多自由度体系近似计算方法-9
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
建筑抗震设计原理题库答案
B.一般情况下6度烈度区可不进行液化判别
C.6度烈度区的对液化敏感的乙类建筑可按7度的要求进行液化判别
D.8度烈度区的对液化敏感的乙类建筑可按9度的要求进行液化判别
30、引起扭转振动的主要原因不包括有( )
A.地面运动存在着转动分量 B.地震时地面各点的运动存在相位差
A.2 B.3 C.4 D.5
22、多层砌体结构中当墙体的高宽比大于4时，墙体的变形情况是（ ）
A.以剪切变形为主 B.以弯曲变形为主 C.弯曲变形和剪切变形在总变形中均占相当比例 D视具体内力值而定
23、下述对液化土的判别的表述中，（）是不正确的。
A.液化判别的对象是饱和砂土和饱和粉土
B.一般情况下6度烈度区可不进行液化判别
11、考虑内力塑性重分布，可对框架结构的梁端负弯矩进行调幅（）
A.梁端塑性调幅应对水平地震作用产生的负弯矩进行
B.端塑性调幅应对竖向荷载作用产生的负弯矩进行
C.梁端塑性调幅应对内力组合后的负弯矩进行
D.梁端塑性调幅应只对竖向恒荷载作用产生的负弯矩进行
12、大量震害表明，多层房屋顶部突出屋面的电梯间、水箱等，它们的震害比下面主体结构严重。在地震工程中,把这种效应称为（）。
27、场地的液化等级根据（）来划分。
A.液化土层的厚度 B.液化土层的深度 C.液化指数
D.液化判别标准贯入锤击临界值
28、强柱弱梁是指:（）
A.柱线刚度大于梁线刚度 B.柱抗弯承载力大于梁抗弯承载力
C.柱抗剪承载力大于梁抗剪承载力 D.柱配筋大于梁配筋
29、下述对液化土的判别的表述中，（）是不正确的。
B.当遭遇低于7度的多遇地震影响时，一般不受损坏或不需修理仍可继续使用
抗震结构设计测试题及答案
抗震结构设计测试题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-《抗震结构设计》水平测试题及答案一、名词解释1、地震烈度：指某一地区的地面和各类建筑物遭受一次地震影响的强弱程度。
2、抗震设防烈度：一个地区作为抗震设防依据的地震烈度，应按国家规定权限审批或颁发的文件（图件）执行。
3、场地土的液化：饱和的粉土或砂土，在地震时由于颗粒之间的孔隙水不可压缩而无法排出，使得孔隙水压力增大，土体颗粒的有效垂直压应力减少，颗粒局部或全部处于悬浮状态，土体的抗剪强度接近于零，呈现出液态化的现象。
４、等效剪切波速：若计算深度范围内有多层土层，则根据计算深度范围内各土层剪切波速加权平均得到的土层剪切波速即为等效剪切波速。
5、地基土抗震承载力：地基土抗震承载力aE a a f f ζ=⋅，其中ζa 为地基土的抗震承载力调整系数，f a 为深宽修正后的地基承载力特征值。
6、场地覆盖层厚度：我国《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）定义：一般情况下，可取地面到剪切波速大于500m/s 的坚硬土层或岩层顶的距离。
7、重力荷载代表值：结构抗震设计时的基本代表值，是结构自重（永久荷载）和有关可变荷载的组合值之和。
8、强柱弱梁：结构设计时希望梁先于柱发生破坏，塑性铰先发生在梁端，而不是在柱端。
9、砌体的抗震强度设计值： VE N Vf f ς=，其中f v 为非抗震设计的砌体抗剪强度设计值，ζN 为砌体抗震抗剪强度的正应力影响系数。
10、剪压比： 剪压比为c 0V/f bh ，是构件截面上平均剪力与混凝土轴心抗压强度设计值的比值，用以反映构件截面上承受名义剪应力的大小。
二、填空题（每空1分，共25分）1、地震波包括在地球内部传播的体波和只限于在地球表面传播的面波，其中体波包括 纵波（P ）波和 横（S ） 波，而面波分为 瑞雷 波和 洛夫 波，对建筑物和地表的破坏主要以 面 波为主。
抗震设计感受
此处添加校徽及校名《建筑抗震设计理论与实例》学习感受学院: ***班级: ***姓名: ***学号: ***2013年9月抗震设计感受通过对《抗震设计理论与实例》这门课的学习, 使我对地震以及抗震结构设计有了更加深入的认识。
地震又称地动, 地震动, 是地壳快速释放能量过程中造成振动, 期间会产生地震波的一种自然现象。
全球每年发生地震约五百五十万次。
地震常常造成严重的人员伤亡, 能引起火灾, 水灾, 有毒气体泄漏, 细菌及放射性物质扩散, 还可能造成海啸, 滑坡, 崩塌, 地裂缝的次生灾害。
而我国地处世界两个最活跃的地震带中间, 东频环太平洋地震带, 西部和西南部是欧亚地震带所经过的地区, 是世界多地震国家之一。
中国的台湾大地震最多, 新疆, 西藏次之, 西南, 西北, 华北和东南沿海地区也是破坏性地震较多的地区。
根据1990年版的《中国地震烈度区划图》, 中国有79%的国土面积需按国家标准进行设防, 有8%的国土面积处于较高烈度设防区（烈度8度）但是由于人们对建筑结构抗震的重要性认识不足, 以及对抗震设计知识掌握不够致使1976年的唐山地震以及2008年汶川大地震中重大人员伤亡和财产损失, 这无不一次次的为我们敲响了重视与加强建筑抗震设防与抗震设计的警钟。
抗震设防是以现有的科学水平和经济条件为前提的, 根据目前世界各国的研究水平和震害经验, 在抗震设防目标上, 各国所采取的通用做法, 抗震设防简单地说, 就是为达到抗震效果, 在工程建设时对建筑物进行抗震设计并采取抗震设施。
抗震设防要求是指经国务院地震行政主管部门制定或审定的, 对建设工程制定的必须达到的抗御地震破坏的准则和技术指标。
在这门《抗震设计理论与实例》课中我们主要学习了如何对建筑物（构筑物）进行抗震设计与验算, 在充分认识了地震的特点后有针对性的进行抗震设计与验算, 使我们对地震灾害有了科学的认识, 学会了如何规避和减轻地震给我们带来的危害, 在以后的工作学习中有着重要的作用。
国家开放大学春本科建筑结构抗震设计综合测试答案230
建筑结构抗震设计(专升本)综合测试1之宇文皓月创作总分: 100分考试时间:分钟单选题1. 6度设防的35m高的框架结构，其防震缝的宽度应为_____。
(2分)(B) 180mm参考答案：B2. 地震系数暗示地面运动的最大加速度与重力加速度之比，一般，地面运动的加速度越大，则地震系数_____。
(2分)(C) 越高参考答案：C3. 某地区设防烈度为7度，乙类建筑抗震设计应按下列_____要求进行设计。
(2分)(D) 地震作用按7度确定，抗震措施按8度采取参考答案：D4. 框架—抗震墙结构安插中，关于抗震墙的安插，下列_____ 是错误的。
(2分)(D) 抗震墙宜安插在两端的外墙参考答案：D5. 《抗震规范》给出的设计反应谱中，当结构自振周期在0.1s~Tg之间时，谱曲线为_____。
(2分)(A) 水平直线参考答案：A多选题6. 在防灾减灾工作中，结构工程师的任务是_____。
(2分)(A) 对地震区域作抗震减灾规划(B) 对新建筑工程作抗震设计(C) 对已存在的工程结构作抗震鉴定(D) 对已存在的工程结构作抗震加固参考答案：A,B,C,D7. 钢筋混凝土丙类建筑房屋的抗震等级应根据_(4) _ 因素查表确定。
(2分)(A) 抗震设防烈度、结构类型和房屋层数(B) 抗震设防烈度、结构类型和房屋高度(C) 抗震设防烈度、场地类型和房屋层数(D) 抗震设防烈度、场地类型和房屋高度参考答案：B8. 面波的两种形式_____。
(2分)(A) 纵波(B) 横波(C) 瑞雷波(D) 乐夫波参考答案：A,B9. 一般说来，完整的建筑结构抗震设计包含_____三个方向的内容与要求。
(2分)(A) 概念设计(B) 构造措施(C) 抗震计算设计(D) 计算模型选取参考答案：A,B,C10. 有抗震要求的多高层建筑钢结构可采取结构体系_____。
(2分)(A) 框架－中心支撑结构体系(B) 框架－偏心支撑结构体系(C) 框架结构体系(D) 框筒结构体系参考答案：A,B,C,D判断题11. 纯框架结构延性差，抗侧力刚度差。
2.3 平面体系的计算自由度
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点： 在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（ 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和 。 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入 和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 和h， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和 ， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入 。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
【例2-1】试求图示体系的计算自由度 。 】试求图示体系的计算自由度W。
2.3 平面体系的计算自由度
与计算自由度W的定义 一、体系的实际自由度S与计算自由度 的定义 体系的实际自由度 与计算自由度 1、体系的实际自由度S 、体系的实际自由度 令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为 ， 令体系的实际自由度为 ，各对象的自由度总和为a， 必要约束数为c， 必要约束数为c，则
所示体系的计算自由度。 【例2-2】试求图 】试求图2-11所示体系的计算自由度。 所示体系的计算自由度
m1 (1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
第5章线性振动的近似计算方法
2 1.3213 k / m 3 2.0286 k / m
取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第 一阶主振型，即：
[1, 2, 2.5]T
代入瑞利商公式：
R() 0.142857 k
m
1 0.3780
k m
2024年8月7日 与精确值相比，相对误差1.34%
R(
)
T T
1
1 fii mi
1
i1 i2 12 22
1
n2
对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远
大于基频，因此左端可只保留基频项，有：
2024年8月7日 《振动力学》
1
12
1
12
1
22
1
n2
邓克利法
得到的基频是精确值的下限。
8
线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
n
i 1
1
i2
1
12122源自1线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
作用力方程的特征值问题： Kφ 2Mφ
位移方程的特征值问题： Dφ φ D=FM
特征值： 12 22 n2
1 2 n
关系： i 1/ i2 位移方程的最大特征根： 1 1/ 12
（基频） 对应着系统的第一阶固有频率
位移方程的特征方程： D I 0
aT Λa aT Ia
n
a 2j
2 j
j 1
n
a 2j
j 1
分析证明：
12 R( ) n2
若将瑞利商右端分子内的所有 j 换为 1
n
n
由于 1 是最低阶固有频率， 因此： R()
a
2 2
j1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
0.462830 0.860911 1.0
5
0.462617 0.860814 1.0
6
0.462598 0.860806 1.0
7
0.462598 0.860806 1.0
7.189655 7.184652 7.184245 7.184210
系统的第一阶固有频率和主振型
1
1 0.373087
标准特征值问题的特征行列式为
AI 0
(1)n
n
(a11
a22
a ) n1 nn
(1)
A
0
动力矩阵的对角线元素 由代数方程理论，多项式根与系数关系的韦达定理
1 2 nn a11 a22 ann
a11 a22 ann
动力矩阵A的迹
trA
n
i trA
i1
若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为
M 对角线元素
trA tr δM 11m1 m 22 2 m nn n
δ 对角线元素
1
设弹性系统只保留第 i 个质量 mi
δ ii
及相应的弹簧δii ,则系统视为单自由度 系统的固有频率为
2 i
kii mi
1
iimi
i 1, 2, , n
n i1
i
1 2
1
1 2
2
1 2
n
4
0.462892 0.860913 1.0
7.189723
5
0.462621 0.860816 1.0
6
0.462600 0.860807 1.0
7
0.462598 0.860806 1.0
7.184718 7.184253 7.184214
系统的第一阶固有频率和主振型
1
1 0.373087
1
Φ(i)
i
向量
向量
x1 与 Φ(1) 不正交
Ax1
c Φ(1) 11
c2 2Φ(2)
c Φ(n) nn
x2
Ax1
1
c Φ(1) 1
c2
2 1
Φ(2)
cn
n 1
Φ(n)
所占比重增加 1
1
所占比重减少
动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势
x3
Ax 2
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้c1
Φ(1)
b1尽管很小，但若直接用动力矩阵A
举例 矩阵迭代法计算系统的基频及主振型
x1
x2
x3
k
m
k
2k
m
2m
系统质量矩阵和刚度矩阵
m
M
m
2m
2k k 0
K
3k
2k
2k
1
选取初始迭代向量
x1
1
1
系统动力矩阵
1 1 2
A
K M 1
m k
1
2
4
1 2 5
r1 2
1 0.5
xr 1 0.875
1 1.0
k m
1
8
3
0.465517 0.862069 1.0
1
1
2 1
tr δM
1 2
1
1 2
2
1 2
n
邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限
只有当 1 2 (1 2 )时，迹法可给出比较准确的基频估算值
算例表明，梁结构通常具有以上的特点
举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
m
2m
m
系统的质量矩阵与柔度矩阵
m
M
2m
m
9 11 7
δ
16
11
9
l3
768 EJ
1
1
2 1
1 2
1
1 2
2
1 2
3
9 m 32 m 9 m
50 l 3m 768 EJ
1 3.9192
EJ ml 3
* 4.0248 EJ
1
ml 3
举例 均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频
M m EJ
均质简支梁的基频 2 EJ
ml 3
记简支梁的基频为 1 2
x r1
Axr
c Φ r
(1)
11
1xr
迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍 λ1
1
1
1
Φ(1) xr
x r 1, l
1
xr ,l
l 1, 2,n
迭代过程中应对迭代向量作归一化处理
迭代过程收敛速度取决于比值
i 1
r
(i
2,3,, n) 趋于零的速度
迭代次数取决于系统本身的物理参数和试算向量的选取
EJ ml 3
不计简支梁质量时系统的固有频率为 2
k m
48 EJ Ml3
均质梁中央附加集中质量M时的基频
111
2
2
2
1
2
2 1
2 2 12
2 1
2 2
4
EJ ml 3
1 4M
48m
M=m
1 5.671
EJ ml 3
1
~ 1 5.684
EJ ml 3
Dunkerly法 精确解
Rayleigh法
1 M p1
Φ (1)
T Mx1
动力矩阵迭代
Ax1
a Φ(1) 11
a Φ(2) 22
an
Φ(n) n
取
x2 Ax1 a1 1Φ(1)
不包含有Φ(1)的成分
x2
A
Φ 1
(1)
M p1
Φ (1)
TM
x1
由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在 Φ (1)的残余成分
x2 b1 Φ(1) b2 Φ(2) bn Φ(n)
1
k m
0.462598
Φ (1)
x7
0.860806
1.0
1
试算向量取系统静载作用时的静变形
x1
2
2.5
0.4
x1
0.8
1.0
r1
2
3
0.4 0.514286 0.466403
xr 0.8 0.857143 0.861660
1 1.0
1.0
k m
1
7
7.228572
3-2 矩阵迭代法
工程中的振动问题的响应分析中，系统的低阶固有频率及主振型占有 重要地位
矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法
第一阶固有频率及主振型
KΦ 2MΦ AΦ Φ
给定一个初始迭代向量 x1，由展开定理
x1
c Φ(1) 1
c2 Φ(2)
cn Φ(n)
AΦ(i)
多自由度体系近似计算方法
3-1 邓柯莱(Dunkerly)法
邓柯莱（Dunkerly法）
迹法
方法特点：简单实用
确定系统基频的估算公式
定义 系统的动力矩阵为
A δM K M 1
n个自由度系统的特征值问题为
AΦ Φ
1 2
标准特征值问题
若将特征值按降序排列 1 2 n
系统的基频为
1
1
2 1
c2
2 1
2
Φ(2)
cn
n 1
2
Φ
(n
)
第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大
xr
Ax r1
c Φ r1
(1)
1
1
c2
2 1
r1
Φ(2)
cn
n 1
r1
Φ(
n)
随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数 充分大时，可近似地得到
x c Φ r1
(1)
r
11
k m
0.462598
Φ (1)
x7
0.860806
1.0
较高阶固有频率及主振型
采用动力矩阵迭代的过程，总是不断 扩大第一阶主振型的比重。
能否求出第二阶以上的系统固有频率 和主振型？
对于试算初始向量
x1
a Φ(1) 1
a2 Φ(2)
an Φ(n)
左乘 Φ(1) T M
a1