三次函数图象与性质

课题三次函数图像和性质

商城二高孙明

【命题趋势】

在高中课程中，用导数知识研究初等函数是一种重要的方法。将三次函数作为载体，考查导数的知识是一类常见题型。以三次函数为载体的试题，可综合考查函数，导数，不等式等知识，是近年高考的一个亮点。

【重点，难点】

三次函数的图象三次函数的性质（单调性，最值，极值，对称性）

【教学过程】

由f(x)=ax3+bx2+cx+d可得f/(x)=3ax2+2bx+c,令△=4(b2-3ac)，当△=4(b2-3ac)>0时，设方程f／(x)=0的两个根是x1,x2,且x1< x2,那么三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象与性质可以归纳如下。（对于任意两个函数y=f(x)与y= -f(x)的图象都是关于x轴对称的，其性质也就能够轻易互相推知。）于是不妨设a>0.

【高考链接】

例1.已知函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图象，其对称中心为---------------------。

例2.（2013，Ⅱ，理10）已知f(x)=x 3+ax+bx+c ，下列结论错误的是 （ ）

A ．∃x 0∈R,f(x 0)=0 B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形

C. 若x 0是f(x)的极小值，则f(x)在区间（- ∞，x 0）单调递减

D ．若x 0是f(x)的极值，则f ／(x 0)=0

例3.（2014，Ⅰ，理11）已知f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一零点x 0，且x 0>0,则a 的取值范围是 （ ）

A ．（2，+∞）

B 。（- ∞，-2）

C 。（1，+∞）

D 。（-∞，-1）

【拓展训练】

1.函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同零点，则实数a 的取值范围 （ ）

A ．（-2,2）

B 。[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞)

2.（2014，浙江理6）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，且0

A ．c ≤3 B.39

3.已知函数f(x)=x 3-ax-1,若f(x)在(-1,1)上单调递减，则a 的取值范围为 （ ）

A ．a ≥3 B.a>3 C.a ≤3 D.a<3

【课堂作业】

1.函数f(x)=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 （ ）

A ．-2 B.0 C.2 D.4

2.如图是函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则

x 12+x 22等于 ( )

A.89

B.109

C.169

D.289

3.已知函数y=x 3- 3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共

点，则c=--------------。

4.函数f(x)=x 3+ax-2在（1，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是-----------------。

5.设函数f(x)= 13

x 3-(1+a)x 2+4ax+24a,其中常数a>1，则f(x)的单调减区间为----------------

。

6.已知函数f(x)= -x 3+ax 2-4在x=2处取得极值，若m,n ∈[-1,1],则f(m)+f ／(n)的最小值

是------------------。

表格填空答案：R R （- ∞，x 1）及（x 2 ,+∞） (- ∞, +∞) (x 1, x 2) 没有 f(x 1) 没有 f(x 2) 没有 在点x 0处取极值的充要条件是 ⎩⎨⎧4(b 2-3ac)>0f /(x 0

)=0 三次函数是奇函数的充要条件是b=d=0. 三次函数不可能是偶函数 （- b 3a ,f(- b 3a

)） 2015年4月8日