例说影响数学问题解决的因素

例说影响数学问题解决的主要因素

摘要：数学问题的解决是一项非常复杂的心理活动，受各方面因素的影响.本文以实例为基础，选取思维定势、问题表征、元认知、基础经验和情感因素等五个角度，来说明它们对数学问题解决具有重要的作用.

关键词：问题解决；思维定势；元认知；问题表征；情感

数学问题的解决是一项非常复杂的心理活动，受多方面因素的影.从已有的研究来看，大体上可以分为两类：内部因素和外部因素.下面我们通过一些实例来说明影响数学问题解决的因素.

1.思维定势

思维定势是一种思维的定向预备状态，是在思维不受到新干扰的情况下，人们依照既定的方向或方法去思考问题.它容易使人们把面临的问题和以前解决过的问题进行比较；把当前情境和已有知识经验联系起来，去识别、理解那些意义不明、特征不清、条件隐蔽的对象，从而为问题解决做好准备.它对问题解决有积极作用，可以提高学生解题能力，加快解题速度，这是显而易见的.但它也有消极的一面，它可能产生干扰作用，使学生思维僵化，解题方法固定化，影响学生思维的拓展，更严重的会使解题过程中出现原则性错误. 例1．求二次函数2

y ax bx c =++的最大值或最小值，通常用“配方法”：

2y ax bx c =++=22222b b b a x x c a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 因此，当a <0时,2b x a

=-时，24=4ac b y a -最大； 当a >0时，2b x a

=-时，24=4ac b y a -最小. 在学习过程中，许多学生都把注意力放在“配方”和2

02b x a ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭

上，而对于是否能取2b x a

=-则往往不予注意。若教师在开始训练阶段，对这点没有给予充分重视，则经过一段时间的强化训练后，学生就会形成“不顾x 的取值范围”的定势.当遇到下面类似的问题时就会产生错误： ,αβ是方程244+2=0x mx m -+的两个根，问m 为何值时，22αβ+有最小值？ 解：因为()222222117+=+-2=2416m m m αβαβαβ+⎛⎫-=-- ⎪⎝

⎭，

又22

αβ+0≥，因此当14m ±=时，22αβ+有最小值0.

还有许多学生得出最小值为1716

-. 出现上述错误的原因不是因为学生头脑中缺乏相关知识，而是因为用“配方法”求“最值”的规则在一定的强化训练后已经程序化了，形成了一种定势.这样以来，学生就很难对它进行有意识的检验和评价，因而很少甚至绝不会想到再考虑另一些更可取的方法.

2.问题表征

有研究表明，问题表征影响着问题解决的难易程度，甚至是问题能否成功解决的关键。（Hayes & Simon,1976;Newell & Simon,1972）.对于同一个问题可以有两种或两种以上等价的表征方式，尽管这些表征方式都是正确的，但利用不同的表征方式解题时，就对解题者提出了不同的要求.可以从下例略见一二.

例2，证明：如果三个实数的倒数和与这三个数和的倒数相等，那么这三个数必有两个互为相反数.

对于此题，主要考察的是让学生能用数学数式表征出文字性的语句.此题的不同表征会很大程度上影响这道题的有效解答，它依赖于对文字语言转换成数式的恰当表征.以数式表征为：,,a b c R ∈,,,a b c 均不为零，且满足0a b c ++≠，若有1111a b c a b c ++=++，则()()()0a b b c a c +++=.而关键在于结论中的“那么这三个数必有两个互为相反数”的等价表征()()()0a b b c a c +++=.学优生大部分都能清晰明了的表征出这个问题的所有需要的数式表征，只有少数学优生在化简的过程中出现一些小问题.而后进生大都只能将结论前的语言文字以数式表征出来，对于此题中最关键的结论表征不出，甚至有些学困生对语言文字都不能正确的表征，导致后进生无法解出这道题.

3.元认知

数学问题解决中的元认知，是指学生对自己解题活动过程的认识和调控.它在解题中起着调控的作用，使解题者始终处于一种清醒的状态，不至于走进死胡同.当一种方法行不通时，有些人能及时调整策略、采取适宜的方法来解决问题；有些人则陷入困境不能自拔，不能对问题重新表征，调整解策略.可见，元认知在问题解决中起着重要作用，元认知水平的高低是问题能否成功解决的重要因素.

例4.（1999年高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选择方法共有＿种.

不少学生首先企图判断这一道题是排列还是组合，并打算列式计算.但“因间隔不小于6垄”无法处理而百思不得其解.把一道通过简单的一一列举，在30秒内就可求解的问题，变得神秘莫测.除过思维定势之外，这不能不归结为元认知水平.

例5．（1999年高考题）如图多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为＿（A ）9/2,(B)5,(C)6，(D)15/2.

由于题给多面体是是课本上没有出现过的楔形几何体，诸多

考生不知多措.而思路灵活者通过观察，很容易发现EF 与平面AC

的位置不确定，于是采用特殊值法可以认为BCF ∆所在平面与平

面AC 垂直，从而把多面体分截为一个三棱柱与一个四棱锥，即可

快速求解.这种不拘泥于解题套路的选择、判断、分解、组合与建

构，应该归结为元认知的调控作用.

4.知识经验

问题解决的基本形式是化归，即把未知的问题化归为已知的问题；把非典型的问题化归为典型的问题；把非常规的问题化归为常规的问题；等等。而化归的前提则是解题者应当具备一定的基础知识和相关的解题经验。基础知识薄弱，解题经验不足，要解决问题是有一定困难的.

例如，有些学生在考试时一个题都不会作，原因在于他上课从来未听过，课后也从不翻书.他的头脑或认知结构中就没有这些基础知识和解题经验可供提取.

一位朋友曾说起一件教学实事，就发生在她所教的两个班里：在一次测验中，有这样一道题“已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S ”.平时两个水平相当的班，其中一个班（甲）有70%以上的人都做对了这道题，而另外一个班（乙）仅有三个人答对了. 这道题只要先写出前几项，就可以利用分组求和来解决.而两个水平相当的班级怎么会出现如此大的悬殊呢？这说起来也巧，就在测验前一晚的自习上，朋友在甲班曾讲过下面这道题，“求下列数列的和，()()1357121n

n S n =-+-+-+--”这道题实际上就是采用分组求和来解决的.朋友在讲这道题时，是先让学生自己寻找解决问题的方法，观察这道题的特点，逐步解决问题.学生亲身经历了探求问题的方法，积累了关于这一类型题的基本经验，并在老师的引导下总结了求解这类问题的方法.

对甲班学生来说，在面对测验题时，认知结构中存在解这类题的经验（基本题型），应对起来就相对容易些.而乙班大多数学生由于没有这一经验，作起来就显得比较麻烦.这一案例足以说明解题经验对问题解决的重要作用。

5.情感因素

研究表明，动机和信念在问题解决的过程中同样有着重要的意义.波利亚曾经指出：“一个你已经很好了解并应该去做的问题还不能说就是你的问题，只有当你愿意去解它，下决心要去做它，它才真正变成了你的问题，你也才真正有了一个问题……你卷进问题的深浅程度将取决于你了解它的愿望的殷切程度，除非你有十分强烈的愿望，否则要解出一个真正的难题的可能性是很小的.”蒙太格认为，成功的问题解决有赖于积极的数学学习态度、解题兴趣、独立学习，以及对本身能力的自信，低动机与低的自我概念将严重影响学习的效果.下面看一个实例：

例 4.在△ABC 中，90ABC ∠=︒，AC BC =.直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .

⑴当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ②DE AD BE =+. ⑵当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-.

⑶当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

图1 图2 图3

这是我辅导的一个学生的期中考试题，是试卷的最后一题.此题与之前讲过的另一题目