第一章 数值计算基本概念

（03）
对于不可压缩流体， 。
ii.
守恒形式： （04）
左边：运动量的增加速度
右边：单位体积内对流引起的动量变化、压力差作的功、粘性引起的动量变化、外力
应用连续性方程，生成：
非守恒形式： （05）
为控制体积受到的加速度。对于Newton流体，x方向速度在y方向的变化
（06）
（07）
（08）
（09）
（010）
4.
由于求解的方程都是守恒方程，数值结果也应是守恒的。这不仅要保证局部的守恒，也要保证总体的守恒。使用有限体积法或基于严格的守恒形式进行的离散，则可保证每个控制体的守恒。其它离散方法则要充分注意守恒问题。
守恒问题在求解方法中是非常重要的特性。非守恒方法会导致人工源（阱）的产生。但非守恒方法有时（如采用极小的网格）能保证相容性和稳定性，而产生正确的解。但一般因采用粗的网格，故建议使用守恒形式。
非稳态流动问题：使用求解初值问题的方法（marching in time时间步进）,在每一个时间点上，求解一个椭圆问题。
稳态流动问题：
准时间步进（pseudo-time marching）法
等效迭代方法
由于方程是非线性的，通常需要迭代。这些方法对方程使用逐次线性化，产生的线性系统几乎都是采用迭代技术来求解。
5.
对于特别复杂的情况，如湍流、燃烧、多相流动，要考虑能保证求得物理上现实的解。这不一定是数值的问题，可能是模型的问题，是否能真正的描述物理现象。模型的问题也可能导致非物理的解或是数值方法发散。
6.
误差分为：
模型误差
离散误差
收敛误差
1.8.9
1.
i.
（02）
单位体积的质量流束的散度净量为内部密度的增加速度。用全导数表示：
对每个节点值的积分残差为零，求出离散方程；
整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式（刚度矩阵）。
特点：有限单元法通常适用于不规则的求解区域。
提示：网格、积分方程、分布函数、权重函数、积分残差为零、刚度矩阵
iv.
v.
vi.
不同的方法影响精度，求解问题的难度，编程和调试的难度，计算的速度。精度越高，涉及的网点就越多，系数矩阵就越大，需要的内存就越高，由此不得不使用粗网格，结果反而影响精度。目前一般二阶精度为最佳选择。
迭代方法：计算不发散
稳定性很难判断，最常用的方法为von Neumann方法。但是，在求解复杂的非线性的耦合方程的，并具有复杂边界条件的方法往往是很难得到稳定的结果，而需要经验和本能。许多求解方法需要限制时间步长，和采用低松弛。
3.
收敛性
当网格跨度趋近于零时，离散差分方程的解接近微分方程的解。
收敛与稳定同样很难判断，往往采用数值实验：逐步精化网格，如方法是稳定而且收敛的，则结果将收敛到一个与网格大小无关的解。
空泡率，滑速比，均匀流、2流体模型，结构方程，相间输运，状态方程、多相流动，拉格朗日坐标系
5.
具有明显连续移动界面问题。
自由表面，表面张力，网格系统和移动的耦合，适体网格，波，数值波
Eular法、VOF法〔Volume of Fluid），有限元法
6.
详细解释微小尺度上的流动问题。
粒子模型，分子模型，大涡法，格子模型
Non-orthogonal coordinate system非正交坐标系统
移动的或静止的
选择的方法依赖与目标流动。可能会影响离散方法和网格类型的选择。
也可以根据矢量或张量表达的需要，选择坐标系。
1.8.4
i.
ii.
iii.
iv.
v.
计算节点（computational node, FDM）
节点（FVM）
特点：适用任何形状的网格，可用复杂几何形状
与坐标类型无关
提示：网格、积分方程、分布曲线、表面和体积分、代数方程
iii.
选择函数和权重函数。
将区域离散成有限个体积或单元（element），2D时通常为三角型或多边型；
选择每个单元解的近似函数形式（例如：线性形状函数），与单元角上的值相关；积分权重
选择积分方程的权重函数；
提示：非线性方程系统、求解方法、问题本身、非稳态、稳态
1.8.7
内迭代：求解线性方程
外迭代：处理非线性项，和使方程耦合。
何时停止某个迭代从精度和效率来说都是非常重要的。
1.8.8
提示
1.
当网格跨度趋近于零时，离散差分方程接近微分方程。截断误差逐渐为零。
2.
任何误差不会放大。
暂态问题：只要真正解有解，数值解也有界。
（017）
q用Fourier公式：
（018）
对牛顿流体而言为粘性系数和耗散系数的积，耗散系数为：
（019）
高速气体流动时膨胀效果变的重要时、产生很大的速度梯度情况下，需考虑此0项。一般不考虑。
能量方程的特殊形式：
理想气体
（020）
压力一定，密度一定 （连续性方程）
（021）
焓的表示（ ）
（022）
热传导方程
CFD包括面很广泛，从采用良好的工程设计方法，到详细求解Navier-Stokes方程；从简单流动到非常复杂的流动。简单的可能在几秒时间内就能完成，复杂的需要在最大的超级计算机上用几百个小时才能完成。
完美的CFD应满足以下条件：
适用任何问题
计算速度快
能得到精度高且可信度高的结果
程序简单，谁都能简单使用
1.
压力差主导的流动问题。
涡流法、MAC法、拟压缩法、SIMPLE方法，有限元、边界元法。。。
2.
密度波主导的流动问题。速度主导。
势方程，微小扰动的势方程，波动问题，超音速流动问题，冲击波问题
TVD方法，有限元方法
3.
湍流主导问题。
湍流模型：
0方程1方程模型，k-方程，壁面函数法
4.
多界面和局部平均化问题。燃烧、稀薄流、多相流、电磁流体问题。
2.
偏微分方程组或积分方程组及边界条件。必须选择应用的目标：
不可压缩可压缩
非粘性的粘性
湍流层流
2维或3维
单相多相
。。。
由此可以选择不同的简化守恒方程。
1.8.2
i.
使用网络节点，选择微分的近似方法。
将区域离散成有限个网格，通常为结构化网格；
选择方程各项的差分形式（Taylor展开）；
对每个节点建立差分方程；
数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化过程。即对支配方程式进行积分求解。实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。
图示：离散化、控制方程、压力，速度，温度
1.8
关键词：数学模型、方程离散化方法、坐标、空间离散、网络、求解方法、收敛准则
1.8.1
1.
基本偏微分方程的形式:（2D）提醒：微分形式和积分形式
细网格：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
粗区域：I II III IV
iii.
主要用于有限体积法和有限单元法内
格子(控制体积或单元)形状任意
相邻节点数无限制
常用格式形状有：2D：三角形、多边型；3D：蜂窝等，通常格子的生成有专门的格子生成方式(grid generation)
1.8.6
离散化产生一个大的非线性代数方程系统。求解方法取决于问题本身。
（01）
提醒：空间:x, y时间—空间：t,x; t,x,y
对于求解域内的任一点(xo, yo)
双曲型方程: ,过该点有两条实的特征线
如当ac<0异号， ，波动方程
抛物型方程: ,过该点有一条实的特征线
如当ac=0， ，非稳态导热
椭圆型方程: ,过该点无实的特征线
如当ac>0同号， ，稳态导热
i.
相当于平衡问题或稳态问题。影响区域是椭圆的。与时间无关。空间的闭区域。又称为边值问题。
求解特征：从已知的初值开始，逐步推进，依存获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，可节约容量。
物理意义：分布与瞬时以前的情况和边界条件相关。（时间步进）
下游的分布仅与上游的变化相关（主流步进）x
iii.
也是步进问题。但依赖区域仅在两条特征区域之间。
例如：无粘性流体的非稳态问题；无粘性流体的稳态超音速流动。
整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式。
提示：网格、微分方程、差分形式、差分方程、代数方程
ii.
使用控制体积，选择表面和体积积分的近似方法。
将区域离散成有限个控制体积，适用任何形状的网格；
选择未知函数对时间和空间的局部分布曲线（线性或曲线分布）；
对每个CV进行空间（表面、体积）和时间的积分；
整理出关于节点上未知数的代数方程式。
vi.
vii.
1.8.5
i.
网格线：自己不交，以其它线只交一次。
节点可用一组坐标下标唯一表示，例（i,j,k）
相邻节点坐标用1表示
优点：使用广泛
缺点：只适合几何简单的计算区域
ii.
在同一个计算区域上有两种或以上不同标准的网格划分。通常使用的有粗网格、精细网格的
粗区域可以是不规则，可以重叠
细网格为结构化网格
（023）
2.
通常有将包含连续方程和能量方程的守恒方程式的矢量形式全体统称为Euler（无粘性）或Navier-Stokes Equation的。
i.
（024）
（025）
（026）
（027）
:第二粘性系数,:粘性系数:体积粘性系数
（028）
Stokes假定: （029）
上式为可压缩流体的NS方程式的积分系形式。不计粘性时为Euler方程式。