D3.2(1)二重积分的计算
二重积分的计算法
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
I=
x ( y) f ( x , y)dx x ( y )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I=
y ( x) f ( x, y)dy y ( x )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x)
axb
y
d y
x1 (y)
c
cyd
z
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y) d I = c Q( y)dy
x
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
0
c
Q( y) x=(y)
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
D
x y2 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点
y
y x2
x (1,1)
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
二重积分的计算方法与应用
二重积分的计算方法与应用二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面区域上的某一函数在该区域上的总体积量。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法与应用。
首先，我们将讨论二重积分的基本概念和计算方法。
假设有一个平面区域D，可以用一个闭合曲线C来描述。
我们将函数f(x, y)定义在区域D内的每一个点上，并且假设f(x, y)在D上连续。
那么在D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA表示面积元素，其大小等于dxdy。
要计算二重积分，我们可以将区域D划分成许多小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行加权求和。
通常可以使用二重积分的累次积分形式来计算，可以按顺序进行x方向的积分，然后再进行y方向的积分。
在具体计算二重积分时，可以根据问题的特点选择不同的计算方法。
下面介绍常见的二重积分计算方法：1. 矩形坐标系下的二重积分：在矩形坐标系下，将区域D投影到xy平面上，可以得到一个矩形R。
这时，二重积分可以转化为对两个变量的累次积分，其中外层积分表示对x的积分，内层积分表示对y的积分。
通过对x和y的积分限进行适当选择，可以将二重积分转化为两个定积分的计算。
2. 极坐标系下的二重积分：在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分计算可以更加简洁。
通过将区域D在极坐标系下的表示，可以将二重积分转化为对极坐标下的两个变量的累次积分。
在计算时，可以通过选择适当的极坐标系下的积分限来简化计算过程。
3. 对称性的利用：在某些问题中，可以利用区域D的对称性简化二重积分的计算。
通过观察函数f(x, y)的对称性，可以改变积分限或者变量的顺序，从而简化计算的过程。
接下来，我们将讨论二重积分在实际问题中的应用。
1. 面积与质量：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
将函数f(x, y)设为1，即可得到区域D的面积。
此外，如果区域D上的密度函数为ρ(x, y)，那么通过计算二重积分∬D ρ(x, y) dA，可以得到区域D的质量。
文档：二重积分的计算
1、试将二重积分(),Df x y d σ⎰⎰化为两种不同的二次积分,其中区域D 分别为：1） 由直线,3y x x ==及双曲线1xy =所围成的区域。
()()311,,xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰()()()13331113,,,yyDf x y d dy f x y dx dy f x y dx σ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2） 环形闭区域：2214x y ≤+≤()()()1121,,,Df x y d dx f x y dy dx f x y dy σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dx f x y dy dx f x y dy -+++⎰⎰()()()1121,,,Df x y d dy f x y dx dy f x y dx σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dy f x y dx dy f x y dx -+++⎰⎰()()221,cos ,cos Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰2、改变下列二次积分的次序 1）()10,y dy f x y dx =⎰()210,xx dx f x y dy ⎰⎰。
2）()ln 10,exdx f x y dy =⎰⎰()1,y ee dyf x y dx⎰⎰。
3）()()1233001,,yy dy f x y dx dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()2302,xxdx f x y dy -⎰⎰。
3、画出积分区域，并计算二重积分 1）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域。
解：原式01111101x x x y x y x x dx e dy dx e dy +-+++----=+⎰⎰⎰⎰()()01211211x x e e dx e e dx +---=-+-⎰⎰121121101122x x e e x ex e +---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11131112222e e e e e e e--=-+-+=- 2）计算()⎰⎰-Dd y x σ22，其中D 是由不等式π≤≤≤≤x x y 0,sin 0围成的闭区域。
《二重积分的计算》课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之 一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定 义。
为什么需要学习二重积 分？
探究二重积分在数学和物理领 域的应用。
二重积分和单重积分有 什么不同？
比较二者之间的异同，并解释 二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本 质特征。
性质
总结二重积分的性质，包 括可加性、线性性和积分 换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积 分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的 方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分 式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可 以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个 计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分 式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算 出空间曲面的体积。
二重积分基本公式表
二重积分基本公式表
以下是二重积分的基本公式表：
1. 矩形区域上的常数函数:
∬_R c dA = c ×面积(R)
2. F(x, y) = 1 的情况:
∬_R dA = 面积(R)
3. F(x, y) = x 的情况:
∬_R x dA = x ×面积(R)
4. F(x, y) = y 的情况:
∬_R y dA = y ×面积(R)
5. 直角坐标系下一般函数 F(x, y) 的情况:
∬_R F(x, y) dA
6. 在极坐标系下的基本公式:
∬_D F(r, θ) r dr dθ
7. 边界为曲线的情况:
∬_D F(x, y) dA = ∫[a, b] ∫[c(x), d(x)] F(x, y) dy dx
8. 极坐标系下边界为曲线的情况:
∬_D F(r, θ) r dr dθ = ∫[α, β] ∫[r1(θ), r2(θ)] F(r, θ) r dr dθ
这些基本公式涵盖了二重积分的一些常见情况。
根据具体的函数和区域形状，可以使用这些公式进行二重积分的计算。
需要注意的是，具体的计算过程可能需要根据问题的具体要求进行适当的变量变换或分解，以便于求解。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。
为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。
本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。
它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。
一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。
对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。
二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。
一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。
对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。
特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。
对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
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1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
例 7 计算 y x 2 dxdy ，其中 D {( x , y ) 1 x 1,
2
1
x
D
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
1 2 2
例5
求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以(0,0), (1,1),
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
从而
y
2
y x
D
D1
dxdy
2
1
y x dxdy y x dxdy
2 D2
D1
y x2
D2
1
1
O
x
dx
1 1
1 2
1 x2
y x 2 dy
1
1 1
dx
x2 0
x 2 y dy
2 x2
1 y y 2 2 x y dx x y dx 1 1 2 0 2 x2
1 2 4 x x dx 1 2 11 . 15
1
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y )d dx
b a D
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy. ［X－型］
D
f ( x , y )d dy
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e
1 0
y
2
1 2 y3 y2 2 1 y dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
例 6 计算积分 I dy e dx dy e dx .
y 1 y
2a
D 例 4 求 ( x y )dxdy ，其中 是由抛物线
2
y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
D
x y2
解
两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
y x2
( x y )dxdy dx 2 ( x 2 y )dy 0 x
D3
D1
D2
D
.
D1 D2 D3
例1改Biblioteka 积分 dx 1 01 x
0
f ( x , y )dy 的次序.
解 积分区域如图
y 1 x
原式 dy
1 0
1 y
0
f ( x , y )dx .
例2
改变积分
2 x x2
0 dx 0
1
f ( x , y )dy 1 dx 0
2
2 x
f ( x , y )dy 的次序.
解 积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式 0 dy 1
1
2 y 1 y
2
f ( x , y )dx .
例 3 改变积分 0 dx 的次序.
2a
2 ax 2 ax x 2
f ( x , y )dy (a 0)
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b, ［X－型］
y 2 ( x )
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.
d d
x 1 ( y )
D
x 2 ( y )
x 1 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d
D
d
c
dy
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
a
x
f ( x , y ) dy
b a
b
y 1 ( x)
f ( x, y )d
A( x ) dx
2 ( x ) 1 ( x )
b
a
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy dx
dx
a
f ( x , y )dy
如果积分区域为： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ). ［Y－型］
D
0 y 1}.
解 被积函数中含有绝对值，需去掉绝对值符号才 能积分．又因为
y x2 , 2 y x 2 x y, y x2 , y x2 .
曲线 y x 2 将 D 分成两部分，即
D1 {( x , y ) 1 x 1, x 2 y 1}, D2 {( x , y ) 1 x 1, 0 y x 2 }.
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶的柱体的体积．
z
应用计算“平行截面面积 为已知的立体求体积”的 y 方法,
z f ( x, y)
A( x )
x
b
得:
A( x )
D
y 2 ( x)
2 ( x ) 1 ( x )
d c
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx［Y－型］ .
（在积分中要正确选择积分次序）
作业
P131 A组 1 (4); 2 (1), (3); 4 (2), (4)