(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计

(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计
2.1.1 平面
东莞市南城中学陈立
1．内容和内容解析
（1）内容
《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。

（2）内容解析
平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。

其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。

平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。

学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。

2．目标和目标解析
（1）目标
根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下：
①了解平面的描述性概念；
②了解平面的表示方法和基本画法；
③理解公理1、公理2、公理3；
④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。

（2）目标解析
通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。

在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。

尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。

平面的三个公理，是本节课的重点内容，要求学生充分重视，并且能够理解这些知识点。

通过文字语
言的严谨、图形语言的直观和符号语言的简洁以及三种语言的相互转化使学生体会数学的美，提高学生的学习兴趣。

让学生认识到我们生活的世界就是一个三维空间，进而激发学生的求知欲。

3．教学问题诊断分析
本节课是一节较为抽象的几何概念课。

学生了解平面的无限延展性可能有难度，因此，在教学时一定要让学生多感受，多举例。

学生不好接受为什么通常用平行四边形表示水平放置的平面，教学中要引导让学生通过观察，体会用平行四边形表示水平放置的平面的“直观性”。

三个公理是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据，学生容易掌握文字语言、图形语言，但符号语言较难掌握，教学中可适当安排一些问题让学生用符号语言规范的完成表达。

基于上述分析，本节课教学难点是理解三个公理以及用符号语言规范的完成对问题的表示。

4．教学支持条件分析
立体几何教具，多媒体，直尺。

5．教学过程设计
探究：观察哪些顶点在底面ABCD 内？哪些顶点不在底面ABCD内？哪些顶点在直线AB上？哪些顶点不在直线AB上？哪些棱在底面ABCD内？哪些棱不在底面ABCD 内？以学生最
熟悉的正
方体为载
体切入，
先让学生
回答最简
单的问
题，激发
学生兴
趣。

然后
以探究形
式提出本
节要研究
的主要内
容，进而
导入新
课。

教师通过
多媒体展
示问题让
学生回
答，然后
组织学生
思考讨
论，导入
新课。

问题1：课桌面、黑板面、海平面
等画面给我们留下怎样的印象呢？
问题2：请你举例说明生活中哪些创设与日
常生活相
联系的简
引导学生
观察、思
考、举例
物体给人以平面印象？
问题3：你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？单问题，
使学生直
观感知平
面，引出
平面的概
念。

和相交交
流，教师
要对学生
举例给予
评价，以
鼓励为
主。

给出平面的描述性概念：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的，不可度量。

例1、已知命题：
①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚。

②有一个平面的长是50m，宽是20m。

③黑板面是平面。

④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

其中正确的的命题是__________。

加深学生
对平面概
念的理
解。

用投影仪
展示好中
差几个层
次学生的
答案，并
点评。

问题1：在平面几何中，怎样画直
线？从已学的让学生到黑板演示
问题2：我们能否根据直线的画法画平面，哪位同学来画一下？直线画法
入手，简
单易懂，
将平面和
直线进行
类比，培
养学生知
识迁移能
力和空间
想象能
力。

直线的画
法，教师
说明这位
同学画的
实质上是
直线的部
分，通过
想象两端
无限延伸
而认为是
一条直
线，因此
仿照直线
的画法，
让学生动
手画平
面，并让
部分学生
解释他们
所画的平
面是基于
什么样的
一种想法。

平面的基本画法及表示 平面的基本画法
①通常用平行四边形来表示平面。

当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45︒，横边画成邻边的2倍长。

如图
②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；如图
平面的表示：
1﹒用一个希腊字母α，β，γ， ……
在学生动手之后再给出基本画法和表示方法，这样做让学生易于接受和掌握。

借助多媒
体的直
观、形象，用投影仪展示平面的画法，可展示水
平放置平面、竖直放置的平面、相交平面、平行平面等，让学生经历直观感受。

α
l
β α
（2）
练习：用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线 a 上； （2）平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内且平行于直线m .
握，因此除例题外还增加一个练习题。

以表格形式按三种语言进行展示。

例题强化文字语言、图形语言和符号语言的转
化，让学生演板，老师点评和小结。

ι b
a P β
α
问题1：将手中的笔假想成一条直线，将课桌面假想成一个平面，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？
教师归纳总结，多媒体展示公理1的三种语言并板书。

思考：公理1有什么作用？
问题2：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？
教师归纳总结，多媒体展示公理2的三种语言并板书。

思考：公理2有什么作用？
探究：下列命题是真命题吗？（1）经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

根据学生回答的情况，教师小结这三个命题其实就是公理2的变式。

问题1通
过笔和课
桌面直观
感知原本
难以想象
的直线和
平面的关
系，将抽
象问题直
观化，有
利于对公
理1的理
解。

问题
2以学生
熟知的两
点确定一
问题的解
决主要由
学生完
成，教师
借助多媒
体直观形
象的展示
有关图
形，在问
题解决的
过程中，
教师只需
引导学
生，启发
思维，最
后进行归
P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线．身边模型获得新知。

例题是为了进一步加深对三个公理的理解。

回顾与小结
1、平面的基本特征是
2、通常用平行四边形表示平面，并把它的锐角画成，且横边
长等于其邻边长的倍。

如果一个平面被另一个平面挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用线画出来。

3、表示平面的方法如下几种？
4、如何描述点与直线、平面的关系？
5、①公理1：文字语言：如果一个平面内，那么这条直线在此平由学生自
己来讲，
调动学生
的积极
性，使学
生及时回
顾，再次
加深对平
面的概
学生根据
教师设计
的几点进
行归纳、
总结，教
师在学生
回答完以
后以多媒
体形式展
面内。

符号语言：。

图形语言：
②公理2：文字语言：的三点，有且只有一个平面。

符号语言：。

图形语言：
③如果两个不重合的平面，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号语言：。

图形语言：念、画法、
表示以及
基本性质
的认识，
同时还可
以提升学
生自我整
合知识的
能力，进
一步完成
教学目
标。

示相关内
容。

6．目标检测设计
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm．（）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分． （ ）
（3）一个平面的面积为202
cm ． （ ） 2．下面是一些命题的叙述语（A ，B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A ．∵A α∈，
B α∈，∴α∈AB ． B ．∵a α∈，a β∈，∴a =βαI ．
C ．∵A a ∈，a α⊂，∴A α∈．
D ．∵A a ∉，a α⊂，∴α∉A ． 3．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面
B ．经过一条直线和一个点确定一个平面
C ．四边形确定一个平面
D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
4．如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）
A ．在直线D
B 上 B ．在直线AB 上
C ．在直线CB 上
D ．都不对
5．用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A 在平面α内，但点B 在平面α外. （2）直线a 经过平面α外的一点M .
6．如右图，在正方体11
1
1
ABCD A B C D -中，判断下列命题
是否正确，并说明理由.
H G D
C
F
E B
A
C
D B
C
A
D O O
（1）直线1
AC 在平面11
CC B B 内.
（2）设正方形ABCD 与11
1
1
A B C D 的中心分别为O 、1
O ，
则平面1
1
AAC C 与平面1
1
BB D D 的交线为1
OO .
（3）由点A 、O 、C 可以确定一个平面.
（4）由A 、1
C 、1
B 确定的平面与由A 、1
C 、
D 确定的
平面是同一平面.
设计意图：
1、强化对平面特征的理解。

2、强化点、直线、平面位置关系的符号语言表示。

3、强化对公理2的理解。

4、强化公理3的应用。

5、强化三种语言的转化，为后续的推理规范打基础。

6、全面回顾本节课的难点三个公理的应用。

7．教学评价
本节课是第二章第一课时，其重要性可想而知，它是培养学生建立正确空间观念的基础，使学生对图形的认识由平面向立体过渡，逐步培养学生根据立体图形可以想象出组成立体图形的点、线、面的空间位置关系。

其中，三个公理还是后续几何命题证明的出发点和根据。

因此，高质量的达成本节课的教学目标至关重要。

学生在学习这节课以前，已经学习了空间几何体，对空间几何体已有整体认识，因此，这节便以学生熟知的正方体为载体，通过问题串的形式展开教学。

教学过
程中，用学生身边的物体为例，设计比较简单的问题，或将一些抽象的概念具体化，先由学生主动探究、分析获得结论，教师根据学生获得的结论做总结、归纳，最后以多媒体、板书等形式给出规范表达。

本节课在设计时考虑到平面的概念和平面的基本性质比较抽象，为了强化学生对知识点的理解，每学完一个知识点都会配以例题或练习用来诊断课堂效果。

本节课的设计，以学生为本，学生参与度高，应该可以较好的完成教学目标。

本节课对点、直线、平面之间的位置关系设置内容略显不足，其次对三个公理的应用还可加深。