平面向量单元测试题

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平面向量单元测试卷A(含答案)

《平面向量》单元测试卷A （含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（）A 、AB BA -→-→与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；D 、共线的单位向量都相等。

2．||||a b a b a b →→→→→→>若是任一非零向量，是单位向量；①；②∥；||0||1||aa b b a →→→→→>=±=③；④；⑤，其中正确的有（）A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3．0a b c a b c a b c →→→→→→→→→→++=设，，是任意三个平面向量，命题甲：；命题乙：把，，首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件4．AD -→下列四式中不能化简为的是（）A 、AB CD BC -→-→-→++（）B 、AM MB BC CD -→-→-→-→+++（）（） C 、AC AB AD CB -→-→-→-→++-（）（）D 、OC OA CD -→-→-→-+ 5．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CG D 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 317．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA 、4πB 、6π C 、3π D 、36ππ或 8．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29．）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π，B 、)2[ππ，C 、)2(ππ，D 、]2(ππ，10．→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设的模之比值为（） A 、43B 、34C 、73D 、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11．。

完整版)平面向量单元测试卷及答案

完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。

2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。

|b|；②a∥b；③|a|。

|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。

《平面向量》单元测试卷A(含答案)

《平面向量》单元测试卷A(含答案)一、选择题:（本题共1０小题，每小题4分，共40分) 1.下列命题中的假命题是（ )A 、AB BA -→-→与的长度相等;ﻩﻩ Ｂ、零向量与任何向量都共线; C 、只有零向量的模等于零;ﻩ D 、共线的单位向量都相等。

2．||||a b a b a b →→→→→→>若是任一非零向量，是单位向量；①；②∥；||0||1||aa b b a →→→→→>=±=③；④；⑤，其中正确的有（）Ａ、①④⑤ﻩ Ｂ、③ ﻩＣ、①②③⑤ﻩ D 、②③⑤3.0a b c a b c a b c →→→→→→→→→→++=设，，是任意三个平面向量，命题甲：；命题乙：把，，首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的( )A 、充分不必要条件ﻩﻩﻩﻩ Ｂ、必要不充分条件 C 、充要条件ﻩﻩﻩﻩ D 、非充分也非必要条件4．AD -→下列四式中不能化简为的是（）A 、AB CD BC -→-→-→++（） ﻩ B 、AM MB BC CD -→-→-→-→+++（）（）C 、AC AB AD CB -→-→-→-→++-（）（） ﻩﻩ Ｄ、OC OA CD -→-→-→-+５．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a ﻩﻩﻩＢ、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b a ﻩﻩﻩﻩﻩD 、是相反向量与→→b a６.如图1,△ABC 中，D 、E 、F 分别是边ＢC 、CA 和AB 的中点,Ｇ是△ＡＢC 中的重心,则下列各等式中不成立的是( ） ﻩA 、→-→-=BE 32BGB 、→-→-=AG 21DG ﻩC 、→-→--=FG 2CG D 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 317．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12a A 、4πﻩ B 、6π ﻩﻩC 、3π ﻩ D 、36ππ或图18．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB CＡ、23-ﻩﻩ B 、３ﻩﻩﻩＣ、32- ﻩﻩD 、-2 ９.）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b aA 、)20[π，ﻩﻩＢ、)2[ππ，ﻩﻩC 、)2(ππ，ﻩﻩD 、]2(ππ，10.→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设的模之比值为( ) A 、43ﻩＢ、34 ﻩﻩＣ、73ﻩﻩﻩD 、74二、填空题（本题共4小题,每题5分，共20分）11．。

平面向量单元测试题及答案

平面向量单元测试题及答案平面向量单元测试题2一、选择题：1.下列说法中错误的是（）A．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是任意的2.下列命题正确的是（）A.若a、b都是单位向量，则a=bB.若AB=DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形C.若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D.AB与BA是两平行向量3.下列命题正确的是（）A.若a∥b，且b∥c，则a∥c。

B.两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。

C.向量AB 的长度与向量BA的长度相等,D.若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。

4.已知向量a=(m,1)，若，|a|=2，则m=（）A．1B.3C.±1D.±35.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a∥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。

6.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a⊥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。

7.在△ABC中，若BA+BC=AC，则△ABC一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定8.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a，则a与b的夹角等于（）A．120B60C30D90o二、填空题：（5分×4=20分）9.已知向量a、b满足a=b=1，3a−2b=3，则3a+b=510.已知向量a=(4,2)，向量b=(x,3)，且a∥b，则x=211.三点A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cos∠BAC =12，cos∠BAC=−3512.把函数y=x2+4x+7的图像按向量a经过一次平移以后得到y=x2的图像，则平移向量a是(-2,-4)三、解答题：（10分×6 = 60分）13.设P1(4,−3),P2(−2,6)，且P在P1P2的延长线上，使P1P=3，则求点P的坐标。

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD （）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等于（）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ，于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ．（Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅，设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。

平面向量单元测试题与答案

平面向量单元测试姓名: 班级: 学号一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直,则实数λ的值为---------A . ;23-B . ;23C . ;23±D . ;1 2．已知A 、B 、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设,a OA =,b OB =,c OC =且存在实数m ,使30ma b c -+=成立,则点A 分BC 的比为 ------A . 31-B . 21-C . 31D . 213．已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==,在x 轴上有一点P ,使AP BP 有最小值,则点P 的坐标为 (3,0)A - B .2,0 C . 3,0 D .4,0 4．已知向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+若点C 在函数sin 12y x π=的图象上,则实数λ的值为 A52 B 32 C 52- D 32- 5．在△ABC 中,若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 2B ＋cosB ＋cosA －C ＝1,则 A 、a 、b 、c 等比 B 、a 、b 、c 等差 C 、a 、c 、b 等比 D 、a 、c 、b 等差 6．已知函数y ＝－3cos 2x ＋错误!＋4按向量错误!平移后所得图象表示的函数y ＝fx 是奇函数,则向量错误!可以是 A 、－错误!,－4 B 、－错误!,－4 C 、错误!,4 D 、－错误!,47．在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ccb A 22cos 2+=,则ABC 的形状为 A ．正三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 8．在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若a ＋c ＝2b ,则cot 错误!＝ A 、－2 B 、－3 C 、2 D 、39．O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=,则ABC ∆的形状是 A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 斜三角形 10．已知向量a ≠e ,|e |＝1,对任意t ∈R ,恒有|a －t e |≥|a －e |,则A a ⊥eB a ⊥a －eC e ⊥a －eD a ＋e ⊥a －e11.在OAB ∆中,a OA =,b OB =,M 为OB 的中点,N 为AB 的中点,P点,则=APA ．b a 3132-B ．b a 3132+-C ．b a 3231-D ．b a 3231+-12．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+,则Ｏ为ABC ∆的13、已知),3(λ=a,)3,4(-=b ,若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围为________ 14．在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,若B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,则=C ．A15．在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则a =______.16．在△ABC 中,BC 边上的中线长为m a ,用三边a 、b 、c 表示m a ,其公式是__________. 17．若 a 、b 、c 为△ABC 的三边,其面积S △ABC =123,bc =48,b －c =2,则a=_________. 三．解答题共32分18．10分已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3, 且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为θ．Ⅰ求θ的取值范围；Ⅱ求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值．19．10分某市现有自市中心O 通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点,使环城公路在A 、B 间为直线段,要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ,且使A 、B 间距离|AB |最小,请你确定A 、B 两点的最佳位置.20．12分已知向量错误!＝cos 错误!x ,sin 错误!x ,错误!＝cos 错误!,－sin 错误!,其中x ∈0,错误!1求错误!·错误!及|错误!＋错误!|；2若fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|的最小值为－错误!,求λ的值选择题答案见题目.参考答案13、4λ<且94λ≠-14．60ο15．605 16．222)(221a c b -+17．a =213或237.18．解：Ⅰ,6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ① ,sin ||||21θBC AB S ⋅=② ②÷①得：,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ-----2分 A B 30°,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈．--------------------------------------5分 Ⅱθθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f ＝２θθ2cos 2sin ++＝)42sin(22πθ++．]43,127[42πππθ∈+．--------------------------------8分当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ；当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf ．------------------------------------------10分19．作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC ＝α,于是|AB |＝|AC |＋|BC |＝10tan α＋10tan 120°－α ＝10错误!＝错误! ＝错误! ＝错误!当cos 2α－120°＝1,即2α－120°＝0°,也即α＝60°时, |AB |最小,可求得,此时|OA |＝|OB |＝20km 满足条件. 20、1错误!·错误!＝cos 错误!xcos 错误!－sin 错误!xsin 错误!＝cos 2x ,|错误!＋错误!|＝错误!＝2cosx2fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos2x －1－4λcosx ＝2cosx －λ2－2λ2－1注意到x ∈0,错误!,故cosx ∈0,1,若λ＜0,当cosx ＝0时fx 取最小值－1.不合条件,舍去.若0≤λ≤1,当cosx ＝λ时,fx 取最小值－2λ2－1,令－2λ2－1＝－错误!且0≤λ≤1,解得λ＝错误!, 若λ＞1,当cosx ＝1时,fx 取最小值1－4λ, 令1－4λ＝－错误!且λ＞1,无解综上：λ＝错误!为所求.A OB 30° Cα。

(完整版)平面向量单元测试卷含答案

平面向量单元达标试卷一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简BC AC AB --等于( ) A ．0B ．2BCC ．BC 2-D ．AC 22．已知四边形ABCD 是菱形，有下列四个等式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+，其中正确等式的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝( )A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+4．已知向量a 、b ，且b a 2+=MN ，b a 65+-=NQ ，b a 27-=QR ，则一定共线的三点是( )A ．M 、N 、QB ．M 、N 、RC ．N 、Q 、RD ．M 、Q 、R5．下列各题中，向量a 与b 共线的是( )A ．a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2B ．2121e e a +=，2121e e b += C ．a ＝e 1，b ＝－e 2D ．2110131e e a -=，215132e e b +-=二、填空题6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________.7．化简=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8．已知数轴上三点A 、B 、C ，其中A 、B 的坐标分别为－3、6，且｜CB ｜＝2，则｜AB ｜＝________，数轴上点C 的坐标为________．9．已知2a ＋b ＝3c ，3a －b ＝2c ，则a 与b 的关系是________．三、解答题10．已知向量a、b，求作a＋b，a－b．(1)(2)(3)(4)11．如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC＝a ，BD＝b．试用a、b表示DE、CE和MN．12．已知梯形ABCD中，AB∥DC，设E和F分别为对角线AC和BD的中点，求证EF 平行于梯形的底边．单元达标1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．丙地在甲地南偏西45°方向上，且距甲地2000千米． 7．b a 181135- 8．9，4或8 9．a ＝b10．图略11．由三角形中位线定理，知a 2121==BC DE ，b a +-=++=DE BD CB CE b a a +-=+2121．b a a -+-=++=++=21412121BC DB ED BN DB MD MN 即b a -=41MN ．12．证：a =AB ，b =BC ，c =CD ，d =DA ，则a ＋b ＋c ＋d ＝0，∵DC AB // 故可设c ＝m a (m 为实数且m ≠－1)，又BF AB EA EF ++=，但2121==CA EA )(21)(d c +=+DA CD ，)(21)(2121c b +=+==CD BC BD BF 故++=)(21d c EF a ＋21(b ＋c )＝21(a ＋b ＋c +d )＋21(a ＋c )＝21(a ＋c )＝21(m ＋1)a ，所以AB EF //，又因为EF 与AB 没有公共点，所以EF ∥AB ．。

平面向量单元测试 Word版含答案

平面向量一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在边长为3的等边三角形ABC 中，2CD DB = ，则AB CD ⋅等于( )A．-B ．3-C ．3D．【答案】C2．12、无论),,(321x x x a =，),,(321y y y b =，),,(321z z z c =,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( ) A ． 232221232221332211,cos y y y x x x y x y x y x b a ++⋅++++>=<B ．若//，//，则//C ． c b a ∙∙)()(c b a ∙∙=D ．【答案】D3．下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += ( )A ．B ．C ． 4D ． 13【答案】A5．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是( )A. [7,)+∞B.（0，16）C. (7,16] D ．[7,16)【答案】D6．设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值( ) A ．23 B ．9 C ．2918+ D ．223+ 【答案】D7．对于非0向时a,b,“a//b ”的正确是( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A8．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B 10．在ABC ∆中，b AC c AB ==,。

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是（）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14．矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

平面向量单元测试题(含答案)

2 ，⃗⃗⃗⃗⃗
=
2 ⃗⃗⃗
1 − ⃗⃗⃗
2 ．问：是否存在实数 k，使得 A，B，D 三点共线，若存在，求出 k 的值；
若不存在，说明理由．
21. 如图，在▱ABCD 中，M 是 AB 的中点，CM 与 BD 相交
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数的值．
于点.若
2 的夹角
8. 已知单位向量⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗
为
(
)
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
9. 在△ 中，∠ = 90∘ ， = 1，设点 P，Q 满足⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
，⃗⃗⃗⃗⃗
= (1 − ) ⃗⃗⃗⃗⃗
，
∈ .若⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. 设⃗，⃗为非零向量，且满足| ⃗ − ⃗ | = | ⃗ | + | ⃗ |，则⃗与⃗的关系是( )
A. 既不共线也不垂直
B. 垂直
C. 同向
D. 反向
⃗
⃗

⃗ = ( ⃗ + ⃗ ), ∈ ，则点 P
3. 在ΔABC中，⃗⃗⃗⃗⃗
OA =
⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗
OP =
⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗ ，将
⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得
设
到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出⃗⃗⃗⃗⃗
．
本题考查了平面向量的分解、向量相等、向量的共线等．大胆设出未知数，根据向量
【解析】解：依题意，设⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
，⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
，
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗

平面向量及其应用单元测试题+答案百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！2．下列说法中正确的是（）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（）A ．B ．C ．8D ．6．下列各式中，结果为零向量的是（） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形8．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-9．下列命题中，结论正确的有（） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)12．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（） A ．72B ．144C ．150D ．30017．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（）A ．5B ．22C ．4D ．1618．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥19．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定20．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b cA B B===，则ABC ∆的面积为（） A ．2B ．4C ．2D ．2221．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）A ．43-B ．34-C ．34D ．4322．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m23．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B．38C ．25D ．421 24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+D ．1(62)2+26．题目文件丢失！27．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4B ．3C ．-4D ．528．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）A ．34B ．58C ．38D ．2329．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．430．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（）A ．2-B ．3-C ．2D ．531．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（）A ．6B C ．D32．已知ABC 中，1,30a b A ︒===，则B 等于（）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°33．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+34．题目文件丢失！35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．C ．12D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断．判断两个向量是否共线即可．结合向量数量积与夹角关系进行判断．根据向量线性运算进行判断【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误，．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-，则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．3．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解.在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确. 故选：解析：BD 【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.7．AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC 【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确；对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab+-=>，A 为锐角.但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.8．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.9．BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD 【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.10．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.11．ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得解析：ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.12．AD 【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴，即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD 【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.13．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．14．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.15．ABD 【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对解析：ABD 【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯，所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 17．C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 18．A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 19．B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2||b ta -的最小值也为1，即222min244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 20．A 【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】由正弦定理可知2sin sinsin a b cr A B C=== 已知sin cos sin a b cA B B===sin cos B B =和sin sin C B =，所以45B =，45C=，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABCS=⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---，故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 22．D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 23．A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN为ABC 的中位线，且32 OMON=，∴36132255410OAC OMC CMN ABC ABCS S S S S⎛⎫==⨯=⨯=⎪⎝⎭，即12310SS=．选A．24．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC+-=+，所以()0BC AB AC⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD⊥，进而可得AB AC=，即可得出答案.【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC+-=-+-=+，所以()0BC AB AC⋅+=，取BC的中点D，连结AD，并延长AD到E，使得AD DE=，连结BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形，所以AB AC AE+=.所以0BC AE⋅=，即BC AD⊥，故AB AC=，ABC是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.25．A【分析】由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-．【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°4=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =），故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．26．无27．C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 28．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==，所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确．故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．30．A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.32．D【分析】由正弦定理可得，3sin 2B =，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得，sin 3sin b A B a ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 33．A 【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.34．无35．A【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值。

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。

b-1/2a。

B。

a-1/2b。

C。

b+1/2a。

D。

a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。

若a-b=0，则a=bB。

若ab=0，则a=0或b=0C。

若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。

若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。

-2.B。

2.C。

-1/2.D。

不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。

a+b=a-b。

B。

a+b=a+b。

C。

a-b=a-b。

D。

a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。

3/2.B。

-3/2.C。

1/2.D。

06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。

3.B。

3/2.C。

53.D。

53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。

长方形。

B。

平行四边形。

C。

菱形。

D。

梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。

(π/3，-3)。

B。

(π/6，3)。

C。

(π/12，-3)。

D。

(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。

4.B。

1.C。

3.D。

平面向量及其应用单元测试题含答案

一、多选题1 .己知口5忑是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A. 因5防|B.若出6 =。

6且则5=5c.两个非零向量a, 6,若I 万-5I =I 万i + ibi,则后与B 共线且反向D.已知5 = （1,2）, 5 = （1,1）,且万与5 + /1〃的夹角为锐角，则实数丸的取值范围是 5 ,4-00 1 3 J2 .给出下列结论，其中真命题为（）A .若7囚=0’ 则6=0B .向量3、B 为不共线的非零向量，则（£ 3）=7万3 .若非零向量［、B 满足,+5『=|浦+ ］邛，则［与B 垂直D .若向量£、B 是两个互相垂直的单位向量，则向量i+B 与的夹角是巳 23.在△48C 中，点E, F 分别是边8c 和4c 上的中点，P 是AE 与8F 的交点，则有（） A. AE = ^AB+^ACB. 6 = 2升乙乙-> 1 -> 1 ->T 2 T 2 TC. CP = — CA+ — CBD. CP = —CA T ——CB3 3334.设P 是△A6C 所在平面内的一点，血+/=3衣则（） B . PB +PC = 6D. PA + PB + PC = 05 .在△△6c 中，内角4、8、C 所对的边分别为a 、b 、c,不解三角形，确定下列判断错误的是（） A. 8=60。

，c=4, b = 5,有两解 B. 8=60% c=4, b=3.9,有一解 C. 8=60。

，c=4, b=3,有一解 D. 8 = 60°, c=4, b = 2,无解6 .下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知4、8、C 是平面中三点，若加,微不能构成该平面的基底，则4、8、C 共线 8 .若 4 ・ B B • C 且 5 H 。

,则 4 = c c.若点G 为加sc 的重心，则G 4+G 月+G 3 = 6D.已知£ = （1,-2）,石二（2瓜），若£, B 的夹角为锐角，则实数人的取值范围为义<1A. PA + PB = o C ・ PA + AB = PB7.在中，。

平面向量单元测试卷(解析版)

第二章平面向量单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2019春•玉山县校级期中）下列命题中，正确的是( ) A ．有相同起点的两个非零向量不共线B ．若 ||||a b =r r 且//a b r r ,则a b =rrC ．若a b rr 与共线，b c r r 与共线，则a c r r 与共线D ．向量a b r r 与不共线，则a r与b r 都是非零向量【分析】由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断【答案】解：A ．有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，因此A 错；.B a b =rr 充要条件是||||a b =r r 且方向相同，因此B 错； C ．当0b =r r时，不成立，因此C 错；D ．向量a b r r 与不共线，则a r与b r 都是非零向量，D 对．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的定义与零向量的应用，属基础题．2．（5分）（2019•新乡三模）设向量1e u r ，2e u u r 是平面内的一组基底，若向量123a e e =--u r u u r r与12b e e λ=-u r u u r r 共线，则(λ= ) A ．13B ．13-C ．3-D ．3【分析】由题得存在R μ∈，使得a b μ=r r，得到关于μ，λ的方程组，解之即得解．【答案】解：Q a r与b r 共线，∴存在实数R μ∈，使得a b μ=rr，即12123()e e e e μλ--=-u r u u r u r u u r ，故3μ=-，1λμ-=-，∴13λ=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．3．（5分）（2019秋•禅城区期中）已知点(3,2)M -，(5,1)N --，且12MP MN =u u u r u u u u r，则点P 是( )A ．(8,1)-B ．3(1,)2--C ．3(1,)2D ．(8,1)【分析】设出P 的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【答案】解：设(,)P x y ，点(3,2)M -，(5,1)N --，且12MP MN =u u u r u u u u r，可得13(53)2x -=--，解得1x =-．12(12)2y +=-+，解得32y =-．3(1,)2P --．故选：B ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的平行，是基础题．4．（5分）（2018秋•荆门期末）如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为( )A ．100JB ．50JC ．D ．200J【分析】根据力F 做功公式||||cos W F S θ=⨯⨯，计算即可．【答案】解：力F 做的功为1010cos6050()W J =⨯⨯︒=．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．5．（5分）（2019春•绵阳期末）设向量(1,2)a =-r ，(2,3)b =-r ，(1,1)c =-r，若a mb nc =-r r r ，（其中m ，n 为实数），(,)d m n =r，则( ) A ．c d =r rB ．//c d r rC ．0c d +=r rD ．c d ⊥r r【分析】利用向量相等、坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【答案】解：Q a mb nc =-r r r，(1∴，2)(2m -=，3)(1n ---，1)(2m n =+，3)m n --，∴2132m n m n +=⎧⎨--=-⎩，解得1m =，1n =-．∴(1,1)d =-r，∴c d =-rr．∴//c d rr，故选：B ．【点睛】本题考查了向量相等、坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（5分）（2018秋•南昌期末）已知非零向量a r、b r ，且2AB a b =+u u u r r r ，56BC a b =-+u u u r r r ，72CD a b =-u u u r r r ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点【答案】解：由向量的加法原理知5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r，又两线段过同点B ，故三点A ，B ，D 一定共线．故选：A ．【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．7．（5分）（2019秋•南关区校级期末）已知非零向量a r ，b r 满足||4||b a =r r ，且(2)a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π【分析】由题意可得可得2(2)20a a b a a b +=+=r r r r r r g g，设a r与b r 的夹角为θ，求得1cos 2θ=-，结合θ的范围，求得θ的值．【答案】解：由已知非零向量a r，b r 满足||4||b a =r r ，且(2)a a b ⊥+r r r ，可得2(2)20a a b a a b +=+=r r r r r r g g，设a r与b r 的夹角为θ，则有22||||4||cos 0a a a θ+=r r r g g ，即1cos 2θ=-，又因为[0θ∈，]π，所以23πθ=，故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化．本体属于基础题，注意运算的准确性．8．（5分）（2019•福州一模）在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =u u u u r u u u r，则(CM CA =u u u u r u u u r g )A B ．C ．6 D ．152【分析】将CM u u u u r转化为三角形边上的向量后再相乘可得．【答案】解：依题意得：121211215()333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA =+=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ，故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9．（5分）（2019秋•怀仁市校级月考）已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若()//(2)ma nb a b +-r r r r ，则mn 等于( ) A ．2-B ．2C ．12-D ．12【分析】利用向量的共线的充要条件，求出mn 的关系，即可得到结果．【答案】解：向量(2,3)a =r，(1,2)b =-r ， (2,32)ma nb m n m n +=-+r r， 2(4,1)a b -=-r r， ()//(2)ma nb a b +-r r r r，可得：1282m n n m +=-，则12m n =-．故选：C ．【点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（2019春•沈阳期末）如图，O 是ABC ∆的重心，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，D 是边BC 上一点，且3BD DC =u u u r u u u r，则( )A ．151212OD a b =-+u u u r r rB ．151212OD a b =-u u u r r rC ．151212OD a b =--u u u r r rD ．151212OD a b =+u u u r r r【分析】由O 为ABC ∆的重心，则点E 为BC 的中点，且12,()2AO OE AE AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又由3BD DC =u u u r u u u r ，得：D 是BC 的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则1111115()()343241212OD OE ED AE BC AB AC AC AB a b =+=+=⨯++-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rr ，故得解【答案】解：如图，延长AO 交BC 于E ，由已知O 为ABC ∆的重心，则点E 为BC 的中点，且12,()2AO OE AE AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由3BD DC =u u u r u u u r，得：D 是BC 的四等分点，则11111()()34324OD OE ED AE BC AB AC AC AB =+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r151212a b =-+r r ，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题．11．（5分）（2019•潍坊模拟）点(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第二象限内，已知56AOC π∠=，||2OC =u u u r ，且OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λ，μ的值分别是( )A ．1-B ．1C ．1，D 1-【分析】由已知易得：(1,0)OA =u u u r ，(0,1)OB =u u u r ，(OC =u u u r 1)，进而由OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，得到λ，μ的【答案】解：Q 点(1,0)A ，(0,1)B ， ∴(1,0)OA =u u u r ，(0,1)OB =u u u r，56AOC π∠=Q ，||2OC =u u u r ，∴5(2cos 6OC π=u u u r ，52sin )(6π=1)，Q OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，(∴1)(λ=，)μ即λ=1μ=，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中根据平面向量的基本定理构造关于λ，μ的方程是解答的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．（5分）（2019•宝山区一模）已知向量(1,2)a =r ，(0,3)b =r ，则b r 在a r的方向上的投影为．【分析】根据投影公式为||cos ||a bb a θ=r r r g r ，代值计算即可．【答案】解：由于向量(1,2)a =r，(0,3)b =r ，则b r 在a r的方向上的投影为||cos||a b b a θ===r r r g r ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．13．（5分）（2020•南通模拟）已知平面向量a r ，b r ，c r满足：||1c =r ，2b c a +=r r r ，且||||b b c =-r r r ，则()a b c -r r r g 的值为14．【分析】由2b c a +=r r r 可得，22224b b c c a ++=r r r r r g ；由||||b b c =-r r r 可得，2222b b c c b -+=r r r r r g ，从而可求出2214b c a b =-r r r r g ．而根据2b c a +=r r r 可得出2b a c =-r r r ，从而得出221144a c ab =-+r r r r g ，这样即可求出()a b c -r r r g 的【答案】解：Q 2b c a +=r r r ，∴22224b b c c a +⋅+=r r r r r①||||b b c =-r r r Q ，∴2222b b c c b -⋅+=r r rr r ②，∴①-②得，2244b c a b =-r rrrg ，∴2214b c a b =-r rrrg ，由2b c a +=r r r 得，2a c b -=r r r ，∴22244a a c c b -+=rr r r rg ，且||1c =r，∴2222211114444a c abc a b =-+=-+r r r r r r r g ，∴1()4a b c a c b c -=-=r r r r r r r g g g ．故答案为：14．【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足2BN NC =u u u r u u u r，若AB AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，则λμ+的值为 12．【分析】所以12()()23AB AM AN AD AB AB AD λμλμ=+=+++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，整理后结合向量基本定理即可求解．【答案】解：平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足2BN NC =u u u r u u u r，所以12()()23AB AM AN AD AB AB AD λμλμ=+=+++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，21()()32AD AB λμλμ=+++u u ur u u u r ，则根据平面向量基本定理可得，203112μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解可得，1λ=-，32μ=，则12λμ+=，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题．三．解答题（共6小题，满分70分）15．（10分）如图，在梯形ABCD 中，12DC AB =，E 为AB 的中点，设AE a =u u u r r ，CE b =u u u r r ，试用a r，b r 表示下列向量：（1）AD u u u r ；（2）CD u u u r；（3）BE u u u r ；（4）ED u u u r ；（5）AC u u u r ；（6）CB u u u r ．【分析】根据平面向量的加法与减法运算的几何意义，结合图形，写出结果即可．【答案】解：梯形ABCD 中，12DC AB =，E 为AB 的中点，且AE a =u u u r r ，CE b =u u u r r ；∴（1）AD EC CE b ==-=-u u u r u u u r u u u r r，（2）CD EA AE a ==-=-u u u r u u u r u u u r r ，（3）BE EA a ==-u u u r u u u r r ，（4）ED EA AD a b =+=--u u u r u u u r u u u r r r ，（5）AC AE EC a b =+=-u u u r u u u r u u u r r r ，（6）CE DE ED a b ==-=+u u u r u u u r u u u r r r ．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算问题，向量的加减运算是用向量解决问题常用的方法，是基础题目．16．（12分）（2019秋•赫山区校级期末）（1）已知(2,2)a =-r ，求与a r 垂直的单位向量c r的坐标；（2）已知(3,2)a =r，(2,1)b =-r ，若a b a b λλ++r r r r 与平行，求实数λ的值．【分析】（1）设(,)c x y =r，则有222201x y x y -=⎧⎨+=⎩，解之可得；（2）可得向量a b a b λλ++r r r r与的坐标，由平行可得关于实数λ的方程，解之即可．【答案】解：（1）设(,)c x y =r，则有222201x y x y -=⎧⋯⎨+=⎩（3分）解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴c =r，或(c =⋯r （6分）（2）Q (32,21)a b λλλ+=+-r r ，(32,2)a b λλλ+=+-⋯r r（8分）因为a b a b λλ++r r r r与平行，所以(32)(2)(21)(32)0λλλλ+---+=⋯（10分）化简可得210λ-=，解得1λ=±． ⋯（12分）【点睛】本题考查平面向量的平行于垂直的应用，涉及模长公式，属基础题．17．（12分）（2019春•鞍山期中）已知向量a r与向量b r 的夹角为45︒，其中a =r 1b =r ．（1）求2a b +r r的值；（2）若向量2a b λ-r r与3a b λ-r r 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．【分析】（1）根据条件可求出1a b =rr g ，从而可求出2(2)10a b +=r r，从而得出|2|a b +=r r ；（2）根据2a b λ-r r 与3a b λ-r r 的夹角是锐角即可得出(2)(3)0a b a b λλ-->r r r r g，并且2a b λ-r r与3a b λ-r r 不同向．根据(2)(3)0a b a b λλ-->r r r r g 即可得出16a <<，根据2a b λ-r r与3a b λ-r r不同向即可得出λ，从而得出λ的取值范围．【答案】解：（1）Q 向量a r与向量b r 的夹角为45︒，且a =r 1b =r ； ∴1a b =r r g ；∴222(2)4424410a b a a b b +=++=++=r rr r r r g ；∴|2|a b +=r r；（2）Q 2a b λ-r r与3a b λ-r r 的夹角是锐角；∴(2)(3)0a b a b λλ-->rrrrg，且2a b λ-rr与3a b λ-rr不同向； ①2222(2)(3)2(6)34(6)30a b a b a a b b λλλλλλλλ--=-++=-++>r r r r r r r r g g ；解得16λ<<；②当2a b λ-r r与3a b λ-r r 同向时，设2(3)a b k a b λλ-=-r r r r ，0k >，则：23k k λλ=⎧⎨=⎩；解得k =∴k ≠综上得，实数λ的取值范围为(1U ．【点睛】考查向量夹角的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，共线向量基本定理． 18．（12分）（2019秋•闵行区期中）已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r．（1）若P 是BC 的中点，求λμ+的值；（2）若A 、B 、P 三点共线，求证：1λμ+=．【分析】（1）P 是BC 的中点时，可得出12OP OA OB =-+u u u r u u ur u u u r ，从而根据平面向量基本定理得出12λμ+=；（2）根据A ，B ，P 三点共线可得出AP u u u r 与AB u u u r 共线，从而得出AP k AB =u u u r u u u r，进而得出(1)OP k OA kOB =-+u u u r u u u r u u u r ，这样根据平面向量基本定理即可得出1λμ+=．【答案】解：（1）若P 是BC 的中点，则111()()222OP OB OC OB OB OA OA OB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，121λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴12λμ+=；（2）证明：A Q ，B ，P 三点共线，∴AP u u u r 和AB u u u r共线，∴存在实数k ，使AP k AB =u u u r u u u r ，∴()OP OA k OB OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP k OA kOB =-+u u u r u u u r u u u r ，又OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，11k k λμ+=-+=．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．19．（12分）（2019春•辽宁期末）如图，已知(2,1)OP =u u u r ，(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，设Z 是直线OP 上的一动点．（1）求使ZA ZB u u r u u u r g 取最小值时的OZ u u u r ；（2）对（1）中求出的点Z ，求cos AZB ∠的值．【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA ，ZB 的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ ；（2）求得2t =的向量ZA ，ZB ，以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到．【答案】解：（1）Z Q 是直线OP 上的一点，∴//OZ OP u u u r u u u r ，设实数t ，使OZ tOP =u u u r u u u r ，∴(2OZ t =u u u r ，1)(2t =，)t ，则(1ZA OA OZ =-=u u r u u u r u u u r ，7)(2t -，)(12t t =-，7)t -，(5ZB OB OZ =-=u u u r u u u r u u u r ，1)(2t -，)(52t t =-，1)t -．∴(12)(52)(7)(1)ZA ZB t t t t =--+--u u r u u u r g22520125(2)8t t t =-+=--．当2t =时，ZA ZB u u r u u u r g 有最小值8-，此时(2OZ t =u u u r ，)(4t =，2)．（2）当2t =时，(12ZA t =-u u r ，7)(3t -=-，5)，||ZA =u u r ，(52ZB t =-u u u r ，1)(1t -=，1)-，||ZB =u u u r故cos ||||ZA ZB AZB ZA ZB ∠==u u r u u u r g u u r u u u r g==．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标运算，以及向量夹角公式，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）（2019•浦东新区一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b c =，A∠的平分线为AD ，若AB AD mAB AC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ．（1）当2m =时，求cos A（2）当a b ∈时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ；从而可得1()22AB AB AC AB AC +=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ；从而可得1cos 3||||AB AC A AB AC ==u u u r u u u r g u u u r u u u r ；（2）222||||cos 2b a AB AC AB AC A -==u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，从而可得2211112222()AB AD AB m a AB AC AB AC b==+=+-u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r g g ；从而求取值范围．【答案】解：（1）由题意得，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ；故1()22AB AB AC AB AC +=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ；故23AB AB AC =u u u r u u u r u u u r g ；故1cos 3||||AB AC A AB AC ==u u u r u u u r g u u u r u u u r ；（2）||||cos AB AC AB AC A =u u u r u u u r u u u r u u u r g g 2222b a -=；故21122AB AD AB m AB AC AB AC ==+u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r g g 222122b b a =+- 21122()a b =+-；Q a b ∈，24()(1,)3a b ∴∈；故213122()a b <<-；在23112222()a b<+<-．【点睛】本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用，属于中档题．。

《平面向量》单元测试题

《平面向量》复习题一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若125,3BC e DC e OC ==则=（）A ．121(53)2e e +B ．121(53)2e e -C ．211(35)2e e -D ．211(53)2e e -2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①AB BC =②||||AB BC = ③||||AB CD AD BC -=+ ④22||||4||AC BD AB +=2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在 ABCD 中，设,,,AB a AD b AC c BD d ====，则下列等式中不正确的是（）A ．a b c +=B ．a b d -=C ．b a d -=D ．c a b -=4．已知向量a b 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||a b a b -=-B ．||||a b a b +=-C ．||||||a b a b +=-D ．||||||a b a b +=+5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为( )A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）6．与向量(12,5)d = 平行的单位向量为（）A ．)5,1312( B ．)135,1312(-- C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±± 7．若||41a b -=-||4,||5a b ==，则a b 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．108．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（）A ．3-B ．1-C ．1D ．39．设k ∈R ，下列向量中，可与向量(1,1)q =-组成基底的向量是（）A ．(,)b k k =B ．(,)c k k =--C ．22(1,1)d k k =++D ．22(1,1)e k k =--10．已知||10,||12a b ==，且1(3)()365a b ⋅=-，则a b 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150° 二、填空题12．非零向量,a b 满足||||||a b a b ==+，则,a b 的夹角为 .13.△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______14．在四边形ABCD 中，若,,||||AB a AD b a b a b ==+=-且,则四边形ABCD 的形状是15．若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB =________若3a =,2b =，且a 与b 的夹角为060，则a b -=________16．已知(3,2)a =，(2,1)b =-，若a b a b λλ++与平行，则λ=.17．已知e 为单位向量，||a =4，a e 与的夹角为π32，则a e 在方向上的投影为 .若1a =,2b =，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥()ma b -，则m 的值为________三、解答题（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____．18．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，求cos θ= 已知非零向量,a b 满足||||a b a b +=-,求证: a b ⊥ 19．已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？20．设12,e e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.已知向量a 与b 的夹角为60，||4b =,(2)(3)72a b a b +⋅-=-，求向量a 的模。

平面向量及其应用单元测试题+答案

一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos B =C ．a c +=D ．a c +=3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（） A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒ 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（）A ．B ．C ．8D ．8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（）A BC D ．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 11．下列各组向量中，不能作为基底的是（） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量二、平面向量及其应用选择题16．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（）A ．102B ．106C ．103D ．1017．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =，则边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:519．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <20．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)223．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒=，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（） A 239B 2633C 833D ．2324．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（）A ．4B ．6C ．10D ．1425．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7226．题目文件丢失！27．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 30．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．1431．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（）A ．6B ．332C ．33D 333．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：，可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--，整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵ABC S =△3b =，∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得3R =，所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确；对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确．故选：ABD. 【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．AD 【分析】设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则，当点P 靠近点时，，则，解得，所以，当点P 靠近点时，，则，解得，所以，故选：解析：AD 【分析】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，当点P 靠近点1P 时，1212PPPP =，则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭，当点P 靠近点2P 时，122PP PP =，则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．CD 【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.10．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.11．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.12．CD 【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.14．AD 【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴，即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD 【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.15．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CDBDC CBD=可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB 的高是米；故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 17．A 【分析】根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==，由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===，设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2aR A===，1R ∴=，所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．A 【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==，故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 19．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 20．C 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 21．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-．【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =），故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 23．A 【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=，解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．C 【解析】【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=，再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 26．无27．D【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==，当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项.28．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．29．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +， E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．30．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.31．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△，则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=，即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==，则：8MC ME =，所以37AM AC =，解得：37AM AC →→=，同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△，则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=，即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==，则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-，所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-，得：17AN AB =，解得：17AN AB →→=，四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，所以1377AF AB AC →→→=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 32．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11333sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.33．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.35．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-．因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-．故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

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