2014年全国一卷高考理科数学试卷与答案

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学

第Ⅰ卷（选择题共 60 分）

一．选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合

A={ x | x

2

2x30 }

，

B={

－≤＜＝，则A B

=

x | 2 x 2

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）(1i )3

2.(1i )2 =

A .1 i

B .1 i

C . 1 i

D .1 i

3.设函数f (x)，g (x)的定义域都为R，且f ( x)时奇函数，g( x)是偶函数，则下列结论正确的是

A .f ( x) g (x)是偶函数

B .|f ( x)|g( x)是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .|f (x) g (x)|是奇函数

4.已知F是双曲线C：x2my23m( m0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A.3

B .3

C .3m

D .3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日

都有同学参加公益活动的概率

A .1

B .

3

C .5

D .

7 8888

6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边

为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x)，则y=f ( x)在[0,]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的a,b, k 分别为1,2,3，则输出的M=

A.20

B .

16

C .7

D .

15 3528

8.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin

，则

22cos

A .3

2B .2 C . 3

2

D .2

22

9.不等式组x y 1

的解集记为 D .有下面四个命题：

x 2 y4

p1：( x, y) D , x 2 y 2 ，p2：( x, y) D , x 2y 2,

P3：( x, y) D , x 2 y 3 ，p4：( x, y) D , x 2 y1.

其中真命题是

A .p2，p3

B .p1，p4

C .p1，p2

D .p1，p3

10.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP4FQ ，则| QF |=

7

B .5

C .3

D .2

A .

2

2

11.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A.6 2

B.4 2 C .6 D .4

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题 -第（ 21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题 -第（ 24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.( x y)( x y)8的展开式中 x2 y2的系数为.(用数字填写答案 )

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ， B， C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.

15.已知 A ，B ， C 是圆 O 上的三点，若AO 1

(AB AC) ，则 AB 与AC的夹角为. 2

16.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边，a=2，且(2 b)(sin A sinB)( c b)sin C ，则ABC 面积的最大值为.

三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12 分)已知数列 { a n } 的前n项和为S n，a1 =1 ，a n0 ， a n a n 1S n1，其中为常数.

（ I ）证明：a n 2a n；

（Ⅱ）是否存在，使得 { a n } 为等差数列？并说明理由 .

18. ( 本小题满分12 分 )从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结

果得如下频率分布直方图：

（ I ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N( ,2)，其中近似为样本平均数x ， 2 近似为样本方差s2.

（ i ）利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2) ；

（ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，学科网记X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间

（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求EX .

附： 150 ≈12.2

若.Z～N( ,2) ，则P(Z) =0.6826，P(2Z 2 ) =0.9544.

19. (本小题满分 12分)如图三棱锥ABC A1B1C1中，

侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C .

（ I ）证明：AC AB1；

（Ⅱ）若 AC AB1， CBB160o，AB=Bc，

求二面角 A A1B1C1的余弦值.

20. ( 本小题满分12 分 ) 已知点A（ 0， -2），椭圆E：x

2

y21(a b 0) 的离心率为

3

，F是椭a2b22

圆的焦点，直线AF 的斜率为23

，O为坐标原点. 3

（I）求E的方程；

（Ⅱ）设过点 A 的直线l与 E 相交于P,Q两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.

21.( 本小题满分12 分 )设函数f ( x0 ae x ln x be x 1，曲线 y f (x) 在点（1， f (1) ）处的切线为

x

y e( x 1) 2 .（ I）求a, b；（Ⅱ）证明： f ( x) 1 .

请考生从第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则