n阶行列式的求法
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算
a1a2 ...an
0 a1a2 ...an (1 1 / ai )
i 1
3
1、递推法
D 例1：计算行列式
2n
an cn an bn dn 0 0 c n 1 0 0 a n 1 0 0 a1 c1 b1 d1
bn
dn
解：D2 n
1 a1 Dn
ri r1
1 1 a2 1
... 1
... ...
1 1 , 其 中a1a 2 ...a n 0
... 1 a n
ai (i 1,...,n) 解 : 第一行的 (1)倍分别加到各行 i列提取公因子
1 a2 0 a1 a1
各列加到 第c一 列 a
r2 n ri c2 n ci
cn 0 0
( 1) 2 n 2 ( 1) 2 n 2
bn1
(andn bncn )D2( n1)
d n 1
(and n bncn )...(a1d1 b1c1 )
4
练习：计算下列行列式
x y 1. D y y y x y y y y x y y y y y x y
x y y y 答 ：x( x y ) ( x 2 y )[ ] x y x 2y x
2
0 1 2 3 1 0 1 2 2、Dn 2 1 0 1 3 2 1 0
2.
0
5
4、注意将公共因子提出 行列式外。
1
x a 8(2)计算行列式Dn a
a ... a x ... a a ... x
解 ： 将 第一行的 (1)倍分别加到各行 , 把行列式化为箭头型
行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例1．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnn a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n n n nnn a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式1231231231231111n n n na a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++．解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．[][]()()()()()()1223231223231223231122323211 12,,2,,1111111111111111 1n n n n n n nn n i n i n n nn i i i i i ni n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==++++++++++⎛⎫+++++=++ ⎪⎝⎭++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑3110100111 .00100001n n n i i i i a a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑例3 计算n 阶行列式ab b bba b b D bbab b b b a=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b ba nb a b bD a n bbab a n b b b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b ba b b a n b b a b b b a =+-100[(1)]000bbb a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
n阶行列式计算方法
n阶行列式计算方法
在线计算n阶行列式的方法是一种重要的数学运算方法，可以用于解决线性方
程组、矩阵求逆和矩阵计算等问题。
本文将介绍几种常见的计算n阶行列式的方法。
1. 代数余子式法：该方法通过利用代数余子式的性质来计算行列式。
首先选择
第一行或第一列的元素，利用它们构成代数余子式，并对代数余子式进行计算，最后将代数余子式乘以对应元素的符号，并相加得到最终的行列式值。
2. 二阶、三阶行列式法：对于二阶行列式，可以直接利用相应元素的乘积进行
计算。
而对于三阶行列式，可以利用Sarrus定理进行计算。
Sarrus定理是通过构造
辅助矩阵，以及利用矩阵元素之间的关系进行计算的方法。
3. 初等变换法：该方法通过对行列式进行初等行变换来将行列式化为上三角行
列式或下三角行列式，并通过对角线元素的乘积来计算行列式的值。
4. Laplace展开法：Laplace展开法是一种递归的方法，通过逐步将n阶行列式
分解为n-1阶行列式，再进一步分解为n-2阶行列式，直到最后分解为1阶行列式。
每一步的分解都利用代数余子式的计算方法，最后将每一步的行列式值相加，即可得到n阶行列式的值。
需要注意的是，由于行列式的计算规模较大，当n超过一定的阶数时，上述方
法可能会出现计算速度较慢的情况。
因此，在实际应用中，可以使用计算机编程来实现行列式的计算，以提高计算效率。
综上所述，以上是几种计算n阶行列式的常见方法。
在实际应用中，可以根据
具体情况选择适合的方法进行计算。
行列式的计算对于数学和工程领域都具有重要的意义，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中发挥着重要作用。
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的线性变换的特征。
N阶行列式的计算方法可以通过多种途径实现，包括展开法、性质法、三角法等。
下面将详细介绍N阶行列式的计算方法。
1.展开法：展开法也是最常用的计算N阶行列式的方法。
N阶行列式可以根据其中的其中一行或其中一列展开成N个N-1阶行列式之和。
以N阶行列式A为例，可以通过以下公式计算：det(A) = a1j * C1j + a2j * C2j + ... + anj * Cnj其中，a1j, a2j, ..., anj 分别是矩阵A第j列的N个元素；C1j,C2j, ..., Cnj 分别是对应元素的代数余子式。
2.性质法：性质法是通过行列式的性质来计算N阶行列式。
行列式有很多性质，包括换行换列、行列秩相等、其中一行列乘以一个常数等。
利用这些性质，可以将N阶行列式变换成简化形式，进而计算行列式的值。
例如，可以通过初等行变换将行列式变换为上（下）三角形，而上（下）三角形行列式的计算非常简单。
此外，还可以使用性质法计算N阶行列式的公式，例如：det(A) = (-1)^(i+j) * Mij，其中，A是一个N阶矩阵，Mij是A删除第i行和第j列后的N-1阶矩阵。
3.三角法：三角法是一种用于计算N阶行列式的简便方法。
它将矩阵进行初等行变换，将其化为上三角阵或下三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
具体步骤如下：（1）将行列式按其中一行或其中一列展开；（2）通过初等行变换，将行列式化为上三角形或下三角形；（3）计算对角线上元素的乘积，得到行列式的值。
4.克拉默法则：如果N阶行列式的其中一行或其中一列可被向量等式左边的向量线性表出，那么可以使用克拉默法则来计算行列式的值。
克拉默法则通过求解N个方程组，其中每个方程组都将一个未知量用行列式展开的形式表示，最后求解这N个方程组得到行列式的值。
但是，克拉默法则的计算复杂度高，对于大规模的行列式来说，不太适用。
线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式00100201000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b Dbb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b ab b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。
例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。
但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。
这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。
【关键词】n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法ISome methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinantthe mathematical induction adding the edge method目录1引言 (1)2 计算行列式的基础方法 (2)2.1利用行列式的定义来计算 (2)2.2化为三角形法 (3)2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列) (4)2.4逐行(列)处理 (5)3加边法 (6)4 展开 (8)5利用已知行列式公式计算法 (10)(1)三角形公式 (10)(2)范德蒙公式 (10)(3)爪型行列式公式 (11)(4)ab行列式公式 (13)6 数学归纳法 (13)7递推法 (16)8 拆项法 (18)9 利用多项式的性质 (21)10 利用矩阵分块理论 (21)1 乘法公式的应用 (22)2 定理2 (22)3 定理3 (23)11 小结 (25)参考文献 (26)致谢 (26)1引言行列式是研究线性代数的一个重要的工具，在线性方程组、矩阵、二次型中要用到行列式，在数学的其他分支里也常常要用到行列式。
n阶行列式的计算
n 阶行列式的计算1.可化为三角阵的形式：使得位于主对角线一侧的所有元素都为零，次对角线的情形则可以用来改变行（列）的次序成相反次序的办法。
这样得到的三角阵的值就是主对角线元素的乘积。
()n-11111111110110-111D===-1110100-1111100-1D从其余各行减去第一行有.111212313100D==000nn a x x xa xxx x a x x x a a x xxa x D x a a x x x x a x a a x------从其余各行减去第一行有从第一列中提出 a 1−x ，从第二列提出 a 2−x ，……，从第n 列提出 a n −x 。
()()()11231121111001010D=.=1+11n n a x x x a x a x a x a x a xa x a x a x a x a x------------令并把所有各列加于第一列()()()12312101000010D=01n n n x xxx x a x a xa x a x a x a x a x a x +++--------()()()121111=n n x a x a x a x x a xa x ⎛⎫---+++ ⎪--⎝⎭ .2.分离线性因子法：把行列式看成是其中一个或一些元素的多项式，经变换该行列式可以被一些线性因子整除。
故将行列式的个别项与线性因子积作比较，并求出这个积出行列式的商，从而求解。
00x+y+z 00x y z x z y D y z x zyx=，如果对第一列加上其余各列，则发现：行列式可用除尽，同理得出其他三个因子。
故有()()()()x y z y z x x y z x y z +++--++-。
习题课n阶行列式的计算
0 D5 0 0 a 51
0 0 0 a 52
a 23 0 0 a 53
0 a 34 0 a 54
0 0 a 45 a 55
• 特征题2： 对于所有行（或列）对应元素 相加后相等的行列式，可把所有行（或列） 加到第一行（或第一列），提取公因子后 化简计算. • 例2. x1 m x2 xn
1 xn 2 xn x nn 2 x nn
• 2.
b1 a 2 a3 a1 b2 a3 Dn a1 a 2 a3 a1 a 2 a3
a n 1 a n a n 1 a n bn 1 a n a n 1 bn
• 特征题5. “三对角型”行列式，常直接展开 得到两项的递推关系式，然后变形进行两 次递推或利用数学归纳法进行证明. • 例5. a b ab
1 Dn
a b ab 1 ab ab 1 ab
答 案 ： D a a b a b b n
nn 1
n 1n
思考练习
n 1 1 2 n
• 特征题4. “三线型”行列式. 除某一行，某 一列以及对角线（或次对角线）元素非零 歪，其余元素均为0的行列式，主要求法是 化为三角形行列式计算. • 例4: a0 1 1 1
1 Dn 1 1 1
naΒιβλιοθήκη 0 00 a2 00 0 (ai 0) an
1 n 答 案 ： (a ) a 0 i i 1a 1 i i
• 1.
1 a1 a2 0 1 1 a2 a3 0 1 1 a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Dn
1 an1 an 1 1 an
• 特征题6.利用范德蒙行列式 例6: 1 1 x1 x2 2 2 x1 x2 Dn
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
试举例说明行列式的计算方法
L L L L L L L
a1n L a kn L ain L a nn
三 :
a i1 + a k 1 L ai1 L a n1
rk ri
ri + rk
a11 L a k1 = L a i1 L a n1
a12 L an2 L ai2 L an2
L L L L L L L
a1n L a kn L a in L a nn
:
= a + ( 1)
n
n +1
( 1) a
n
n2
= a a
n
n2
逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn 与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关 系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn －2等结构相同），再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法。
例4： 证明
三 :
x 0 Dn = L 0 an
i i
n
②
三 :
①与②除去符号外，具有相同的数值， 但排列 i1 L ii L ik L jn 与 i1 L ik L ii L 相差一个一个对换，具有相反的奇偶 性． ①、②的符号相反，即①+②=0．
jn
三 性质5 性质 :行列式中两行（列）成比例，则行列式为0 证：由性质2、性质4即得． 性质6 性质 :把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行 （列），行列式不变 证：由性质3、性质5即得． 性质7 性质 :对换行列式中两行（列）位置，行列式反号． 证：
1
L a njn 的符号为 ( 1) N ( j1 j2 L jn ) 2
(不算元素本
身所带的符号); (3) 一阶行列式 | a |= a, 不要与绝对值记号相 混淆.
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中一种重要的概念，它可以通过不同的计算方法来求解。
下面将介绍几种常用的行列式计算方法。
1. 代数余子式展开法代数余子式展开法是求解行列式的一种常用方法。
对于一个n阶行列式A，可以选择任意一行或一列展开，然后按照一定的规律计算各个元素的代数余子式，并与原矩阵对应元素相乘再求和，得到最终的行列式的值。
假设我们选择第i行展开，则有：det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + … + a_{in}A_{in}a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素，A_{ij}表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。
2. 公式法对于2阶和3阶的行列式，可以直接使用公式来计算。
对于2阶行列式A，有：对于3阶行列式A，有：det(A) = a_{11}·a_{22}·a_{33} + a_{12}·a_{23}·a_{31} +a_{13}·a_{21}·a_{32} - a_{13}·a_{22}·a_{31} - a_{11}·a_{23}·a_{32} -a_{12}·a_{21}·a_{33}3. 初等变换法对于某些特殊形式的矩阵，可以通过初等变换将其转化为简单的行阶梯形或对角形矩阵，从而方便计算行列式的值。
一般来说，可以通过初等行变换将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U，即U =E_k·E_{k-1}·…·E_2·E_1·A，其中E_i是一个初等矩阵。
然后，行列式的值可以通过计算行阶梯形矩阵的对角线元素的乘积得到，即det(A) = u_{11}·u_{22}·…·u_{nn}，其中u_{ii}是U的第i行第i列元素。
4. 递推关系法递推关系法是一种递归地求解行列式的方法。
n阶行列式及其计算 章节讲解
5
如:三阶行列式
a11 0 的余子式:
0 D 2
1 3
1 2
3 2
M 11 3
6 4
4 3 4
代数余子式:
A11 (1)11 M11 M11 6
2 2
M12 4
0 4
A12 (1)12 M12 0
01
M 23 4
4 3
A23 (1)23 M23 4
试试去 求-1和4的代数余子式
2 3
1 6
0
17
如:用三角法计算三阶行列式: 注意要零保护
0 1 1
1 0 1
5.D 2
3
2
1
c1 c2 3
2 2
4 3 4
2
3 4 4
列虚乘
实加
1
c+kc c3 c1 2 3
01 0
1
1 1 c3 c2 2 3
00 10
3 2 1
3 2 3
211 3 6 下三角
2020/11/18
r3 r1
2020/11/18
19
例11-1-2.2
1 2 1 0
0 0 1 0
2 D
1
3 1
1 1
1c2 2c3 3 5
1 c1 c3 0 1
1 1 1 1
虚乘
01 1 2
13 1 2
实加
3
4
a1 j A1 j a13 A13 0
5 1
1
r1 3r3
0
4
7
1 0 1 1
j 1
13 2
13 2
3
4 7
i1 ai1Ai1 a31A31 1
线性代数1-3 n阶行列式的计算
311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解： 将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章 行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1
xy2
x
0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y
xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章 行列式
Dn Dn1 2n
第一章 行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )
0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章 行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.
n阶行列式及其计算
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法好多，除非零元素较少时可利用定义计算（①依据某一列或某一行睁开②完整睁开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特色，灵巧选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不一样的求解方法。
下边介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算0L0100L200例计算行列式 D n M M M Mn 1L0000L00n解D n中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a2n 2 L a n 11a nn n!.该项列标摆列的逆序数(n 1)(n2)t（n－1 n－2 1n）等于，2(n 1)( n 2)故 D n( 1)2n!. 2．利用行列式的性质计算例：一个 n 阶行列式D n a ij的元素满足a ij aji,i , j1,2,L , n, 则称D n为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 a ij aji 知a ii a ii，即 a ii0, i1,2,L ,na12a13La1na120a23La2n故行列式 D n可表示为D n a13a230L a3n，由行列式的性质A A ，L L L L La1 na2na3n L00a12a13La1n0a12a13La1na120a23La2 na120a23L a2n( 1)n D nD n a13a230L a3 n( 1)n a13a230L a3nL L L L L L L L L La1n a2 na3 n L0a1 na2na3 n L0当 n 为奇数时，得 D=－D ，因此得 D= 0.n n n13．化为三角形行列式若能把一个行列式经过合适变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
所以化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
习题课：n阶行列式的计算
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
特征题4. “三线型”行列式. 除某一行，某一列以及对角 线（或次对角线）元素非零歪，其余元素均为 0的行列式， 主要求法是化为三角形行列式计算. 例4:
a0 1 Dn 1 1 1
n
1 a1 0 0
1 0 a2 0
1 0 0 (ai 0) an
1 n 答案：(a0 ) ai i 1 ai i 1
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
x2 x2 m x2
xn xn xn m
xn m)
答案 : Dn (m)n1 ( x1
特征3：“两条线型”的行列式，直接展开降阶. 例3.
a1 Dn
b1 a2 b2 an 1 bn 1 an
bn
答案：Dn a1a2
an (1) b1b2
n1
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
N阶行列式的计算
a2 0 0 1
0 0 1
a3
0 c 2 +c1 0 0 c3 +新c 2 0 c 4 +新c3 an ... 0 1 1
a3
1 2 3 4 1 1 练习： D 1
n
= (1)n (n 1)a1a2 an 。
1 2 3 n 1 x 1 2 n2 x x 1 n 3 【 (-1)n+1x n-2 】 x x x x 2 1
-1 -2
-1 -2 -3
-1 -2 -3 1-n 0
的行列式的第一行各项分别加到后面各行对应元素上，可将行列式化为上三角形行列式） (3)各行（列）都加至同一行（列）上（适用于行列式的行（列）的诸元素之和相等时） (4)行列式的某一行各项乘 k 分别加到其余各行对应元素上
1/4
x-a a 例 4： a a 1
题设行列式正是 A24 ， 即 y 的系数， 展开(1)式， 得到 y 的系数为 x1 x2 +x2 x3 +x3 x1
3i >j 1
(x -x )
i j
1
所以： x
1 x x
2 2 3 2
1
2 x3 = x1 x2 +x2 x3 +x3 x1 (xi -x j ) 。 3i >j 1 3 x3
1 1+d d +d 2 d 2 +d 3
l +l (-1) 2 1 l3 +新l2(-1) l +新l (-1) 4 3
1 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d =… d2 d3
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计算n 阶行列式的若干方法举例闵 兰摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。
行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
关键词：n 阶行列式 计算 方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---= .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb b a +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式00010000000000001n a a a D a a=解 将D n 按第1行展开1000000000000(1)00000001n n a a a a D a a a a+=+-12(1)(1)nn nn a a+-=+--2n n a a-=-.5．逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5 证明1221100001000001n nn n x x D x a a a a a x----=-+12121,(2)nn n n n x a x a xa x a n ---=+++++≥证明：将D n 按第1列展开得12321100001000001n n n n x x D x x a a a a a x-----=-+11000100(1)1n nx a x+--+--1n n a xD -=+由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++111n nn n a a x a xx--==++++6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n nnx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7 计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+解： 1100nn na a D D =1211002,,11001n i a a a x i n x x-=+--第行减第1行（箭形行列式） 12110000000nj n j a a a a xx x x=+=∑11nj nj a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式1221100001000001n nn n x x D x a a a a a x----=-+解：用数学归纳法. 当n = 2时212211()x D x x a a a x a -==+++212x a x a =++假设n = k 时，有12121kk k k k kD x a xa xa x a ---=+++++则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得11k k k D xD a ++=+1111()kk k k k x x a x a x a a --+=+++++12111k kk k k xa x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有12121nn n n n n D x a xa x a x a ---=+++++9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9 计算行列式 n D =11212212n n n n a aa a a a a a a λλλ+++解：n D =1212212n n n na a a a a a a a a λλ++ 122200n n n na a a a a λλλ+++12200n n na a a a λλ=11n D λ-+1211n n a D λλλ-=+……1211ni n i i a λλλλ=⎛⎫=+⎪⎝⎭∑上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
参考文献《线性代数》魏贵民等主编 高等教育出版社 2004年8月《线性代数解题方法》刘金山 吴明芬编著 华南理工大学出版社 2000年6月《线性代数复习指导》马杰主编 机械工业出版社 2002年3月作者简介：闵 兰 成都理工大学信息管理学院数学教学部 副教授。