D3.2(1)二重积分的计算

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二重积分的计算法

D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
I=
x ( y) f ( x , y)dx x ( y )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I=
y ( x) f ( x, y)dy y ( x )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x)
axb
y
d y
x1 (y)
c
cyd
z
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y) d I = c Q( y)dy
x
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
0
c
Q( y) x=(y)
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
D
x y2 所围平面闭区域. 解两曲线的交点
y
y x2
x (1,1)

二重积分通俗理解

二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。

它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。

1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。

对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。

二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。

对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。

然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。

将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。

当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。

用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。

对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。

其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。

则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。

三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。

对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。

二重积分的计算方法与应用

二重积分的计算方法与应用二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面区域上的某一函数在该区域上的总体积量。

在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法与应用。

首先，我们将讨论二重积分的基本概念和计算方法。

假设有一个平面区域D，可以用一个闭合曲线C来描述。

我们将函数f(x, y)定义在区域D内的每一个点上，并且假设f(x, y)在D上连续。

那么在D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dA其中，dA表示面积元素，其大小等于dxdy。

要计算二重积分，我们可以将区域D划分成许多小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行加权求和。

通常可以使用二重积分的累次积分形式来计算，可以按顺序进行x方向的积分，然后再进行y方向的积分。

在具体计算二重积分时，可以根据问题的特点选择不同的计算方法。

下面介绍常见的二重积分计算方法：1. 矩形坐标系下的二重积分：在矩形坐标系下，将区域D投影到xy平面上，可以得到一个矩形R。

这时，二重积分可以转化为对两个变量的累次积分，其中外层积分表示对x的积分，内层积分表示对y的积分。

通过对x和y的积分限进行适当选择，可以将二重积分转化为两个定积分的计算。

2. 极坐标系下的二重积分：在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分计算可以更加简洁。

通过将区域D在极坐标系下的表示，可以将二重积分转化为对极坐标下的两个变量的累次积分。

在计算时，可以通过选择适当的极坐标系下的积分限来简化计算过程。

3. 对称性的利用：在某些问题中，可以利用区域D的对称性简化二重积分的计算。

通过观察函数f(x, y)的对称性，可以改变积分限或者变量的顺序，从而简化计算的过程。

接下来，我们将讨论二重积分在实际问题中的应用。

1. 面积与质量：二重积分可以用来计算平面区域的面积。

将函数f(x, y)设为1，即可得到区域D的面积。

此外，如果区域D上的密度函数为ρ(x, y)，那么通过计算二重积分∬D ρ(x, y) dA，可以得到区域D的质量。

文档：二重积分的计算

1、试将二重积分(),Df x y d σ⎰⎰化为两种不同的二次积分,其中区域D 分别为：1）由直线,3y x x ==及双曲线1xy =所围成的区域。

()()311,,xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰()()()13331113,,,yyDf x y d dy f x y dx dy f x y dx σ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2）环形闭区域：2214x y ≤+≤()()()1121,,,Df x y d dx f x y dy dx f x y dy σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dx f x y dy dx f x y dy -+++⎰⎰()()()1121,,,Df x y d dy f x y dx dy f x y dx σ---=+⎰⎰⎰⎰⎰()()1211,,dy f x y dx dy f x y dx -+++⎰⎰()()221,cos ,cos Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰2、改变下列二次积分的次序 1）()10,y dy f x y dx =⎰()210,xx dx f x y dy ⎰⎰。

2）()ln 10,exdx f x y dy =⎰⎰()1,y ee dyf x y dx⎰⎰。

3）()()1233001,,yy dy f x y dx dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()2302,xxdx f x y dy -⎰⎰。

3、画出积分区域，并计算二重积分 1）x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由1x y +≤所确定的闭区域。

解：原式01111101x x x y x y x x dx e dy dx e dy +-+++----=+⎰⎰⎰⎰()()01211211x x e e dx e e dx +---=-+-⎰⎰121121101122x x e e x ex e +---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11131112222e e e e e e e--=-+-+=- 2）计算()⎰⎰-Dd y x σ22，其中D 是由不等式π≤≤≤≤x x y 0,sin 0围成的闭区域。

《二重积分的计算》课件

《二重积分的计算》PPT 课件
数学是一门追求完美和精度的学科。二重积分是数学中非常重要的知识点之一。
问题引入
什么是二重积分？
介绍二重积分的基本概念和定义。
为什么需要学习二重积分？
探究二重积分在数学和物理领域的应用。
二重积分和单重积分有什么不同？
比较二者之间的异同，并解释二重积分的意义。
二重积分的概念
定义
探究二重积分的定义和本质特征。
性质
总结二重积分的性质，包括可加性、线性性和积分换元公式。
图形解释
通过几何图形展示二重积分的本质和计算过程。
二重积分的计算方法
1
直角坐标系
介绍利用直角坐标系计算二重积分的步骤和方法。
2
极坐标系
介绍利用极坐标系计算二重积分的步骤和方法。
3
坐标系转换
将直角坐标系和极坐标系进行转换，让计算更加灵活和简便。
利用直角坐标系计算二重积分
基本思路
介绍利用矩形区域逐个计算的方法和注意事项。
计算公式
列出矩形区域以及对应的积分式，进行逐步计算。
曲线分割
对于曲线较为复杂的曲面，可以对其进行曲线分割求积分。
利用极坐标系计算二重积分
1 基本思路
2 计算公式
总结和展望
总结
总结二重积分的基本概念、计算方法和应用，强化学习效果。
展望
介绍在三维坐标系中，如何推广二重积分，探究其更加广泛的应用场景。
介绍利用极坐标系逐个计算的方法和注意事项。
列出极坐标系下的积分式，进行逐步计算。
3பைடு நூலகம்极坐标系下的体积
计算
通过利用极坐标系计算出空间曲面的体积。

二重积分基本公式表

二重积分基本公式表
以下是二重积分的基本公式表：
1. 矩形区域上的常数函数:
∬_R c dA = c ×面积(R)
2. F(x, y) = 1 的情况:
∬_R dA = 面积(R)
3. F(x, y) = x 的情况:
∬_R x dA = x ×面积(R)
4. F(x, y) = y 的情况:
∬_R y dA = y ×面积(R)
5. 直角坐标系下一般函数 F(x, y) 的情况:
∬_R F(x, y) dA
6. 在极坐标系下的基本公式:
∬_D F(r, θ) r dr dθ
7. 边界为曲线的情况:
∬_D F(x, y) dA = ∫[a, b] ∫[c(x), d(x)] F(x, y) dy dx
8. 极坐标系下边界为曲线的情况:
∬_D F(r, θ) r dr dθ = ∫[α, β] ∫[r1(θ), r2(θ)] F(r, θ) r dr dθ
这些基本公式涵盖了二重积分的一些常见情况。

根据具体的函数和区域形状，可以使用这些公式进行二重积分的计算。

需要注意的是，具体的计算过程可能需要根据问题的具体要求进行适当的变量变换或分解，以便于求解。

二重积分的概念和计算方法

二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。

为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。

本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。

一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。

它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。

一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。

对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。

二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。

二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。

一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。

对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。

通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。

2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。

特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。

对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。

通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。

3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。

二重积分的计算公式

二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。

在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。

本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。

一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。

设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。

则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。

2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。

换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。

设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。

二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。

例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。

2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。

例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。

计算二重积分的步骤

计算二重积分的步骤二重积分是高等数学中的一种重要工具，广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域。

在我们计算二重积分时，需要掌握以下基本步骤。

1. 确定被积函数和积分区域二重积分需要确定被积函数f(x,y)和积分区域D，其中D可以是平面上的任何一块区域，包括矩形、三角形、梯形等。

我们需要首先明确被积函数以及积分区域的具体形式，以便做出后续的计算安排。

2. 划分区域并确定积分方向一般来说，我们会将积分区域D划分成若干个小区域，并依次对每个小区域进行计算。

此时需要注意积分区域的方向，一般可以选择沿x轴或y轴方向进行积分，确定好积分方向后，我们就可以将积分区域划分成若干个小矩形或小三角形等。

3. 求出微元面积或微元体积在进行二重积分计算之前，需要先求出微元面积或微元体积。

对于二重积分来说，微元面积往往等于小区域在x和y方向上的微小偏移量dx和dy的乘积。

4. 建立积分式并展开计算当确定好微元面积或微元体积后，就可以开始建立积分式，并依次对每个小区域进行计算。

此时我们需要将被积函数f(x,y)乘以微元面积或微元体积，然后将其累加求和即可。

因为每个小区域的被积函数可能不同，所以需要分别对每个小区域进行计算。

5. 对积分结果进行验证当计算出二重积分的结果后，我们需要对其进行验证，以确保计算结果的准确性。

一般来说，我们可以对积分结果进行图形分析、数值计算等验证方法，以确定计算过程的正确性。

6. 总结和应用最后，我们需要对计算过程进行总结，掌握二重积分的基本方法和技巧，并在实际问题中灵活应用，以便更好地解决实际问题。

二重积分不仅能够深入理解物理学和经济学等领域的现象，也为我们提供了实现科学和技术目标的基本工具。

二重积分的数值计算和算法设计

二重积分的数值计算和算法设计二重积分是高等数学中重要的概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用，比如物理学、金融学、统计学等一、什么是二重积分二重积分是在二维平面上求一个平面区域上的函数值的平均值，可以用于求面积、质心、惯性矩等.当被积函数 $f(x,y)$ 连续时，二重积分的计算公式为$$\iint_D f(x,y) \, \mathrm{d}A$$其中 $D$ 是平面上的一个有限闭区域，$\mathrm{d}A$ 是面积元。

二、二重积分的数值计算在很多情况下，二重积分很难通过解析的方式求解，这时我们需要使用数值计算的方式。

常用的数值计算算法有：矩形法、梯形法、辛普森法。

这些方法可以将二重积分变成多维积分，进一步转化为求解一维积分的问题，例如：矩形法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小矩形，然后把每个小矩形看作一面积元，对每个小矩形做一个面积公式，这样就相当于把二重积分转化为多个一重积分之和，然后再把它们相加即可得到原二重积分的近似值。

梯形法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小梯形，对每个小梯形做一个面积公式，这样就相当于把二重积分转化为多个一重积分之和，然后再把它们相加即可得到原二重积分的近似值.辛普森法的基本思想是将区域 $D$ 划分为若干个小梯形，不同于梯形法，辛普森法对每两个相邻的小梯形做一个简单二次函数的插值，然后将相邻两个小梯形和所在高度的三个位置计算一次牛顿-莱布尼茨公式，即可得到原二重积分的近似值。

当然，这些数值计算的方法都只是近似值，真实的二重积分值只有在精度趋于无穷时才能得到。

三、算法设计在实际应用中，需要根据具体问题的特点来选择合适的数值计算算法，并根据实际的输入数据的复杂度来选择合适的数据结构和算法。

例如，在求解面积的时候，我们可以先对平面区域进行参数化，然后使用梯形法或辛普森法进行计算；在求解质心时，我们需要用到面积元上的重心，可以通过参数方程和矩形法进行计算。

二重积分求法

二重积分求法一、什么是二重积分二重积分是微积分中的重要概念之一，它可以理解为对一个二元函数在一个有限区域上的积分运算。

与一元积分不同的是，二重积分在平面上对函数进行积分，求解的结果是一个数值。

二重积分的求解方法有多种，我们将在接下来的内容中逐一介绍。

二、重要概念在讨论二重积分求法之前，先来了解一些与二重积分相关的重要概念。

1. 积分区域积分区域是指在平面上确定的一个有限区域，通常用符号D表示。

在二重积分中，我们对函数在积分区域D上进行积分。

2. 二元函数二元函数是指依赖于两个变量的函数，通常用z=f(x,y)表示。

在二重积分中，我们对这样的二元函数进行积分。

3. 二重积分的累次积分将二重积分转化为累次积分是求解二重积分的常用方法之一。

通过将二重积分的积分区域分割成若干个小区域，可以将二重积分转化为两个一重积分的累次积分。

三、二重积分的求解方法接下来，我们将逐一介绍几种常用的二重积分求解方法。

1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过积分区域的类型来选择相应的计算方法。

(1) 面积型积分当积分区域D为矩形、长方形或平行四边形等面积型区域时，可以直接根据区域的几何性质求解面积。

(2) 变限积分当积分区域D为由直线、抛物线、圆等曲线围成的区域时，可以通过变限积分求解。

变限积分的本质是将积分区域D分割成多个小区域，分别计算每个小区域上的积分再相加。

2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，直角坐标系下的二重积分计算较为繁琐，这时可以通过转换到极坐标系下进行计算。

转换到极坐标系后，二重积分的计算变得更加简单，特别适用于对称性较强的函数。

3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要定理之一，它将积分与导数联系起来。

对于二元函数f(x,y)，如果存在它的原函数F(x,y)，则可以通过牛顿-莱布尼茨公式直接求解二重积分，即将二重积分转化为一重积分。

四、二重积分的应用二重积分作为微积分的重要工具，在各个领域都有广泛的应用。

简述二重积分的计算步骤

简述二重积分的计算步骤二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面区域上某一函数的总体积或总面积。

二重积分的计算步骤可以概括为以下几个步骤。

1. 确定积分区域：需要确定积分的区域，也就是要计算的平面区域。

这个区域可以是一个矩形、三角形、圆形，或者由多个不规则曲线围成的区域。

2. 设定积分顺序：在确定积分区域后，需要决定积分的顺序。

根据具体情况，可以选择先积分x，后积分y，或者先积分y，后积分x。

这个顺序的选择通常是根据被积函数的形式和积分区域的形状来决定的。

3. 设置积分限：根据积分区域的形状，设置积分的上下限。

如果积分区域是一个矩形，那么上下限就是矩形的边界值；如果积分区域是一个三角形，那么上下限就是三角形的边界值；如果积分区域是由多个不规则曲线围成的，那么上下限就是这些曲线的交点。

4. 设定被积函数：根据具体问题，将要计算的函数作为被积函数。

被积函数可以是常数函数、多项式函数、三角函数等，根据问题的具体要求来确定。

5. 进行积分运算：根据设定的积分顺序和积分限，将被积函数代入积分式中进行积分运算。

根据不同的积分顺序，可以将二重积分化为两个单重积分的运算，或者直接使用二重积分的运算公式进行计算。

6. 求解结果：完成积分运算后，得到的结果即为二重积分的结果。

根据具体问题，可以是一个数值或者一个函数表达式。

需要注意的是，在进行二重积分计算时，要注意积分区域的边界条件、积分顺序的选择以及被积函数的合理设定。

此外，对于复杂的积分问题，可能需要使用数值计算方法或者利用计算机软件进行计算。

二重积分的计算步骤包括确定积分区域、设定积分顺序、设置积分限、设定被积函数、进行积分运算和求解结果。

通过这些步骤，可以准确计算出平面区域上某一函数的总体积或总面积。

二重积分的计算法

D
z
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x
x=(y)
I
f ( x , y )d xdy
D
z
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =

ψ( y )

d
Q( y )dy

d
c
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
x=(y)
x
二重积分计算的两种积分顺序 I
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
f ( x , y )d xdy
D
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=

x ( y )
x ( y )
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
交换积分次序
解
y
0
2a
dx
2 ax 2 ax x
y y
d
x 1 ( y)
d
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。

理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。

首先，让我们来明确一下二重积分的定义。

二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。

简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。

接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。

直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。

当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。

假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。

如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。

极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。

在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。

如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。