∠ FEH=∠ BFE＋180°−∠ CGE ，
故答案为：∠ BFE＋180°−∠ CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平 行，同旁内角互补；∠ BFE＋180°−∠ CGE；
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．已知，
，点 E 是直线 AC 上一个动点（不与 A,C 重合），点 F 是 BC 边上一个定
点， 过点 E 作 G．
，交直线 AB 于点 D，连接 BE，过点 F 作
，交直线 AC 于点
（1）如图①，当点 E 在线段 AC 上时，求证：
．
（2）在（1）的条件下，判断
∵ BC=DC, ∠ BCD=∠ DCE,CF=CG, ∴ △ BCF≌ △ DCG（SAS）, ∴ ∠ CBF=∠ CDG. ∵ ∠ CBF+∠ BCF=∠ CDG+∠ DHF ∴ ∠ BCF=∠ DHF=60°. ②∵ EB 平分∠ DEC， ∴ ∠ DEH=∠ BEC. ∵ ∠ DHF=60°, ∴ ∠ HDE=60°-∠ DEH. ∵ ∠ BCE=60°+60°=120°,
∵ AB∥ CD， ∴ AB∥ CD∥ EH， ∴ ∠ HEF＝∠ BFE＝40°，∠ HEG＋∠ CGE＝180°， ∵ ∠ CGE＝130°， ∴ ∠ HEG＝50°， ∴ ∠ GEF＝∠ HEF＋∠ HEG＝40°＋50°＝90°； 故答案为：90°； 【分析】（1）如图 1，过 E 作 EH∥ AB，根据平行线的性质可得∠ HEF＝∠ BFE＝40 ， ∠ HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠ HEF＝∠ BFE，∠ HEG＋∠ CGE＝180°，则 ∠ HEG＝180°−∠ CGE，两式相加可得∠ GEF＝∠ BFE＋180°−∠ CGE；（3）如图 2，根据角平 分线的定义得：∠ BFQ＝ ∠ BFE，∠ CGP＝ ∠ CGE，由三角形的外角的性质得：∠ GPQ＝
这三个角的度数和是否为一个定
值？ 如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．
（3）如图②，当点 E 在线段 AC 的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成
立， 请直接写出
之间的关系．
（4）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直
接 写出
之间的关系．
【答案】 （1）解：∵ ∴
（2）拓展探究：∠ GEF，∠ BFE，∠ CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； 答：∠ GEF=▲ . 证明：过点 E 作 EH∥ AB，
∴ ∠ FEH=∠ BFE（ ▲ ）， ∵ AB∥ CD，EH∥ AB，（辅助线的作法） ∴ EH∥ CD（ ▲ ）， ∴ ∠ HEG=180°-∠ CGE（ ▲ ）， ∴ ∠ FEG=∠ HFG+∠ FEH=▲ . （3）深入探究：如图 2，∠ BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠ CGE 的平分线相交于点 P，试探 究∠ GPQ 与∠ GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论. 【答案】 （1）90° （2）解：∠ GEF＝∠ BFE＋180°−∠ CGE， 证明：过点 E 作 EH∥ AB，
（3）解：∠ GPQ＋ ∠ GEF＝90°， 理由是：如图 2，∵ FQ 平分∠ BFE，GP 平分∠ CGE，
∴ ∠ BFQ＝ ∠ BFE，∠ CGP＝ ∠ CGE， 在△ PMF 中，∠ GPQ＝∠ GMF−∠ PFM＝∠ CGP−∠ BFQ， ∴ ∠ GPQ＋ ∠ GEF＝ ∠ CGE− ∠ BFE＋ ∠ GEF＝ ×180°＝90°. 即∠ GPQ＋ ∠ GEF＝90°. 【解析】【解答】（1）解：如图 1，过 E 作 EH∥ AB，
∵ ∴
∴
（2）解： 过点 G 作 ∴ ∵ ∴ ∴
∴
即
这三个角的度数和为一个定值，是 交 BE 于点 H
（3）解：过点 G 作 ∴ ∵ ∴ ∴
∴
即
交 BE 于点 H
故
的关系仍成立
（4）不成立| ∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180° 【解析】【解答】解：(4)过点 G 作
∴ ∠ DEC=∠ EGH ∵ ∴ ∴ ∠ HGF+∠ BFG=180° ∵ ∠ HGF=∠ EGF-∠ EGH ∴ ∠ HGF=∠ EGF-∠ DEC ∴ ∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
交 BE 于点 H
∴ （2）中的关系不成立，∠ EGF、∠ DEC、∠ BFG 之间关系为：∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
故答案为：不成立，∠ EGF-∠ DEC+∠ BFG=180°
【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出
；两条直线平行，
同位角相等，得出
，即可证明
．（2）过点 G 作
∠ GMF−∠ PFM＝∠ CGP−∠ BFQ，计算∠ GPQ＋ ∠ GEF 并结合②的结论可得结果.
3．如图（1），在△ ABC 和△ EDC 中，D 为△ ABC 边 AC 上一点，CA 平分∠ BCE，BC＝CD， AC＝CE.
（1）求证：△ ABC≌ △ EDC；
（2）如图（2），若∠ ACB＝60°，连接 BE 交 AC 于 F，G 为边 CE 上一点，满足 CG＝CF， 连接 DG 交 BE 于 H.
交 BE 于 点 H ， 根 据 平 行 线 性 质 定 理 ，
，
，即可得到答案．（3）过点 G 作
源自文库
交 BE 于点 H，得到
，因为
，所以
，得到
，
即可求解．（4）过点 G 作
交 BE 于点 H，得∠ DEC=∠ EGH，因为
，推得∠ HGF+∠ BFG=180°，即可求解．
，所以
2． （1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥ CD，若∠ BFE=40°， ∠ CGE=130°，则∠ GEF 的度数为________；