垂直平分线

线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与 线段两个端点距离相等的所有点的 集合。
课堂检测
M
1、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
A
D
N
B
2、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线， 则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂 直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂 直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直 平分线段AB．其中正确的个数有（ ）C A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
B C
∴ △BCD的周长= AD+DC+BC
= AC+BC = 12+7=19
新知探究2：
反过来,若AP=BP，那么P是否在线段AB的
垂直平分线上呢？
C A B
如图：用一根木棒和一根弹性 均匀的橡皮筋，做一个简易的 “弓”，“箭”通过木棒中央 的孔射出去，怎样才能保证射 出的箭的方向与木棒垂直呢？ 为什么？
线段垂直平分线的逆定理： 结论：
与一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上。 已知：PA=PB，
P
求证：点P在线段AB的垂直 平分线上。
A
C
B
证明:过点P作PC⊥AB于点C
∵PC⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=900 在Rt△PAC和△RtPBC中
∵ PA=PB
PC=PC ∴ Rt △PAC≌ Rt △ PBC ∴AC=BC ∴点P在AB的垂直平分线上
新知探究1：
动动手，你也会有发现！
画线段AB的垂直平分线L，在L上取任意 点P，• 量一量点P到A与B的距离，你有什么发 现？再取几个点试试。你能说明理由吗？
P1
结论：线段垂直平分线上的点与 这条线段两个端点的距离相等．
几何语言： 直线l是线段AB的垂直平分线 ， ∵ ∴ PA＝PB 。
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P2
P3
证明:
学习目标：
1、理解线段垂直平分线的性质和判定，初步体会线段 垂直平分线的集合定义 2、能利用线段垂直平分线的性质与判定解决实际问题
学习重点：
线段垂直平分线的性质与判定
学习难点：
线段垂直平分线的集合定义
回忆与思考
1、什么叫线段垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
结论：与一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言： ∵ PA＝PB ， ∴ P在线段AB的垂直平分线上
。
例题：
如图：AB=AC，MB=MC，直线AM是线段 BC的垂直平分线吗？
A
M
B
C
辨析：
性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两 个端点距离都相等。 逆定理：与线段两个端点距离相等的点都在线 段的垂直平分线上。
3、如图，△ABC中，边AB、BC 的垂直平分线交于点P。 （1）求证：PA=PB=PC。 （2）点P是否也在边AC的垂直 平分线上呢？由此你能得出什 么结论？
A
P C B
结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，这个点到三角形三个顶点 的距离相等。
4、有A、B、C三个村庄，现准备要建一所 学校，要求学校到三个村庄的距离相等， 请你确定学校的位置。
A
B
C
∵L⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=900
在△PAC和△ PBC中
∵ AC=BC
∠PCA=∠PCB PC=PC ∴ △PAC≌△ PBC ∴PA=PB
例：如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分 线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解： ∵ED是线段AB的垂直平分线
A
E
D
∴ BD=AD
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC