建筑平面图形的几何性质
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南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题 教学 方法
陈德先
授课 班级
12造价 与造价
授课 2013/ 时间
课型
学 时
4
平面图形的几何性质+作业评讲 讲练结合法
新授课 讲评课
教学 目的
教学 重点 教学 难点
了解平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等 概念及计算公式、单位、正负情况等；记住圆形和矩形的 形心主惯矩的计算公式；会使用型钢表。 平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念
y y0
Ⅱ
C2
Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)
90
Ⅰ
C
C1
150
60
z0
z
30 10 -3 300 3 10 -9 270 10 -3 50 3 10 -9 4 m 12 12
7.03 10 m 7.03 10 mm
4 7
5
4
i 1 i 1 i 1 i 1
四、平行移轴公式
I z I zc a A
2
I y I yc b A
2
y
yc
zc
dA
b
yc
C
a
zc
O
z
注意：
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截 面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过 平行的形心轴惯性矩来换算; （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, 以对通过形心轴的惯性矩最小.
z
30
300
3
yC
Ay
i 1 i
Ci
A
i 1
3
i
0 270 103 50 103 150 103 m=90mm 3 3 3 3 300 10 30 10 270 10 50 10
3. 确定形心主惯性矩
用Sz（或Sy）表示。即
A o
dA y z
图形对z轴的静矩
y z
S z ydA
dA
A
A
图形对y轴的静矩
y
o
z
Sy
AzdA
从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定 的坐标轴而言的。
同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。 常用单位是 m3或 mm3。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象 的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺 少的几何参数。
1、静矩（面积矩、一次矩）
微面积dA与坐标 y（或坐标 z）的乘积称为微 面积dA对z轴（或y轴）的静矩 这些微小乘积在整个面积 A内的总和，称为该 平面图形对z轴（或y轴）的静矩。
y z
I yz 0
3 iy h, A 6
Iy
Iz iz A
3 b 6
例3 已知：图形尺寸如图所示。 求：图形的形心主矩
270
50
30
300
解 ：1．将所给图形分解为简单图形的组合
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2
30
C1 300
2.建立初始坐标，确定形心位置
y
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2 C C1
yC
150
在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环 形等横截面的构件，这些构件的截面图形 是由几个简单的几何图形组合而成的，称 为组合图形。
三、组合图形的几何性质
y I D
II
III
z
d
根据定义：
整个图形对某一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）等于 各个分图形对同一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）之和。
例如:
A AI AII AIII
Sz yc A
S y zc A
图形对z轴的惯矩
2、惯性矩（二次矩）
y
z
Iz
dA y
dA A y²
图形对y轴的惯矩
A
Iy
o
z
A
z² dA
从上述惯性矩的定义可以看出，惯性矩也是对 坐标轴而言的。 惯矩恒0； 单位：
m4
mm4
在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯 性矩表示为图形面积 A与某一长度平方的乘积。即
3、形心：物体的几何中心称为物体的形心。
力不仅可以使刚体绕着一点转动，还可以使刚 体绕着轴转动。那么这个转动效应我们用力对轴 之矩表示。
F
补充内容：力对轴之矩
定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交 点之矩，称为力对轴的矩。
M z dFxy
z F Fz Fxy Fxy
显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。 F
y I II III z
则
I y z dA
2 A
z 2 dA z 2 dA z 2 dA
AI AII AIII
同理
I yI I yII I yIII I yi
i 1 m m m m
m
I z I zi , S y S yi , S z S zi , I yz I yzi
O
yC
z
yi
C
A Ai
zc
zi
O
y
3、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的 面积用负值。
4、积分法（实际应用---查表）
yc
A
ydA A
O
yC
z y
C A dABiblioteka Baidu
zc
zc
zdA
A
z
O
A
y
二、平面图形的几何性质
从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看 出，应力和变形不仅与杆的内力有关，还与杆件截面的 横截面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量 密切相关。 这些与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称 为平面图形的几何性质。 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。
4 4
4 270 10 50 10 m -3 -3
2.04 10 m 2.04 10 mm
8
4
评讲思考题
【课后作业】习题8-1；8-2
【预习】
求静矩的另一公式： 若图形形心C已知，由
S yc z A A zdA S y zc A A A
A
ydA
y
zc
A
C
yc
Sz yc A
o
z
S y zc A
若
y
yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
C
A
z
如果截面对某一轴 的静矩等于零，则 该轴必过截面的形 心；反之，截面对 于通过形心的轴的 静矩必等于零。
y dy
y h c z
例2：求
（1） 解： （2）
S z , S y , I z , I y , I yz , iy , iz
S z 0, S y 0.
b
I z y 2 dA A
h 2
h 2
y bdy
2
y b 3
3
h 2 h 2
I y z 2 dA
A
1 3 bh 12 1 3 hb 12
I y iy A,
所以
2
I z iz A
Iz iz A
（单位：m ） mm
2
iy
Iy A
,
iy , iz ——惯性半径
y
3、极惯性矩
z
图形对o点的极惯矩
dA
A
y
z y
2 2
z
I P dA
2 A
2
o
I P dA ( z 2 y 2 )dA z 2 dA y 2 dA I y I z A A A A
o d
（一）、 一般物体 重心的座标公式（依据： 力对轴的合力矩定理）：
（二）、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的，设其密度为ρ，总体 积为V,微块的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ ρgVi，代入重心坐标公式，即可得到均质 物体的形心坐标公式如下：
注：均质物体的重心、形心 的位置重合。
（三）、均质等厚薄板的形心（平面图形形 心）公式：
面积无限分割
差分式
后面用zoy表示平 面直角坐标系
积分式
（四）、物体形心位置的确定方法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其形心一定在它的对 称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用
2、分割法： 由几个简单基本图形组合而成的图形称组合 图形。 在计算它们的形心时，可先将其分割为几块 基本图形，利用查表法查出及对称法得出每块图 形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求 出整体的形心位置。此法称为分割法。
平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。
重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必 须要加以掌握。 如挡土墙与水电站大坝的稳定性
一、重心与形心的概念： 1、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
2、物体的重心：物体重力的合力作用点称为物体的 重心。 注：无论物体怎样放置，重心总是一个确定点， 重心的位置保持不变。
如有一根坐标轴是截面的对称轴， 则截面对这对轴的惯性积必为零 （反之不然）。
惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对 不同的正交坐标轴，其惯性积不同。 若
I yz 0,
则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。 对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。 通过形心的主轴称为形心主惯性轴。 平面图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩
例1:极惯性矩的计算 实心圆截面
dA 2 d
ρ dρ
D
IP D 4 Iy Iz 2 64
空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
4
d4
1 D 4 (1 4 ) 64
d D
I y I z I z大 I z小
2
图形对o点的极惯矩等于对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的 极惯性矩也不相同。
4、惯性积
图形对y、z两轴的惯性积
y z
I yz yzdA
A
dA
y
单位： m
4
mm4
A
I yz 可0；0；0；
z
o
若图形有一对称轴，则
I yz 0
y
y0
Ⅱ
Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)
150
C2 60 90
Ⅰ
z0
C C1
z
90 10 300 10 30 10
2 -3
6
300 10 -3 30 3 10 -9 12
-3
50 10 -3 270 3 10 -9 2 6 60 10 12
任课 教师
课 题 教学 方法
陈德先
授课 班级
12造价 与造价
授课 2013/ 时间
课型
学 时
4
平面图形的几何性质+作业评讲 讲练结合法
新授课 讲评课
教学 目的
教学 重点 教学 难点
了解平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等 概念及计算公式、单位、正负情况等；记住圆形和矩形的 形心主惯矩的计算公式；会使用型钢表。 平面图形对轴的静矩、惯性矩、惯性半径和惯性积等概念
y y0
Ⅱ
C2
Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(II)
90
Ⅰ
C
C1
150
60
z0
z
30 10 -3 300 3 10 -9 270 10 -3 50 3 10 -9 4 m 12 12
7.03 10 m 7.03 10 mm
4 7
5
4
i 1 i 1 i 1 i 1
四、平行移轴公式
I z I zc a A
2
I y I yc b A
2
y
yc
zc
dA
b
yc
C
a
zc
O
z
注意：
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截 面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过 平行的形心轴惯性矩来换算; （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中, 以对通过形心轴的惯性矩最小.
z
30
300
3
yC
Ay
i 1 i
Ci
A
i 1
3
i
0 270 103 50 103 150 103 m=90mm 3 3 3 3 300 10 30 10 270 10 50 10
3. 确定形心主惯性矩
用Sz（或Sy）表示。即
A o
dA y z
图形对z轴的静矩
y z
S z ydA
dA
A
A
图形对y轴的静矩
y
o
z
Sy
AzdA
从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定 的坐标轴而言的。
同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。 常用单位是 m3或 mm3。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象 的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺 少的几何参数。
1、静矩（面积矩、一次矩）
微面积dA与坐标 y（或坐标 z）的乘积称为微 面积dA对z轴（或y轴）的静矩 这些微小乘积在整个面积 A内的总和，称为该 平面图形对z轴（或y轴）的静矩。
y z
I yz 0
3 iy h, A 6
Iy
Iz iz A
3 b 6
例3 已知：图形尺寸如图所示。 求：图形的形心主矩
270
50
30
300
解 ：1．将所给图形分解为简单图形的组合
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2
30
C1 300
2.建立初始坐标，确定形心位置
y
Ⅱ
270
50
Ⅰ
C2 C C1
yC
150
在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环 形等横截面的构件，这些构件的截面图形 是由几个简单的几何图形组合而成的，称 为组合图形。
三、组合图形的几何性质
y I D
II
III
z
d
根据定义：
整个图形对某一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）等于 各个分图形对同一轴的惯性矩（静矩、惯性积…）之和。
例如:
A AI AII AIII
Sz yc A
S y zc A
图形对z轴的惯矩
2、惯性矩（二次矩）
y
z
Iz
dA y
dA A y²
图形对y轴的惯矩
A
Iy
o
z
A
z² dA
从上述惯性矩的定义可以看出，惯性矩也是对 坐标轴而言的。 惯矩恒0； 单位：
m4
mm4
在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯 性矩表示为图形面积 A与某一长度平方的乘积。即
3、形心：物体的几何中心称为物体的形心。
力不仅可以使刚体绕着一点转动，还可以使刚 体绕着轴转动。那么这个转动效应我们用力对轴 之矩表示。
F
补充内容：力对轴之矩
定义：力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与该平面交 点之矩，称为力对轴的矩。
M z dFxy
z F Fz Fxy Fxy
显然力对轴之矩不直接与力的大小有关。 F
y I II III z
则
I y z dA
2 A
z 2 dA z 2 dA z 2 dA
AI AII AIII
同理
I yI I yII I yIII I yi
i 1 m m m m
m
I z I zi , S y S yi , S z S zi , I yz I yzi
O
yC
z
yi
C
A Ai
zc
zi
O
y
3、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的 面积用负值。
4、积分法（实际应用---查表）
yc
A
ydA A
O
yC
z y
C A dABiblioteka Baidu
zc
zc
zdA
A
z
O
A
y
二、平面图形的几何性质
从前面几章介绍的应力和变形的计算公式中可以看 出，应力和变形不仅与杆的内力有关，还与杆件截面的 横截面积A、极惯性矩IP、抗扭截面系数WP等一些几何量 密切相关。 这些与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称 为平面图形的几何性质。 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。
4 4
4 270 10 50 10 m -3 -3
2.04 10 m 2.04 10 mm
8
4
评讲思考题
【课后作业】习题8-1；8-2
【预习】
求静矩的另一公式： 若图形形心C已知，由
S yc z A A zdA S y zc A A A
A
ydA
y
zc
A
C
yc
Sz yc A
o
z
S y zc A
若
y
yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
C
A
z
如果截面对某一轴 的静矩等于零，则 该轴必过截面的形 心；反之，截面对 于通过形心的轴的 静矩必等于零。
y dy
y h c z
例2：求
（1） 解： （2）
S z , S y , I z , I y , I yz , iy , iz
S z 0, S y 0.
b
I z y 2 dA A
h 2
h 2
y bdy
2
y b 3
3
h 2 h 2
I y z 2 dA
A
1 3 bh 12 1 3 hb 12
I y iy A,
所以
2
I z iz A
Iz iz A
（单位：m ） mm
2
iy
Iy A
,
iy , iz ——惯性半径
y
3、极惯性矩
z
图形对o点的极惯矩
dA
A
y
z y
2 2
z
I P dA
2 A
2
o
I P dA ( z 2 y 2 )dA z 2 dA y 2 dA I y I z A A A A
o d
（一）、 一般物体 重心的座标公式（依据： 力对轴的合力矩定理）：
（二）、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的，设其密度为ρ，总体 积为V,微块的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ ρgVi，代入重心坐标公式，即可得到均质 物体的形心坐标公式如下：
注：均质物体的重心、形心 的位置重合。
（三）、均质等厚薄板的形心（平面图形形 心）公式：
面积无限分割
差分式
后面用zoy表示平 面直角坐标系
积分式
（四）、物体形心位置的确定方法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其形心一定在它的对 称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用
2、分割法： 由几个简单基本图形组合而成的图形称组合 图形。 在计算它们的形心时，可先将其分割为几块 基本图形，利用查表法查出及对称法得出每块图 形的形心位置与面积，然后利用形心坐标公式求 出整体的形心位置。此法称为分割法。
平行移轴公式，计算组合图形的形心主惯矩。
重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必 须要加以掌握。 如挡土墙与水电站大坝的稳定性
一、重心与形心的概念： 1、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
2、物体的重心：物体重力的合力作用点称为物体的 重心。 注：无论物体怎样放置，重心总是一个确定点， 重心的位置保持不变。
如有一根坐标轴是截面的对称轴， 则截面对这对轴的惯性积必为零 （反之不然）。
惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对 不同的正交坐标轴，其惯性积不同。 若
I yz 0,
则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。 对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。 通过形心的主轴称为形心主惯性轴。 平面图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩
例1:极惯性矩的计算 实心圆截面
dA 2 d
ρ dρ
D
IP D 4 Iy Iz 2 64
空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
4
d4
1 D 4 (1 4 ) 64
d D
I y I z I z大 I z小
2
图形对o点的极惯矩等于对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和。 极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的 极惯性矩也不相同。
4、惯性积
图形对y、z两轴的惯性积
y z
I yz yzdA
A
dA
y
单位： m
4
mm4
A
I yz 可0；0；0；
z
o
若图形有一对称轴，则
I yz 0
y
y0
Ⅱ
Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)
150
C2 60 90
Ⅰ
z0
C C1
z
90 10 300 10 30 10
2 -3
6
300 10 -3 30 3 10 -9 12
-3
50 10 -3 270 3 10 -9 2 6 60 10 12