单级旋转倒立摆系统

《现代控制理论》课程综合设计

单级旋转倒立摆系统

1 引言

单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。

图1 单级旋转倒立摆系统模型

单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。

本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。

2 模型建立

本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆

分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；

1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。

图2 倒立摆模型受力分析

摆杆水平方向受力平衡方程：

2

111222(0sin )2

l d N m l dt θθ=++

（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）

摆杆垂直方向受力平衡方程：

211

1122(cos )22

l l d H m g m dt θ-=-

摆杆转矩平衡方程：

22111222sin cos 22

d l l

J H N dt θθθ=-

横杆转矩平衡方程：

21

222

d M Nl J dt θ-=

考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即

N

22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈，其中23

ml

J =

，近似线性化得到，

()212222

222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧

=+⎪⎪

-=⎪⎪

⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪

⎪-=

⎪⎩

整理上式可得倒立摆的状态方程：

21221

114.7152

41100

3

2M M θθθθθ••••

••

••

⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：

12224.64211.05312.3799.474M

M

θθθθ••

⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 取状态变量如下：

11213242x x x x x θθθθ•⎡⎤

⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

1122334400

10000 4.642011.05300010

012.379

09.474x x x x M x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

⎣⎦⎣⎦

故

[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3 稳定性和能控性分析

3.1 稳定性分析

判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平

面。编写Matlab 语句可得该系统的传递函数，即

A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; D=0;

Gss=ss(A,B,C,D); G1=zpk(Gss)

G1 =

11.053 (s+2.898) (s-2.898) -------------------------- s^2 (s-3.518) (s+3.518)

Continuous-time zero/pole/gain model.

从结果可以看出，传递函数存在一个在复平面右半侧的极点，故该系统是不稳定的。 3.2 能控性分析

判断系统是否完全能控，只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩，即

[]21n C Q B

AB A B

A B -=

若C

rankQ n =，则该系统是完全能控的。根据Matlab 语句中Qc=ctrb(A,B)，即

A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0]; B=[0;11.053;0;-9.474]; C=[1,0,0,0]; Qc=ctrb(A,B); n1=rank(Qc)

n1 =

4

从结果可以看出该系统是完全能控的，可以实现任意极点的配置。 3.3 能观测性分析

与判断能控性类似，只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩，即