鱼和熊掌能否兼得

鱼和熊掌能否兼得

摘要：本文通过两个课例来探讨微积分基本定理教学中推导过程的处理方法。

关键词：微积分基本定理；推导过程

中图分类号：g632 文献标识码：a

文章编号：1009-0118（2012）08-0124-01

一、课例简介

（一）甲老师的课

师：前两节课我们以及学会用定积分的定义来计算定积分，请大家用定义来计算∫211xdx。

学生经过实践受阻于形如∑ni=11n的和式，老师告诉学生这个和是“求不出”的，从而引出新问题：课本51页的“探究”，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y=yt，并且yt有连续的导数。设这个物体在时间段a,b内的位移为s，能否分别用yt，vt表示s？学生尝试表示，但只有部分学生可以用yt表示s，几乎没有学生能用vt表示s，甚至有些学生直接就看课本。

老师继续讲解，对于用yt表示s学生没有疑问，但在解释如何用vt表示s的过程中，由于学生对前一节“定积分的定义”的得来不熟悉，所以很多学生听得一头雾水，老师无奈只能慢慢地再解释一次，终于有部分同学听明白了，但此时下课时间也到了。（二）乙老师的课

师：通过前两节的学习，我们已经可以用定积分的定义解决定积

分的简单运算了，但大家发现这种运算方法的缺点吗？

生（齐答）：复杂，麻烦。

师：没错，显然这种方法在计算要花费不少时间，而且容易出错，在理解上还有一点的难度。那么我们今天就告诉大家一个相当简便的方法。

紧接着，老师直接把定理告诉学生，并通过一道例题开始说明牛顿-莱布尼茨公式如何使用。学生对这个公式的由来存在疑问，老师告诉学生，“推导过程较为复杂，大家可以在课后自己看看”，于是学生强行记住公式，并开始模仿老师的例题进行解题，从解题效果来看也还算不错。后面的课堂时间几乎都是学生在解题，然后老师再讲解，俨然是一堂“习题课”。

二、课堂教学的反思

甲老师的教学流程与教学参考书给出的如出一辙，希望通过设置新问题情境，引发学生寻找新的求定积分方法的兴趣，再通过给出物理背景，想让学生在这种特殊情况下解决问题，从而进一步抽去物理背景，返回抽象的数学情境，完成从特殊到一般的过渡，进而完成教学目标“了解定积分定理的含义”。笔者也曾经采用这种教学方式，但在实践过程中也遇见了像甲老师同样的问题：首先，∑ni=11n为什么不能求和，用目前学生所掌握的知识比较难解释清楚，出现了知识上的断层，只能是作为结论直接告诉学生，学生只能是“被弄懂”；其次，整个推导的思路是从yt和vt两个不同的角度去表示s，从而找到积分与导数的关系，应该说用这种方法去

找到它们的关系很好，学生也比较好理解，但在实际讲授过程中，用vt表示s时，其中用到了前一节中的“以直代曲”的思想，而部分同学对上一节的内容理解不到位，导致在该处出现理解困难，当然这点可以像甲老师一样通过放慢讲课节奏来达到疏通难点的目的，另外在该处课本预计到学生可能会出现的理解困难，于是又从几何意义上，利用切线的斜率来近似求出δsi≈hi=tan∠dpc·δt=y′ti－1·δt，对前面的代数推理做出辅助说明，帮助学生理解，但笔者就遇见有学生问：“这个几何意义是上面推导过程的继续吗？”也就是说，学生认为这部分与前部分是递进关系，而并非并列关系，这与编写者的目的背道而驰，本来是辅助理解的，反而将一些学生的思路搅乱。当然，这种情况可以通过老师的讲解得以避免。

再来看乙老师的课例，他跳过了公式的推导，直接把公式呈现给学生，然后就进入应用公式部分。可能很多学校的老师都会这样操作，因为推导过程较复杂，可能花了时间收不到效果，再者，最终都要回归到应用上，所以不如直接就来应用，会用公式求定积分就行了。

三、对微积分定理推导过程教学的改变

其实以上两位老师教学都有自己的想法，也希望达到最终的教学目标，只是从实际效果来看都是部分达到教学的效果。笔者对这一节的教学做出了如下的改变：问题的提出仍然采用课本的方式，即如何用yt和vt分别表示s，首先

s=yb－ya

（1）

接着利用y=vt这个函数的图象，由物理知识可知v－t图象中曲线y=vt与直线t=a,t=b，以及t轴所围成的曲边四边形的面积即为物体在时间段a,b内所走过的位移s，这样我们就可以得到s=s曲边四边形又根据上一节所学定积分的几何意义可知

s曲边四边形=∫bavtdt=∫bay′tdt

（2）

将①②结合，即可得s=∫bavtdt=∫bay′tdt=yb－ya

进一步就可以抽象出牛顿-莱布尼兹公式，从而完成对公式的推导。

总而言之，本节课的几种教学处理方式中，究其根本都是在探讨一个问题，那就是：数学教学是重过程还是重结果，具体说就是到底我们应该注重培养学生的数学思维还是要省去思维过程，直接让学生会运用公式，定理，方法等等。相信大家都希望在理想的状态下去进行教学，也就是更注重学生数学思维的培养，但迫于课时限制和高考压力，有时又不得不选择放弃一些繁琐的推导过程。无论采用哪种教学方式，其实大家都在寻找一个“两者兼顾的平衡点”，相信随着高考改革的持续推进和大家的不断努力实践，我们一定会找到它。